Курс лекций по Физике наноразмерных систем, страница 3

Ïðèâåäåìëèøü åãî ðåçóëüòàòû. Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî åñëè àñèìïòîòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèèU+ = U (+∞)èU− = U (−∞)ðàâíû è ìåæäó íèìè íàõîäèòñÿ îäèíìèíèìóì, òî èìååòñÿ ïî êðàéíåé ìåðå îäèí äèñêðåòíûé óðîâåíü. Åñëèñâÿçàííîãî ñîñòîÿíèÿ ìîæåò íå áûòü.4U+ ̸= U− ,òî2.3.Îäíîìåðíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ÿìà.Ñîñòîÿíèÿ ñ íåïðåðûâíûì ñïåêòðîì. íåîäíîðîäíûõ ñòðóêòóðàõ òèïà òîé, ÷òî ñõåìàòè÷íî èçîáðàæåíà íà Ðèñ. 2.3., ìîãóò ñóùåñòâîâàòü îáëàñòè ñ ïîíèæåííîé ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé íîñèòåëåé çàðÿäà, ò.å.ïîòåíöèàëüíûå ÿìû (çàêðàøåííàÿ îáëàñòü íà Ðèñ.

2.3.).Äëÿ ïðîñòîòû îïÿòü ðàññìîòðèì îäíîìåðíîå äâèæåíèå êâàçè÷àñòèöû âäîëü îñèáóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî åå ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿU (x)xèèìååò òîò æå âèä, ÷òî è íà Ðèñ. 2.2.Íî òåïåðü íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü ñèòóàöèÿ, êîãäà ýíåðãèÿεïîëîæèòåëüíà, ò.å. êâàçè-÷àñòèöà ïðîõîäèò íàä ÿìîé.Åñëè îáðàòèòüñÿ ê óðàâíåíèþ Øðåäèíãåðà(2.6), òî ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî â äàííîì ñëó÷àåâíå ÿìû (êàê ïðèx < 0,òàê è ïðèx > d)èìåþòñÿ ðåøåíèÿ äâóõ òèïîâ:ψ1 (x) ∝ eik0 x ,ψ2 (x) ∝ e−ik0 x ,√ãäå ~k0 =2m∗ ε. Ïåðâàÿ ôóíêöèÿ îïèñûâàåòäâèæåíèå êâàçè÷àñòèöû âäîëü îñè x, à âòîðàÿÐèñ.

2.3. îáðàòíîå äâèæåíèå. Îáùåå ðåøåíèå â êàæ-äîé èç îáëàñòåé âíå ÿìû ïðîèçâîëüíàÿ ñóïåðïîçèöèÿôóíêöèÿ èìååò âèäψII (x) = α eikx + β e−ikx ,ãäåαèβ~k =√ψ1èψ2 .Âíóòðè ÿìû âîëíîâàÿ2m∗ (ε + U0 ),(2.18)4 ïîêà íåèçâåñòíûå àìïëèòóäû .Âûáîð âèäà ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà âíå ÿìû çàâèñèò îò ôèçè÷åñêîé ïîñòàíîâêè çàäà÷è. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî êâàçè÷àñòèöû äâèæóòñÿ ê ÿìå ñëåâà è çàòåìóõîäÿò â îáëàñòüx → +∞.Òîãäà â îáëàñòèâèäåà â îáëàñòèIIIIâîëíîâóþ ôóíêöèþ ñëåäóåò èñêàòü âψIII (x) = C eik0 x ,(2.19)ψI (x) = A eik0 x + B e−ik0 x .(2.20)Íàëè÷èå âòîðîãî ñëàãàåìîãî â ýòîì âûðàæåíèè ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî êâàçè÷àñòèöà ìîæåò5îòðàçèòüñÿ îò ÿìû .

Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî óñëîâèÿ ñøèâêè âîëíîâûõ ôóíêöèé íà ãðàíèöàõ ÿìû ðàçðåøèìû ïðè ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèÿõε > 0,ò.å. êâàíòîâàíèå ýíåðãèèîòñóòñòâóåò. Èíà÷å ãîâîðÿ, â äàííîì ñëó÷àå ñïåêòð ýíåðãèè íåïðåðûâíûé.Ïðè òàêîé ïîñòàíîâêå çàäà÷è èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò âåðîÿòíîñòü ïðîõîæäåíèÿ êâàçè÷àñòèöû ÷åðåç ÿìó (êîýôôèöèåíò ïðîõîæäåíèÿ)(êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ)R = 1 − T.Tè âåðîÿòíîñòü åå îòðàæåíèÿ êóðñå êâàíòîâîé ìåõàíèêè áûëî ïîêàçàíî,÷òî ýòè âåëè÷èíû äàþòñÿ ôîðìóëàìè 2B R = .A 2C T = ,AÒàêèì îáðàçîì, íóæíî âûðàçèòü àìïëèòóäûBèCx = 0èx = d.A. Êàê îáû÷íî,ψI , ψII , ψIII è èõ ïðî-÷åðåç àìïëèòóäóäëÿ ýòîãî ñëåäóåò çàïèñàòü óñëîâèÿ ñøèâêè âîëíîâûõ ôóíêöèéèçâîäíûõ â òî÷êàõ(2.21)Ìû îñòàâëÿåì ÷èòàòåëþ ðåøåíèå ïîëó÷àþùåéñÿ4  ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å âîëíîâóþ ôóíêöèþ êâàçè÷àñòèöû â ÿìå óäîáíåå çàïèñàòü êàê ñóïåðïîçèöèþ áåãóùèõ âîëí âìåñòî ñóïåðïîçèöèè ñèíóñà è êîñèíóñà, êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò ñòîÿ÷èì âîëíàìäå Áðîéëÿ.5  êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå îòðàæåíèå îò ïîòåíöèàëüíîé ÿìû íåâîçìîæíî.5ñèñòåìû óðàâíåíèé äëÿ àìïëèòóä è ïðèâåäåì îêîí÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò äëÿ êîýôôèöèåíòà ïðîõîæäåíèÿ:{11+4T =Ïîäñòàâëÿÿ ñþäàk0 =√2m∗ ε/~è(k=k0k−kk0√}−1)2sin2 (kd)2m∗ (ε + U0 )/~,(2.22)ëåãêî íàéòè çàâèñèìîñòü êîýô-ôèöèåíòà ïðîõîæäåíèÿ îò ýíåðãèè êâàçè÷àñòèöû.ÝòàÐèñ.çàâèñèìîñòü2.4.ãëóáèíîéäëÿu0 ≡Îáðàùàåòíà÷òîáåçðàçìåðíîéε̄<50ñâíèìàíèåïðèýíåðãèèêîýôôèöèåíòáûñòðî óáûâàåò.âåðîÿòíîñòüíàáåçðàçìåðíîéU0 /(~2 /2m∗ d2 ) = 200.ñåáÿñòîÿòåëüñòâî,ïîêàçàíàÿìûòîîá-çíà÷åíèÿõêâàçè÷àñòèöûïðîõîæäåíèÿÈíà÷å ãîâîðÿ, âåëèêàîòðàæåíèÿêâàçè÷àñòèöûîò ÿìû, ÷òî ñîâåðøåííî ïðîòèâîðå÷èòêëàññè÷åñêèì ïðåäñòàâëåíèÿì.èíòåðåñíûéÐèñ.

2.4.çíà÷åíèÿõõîæäåíèÿ ðàâåí åäèíèöå, ïðè÷åì ñàìà çàâèñèìîñòüôàêò:ýíåðãèèT (ε)ïðèÄðóãîéíåêîòîðûõêîýôôèöèåíòïðî-èìååò ÿâíî ðåçîíàíñíûéõàðàêòåð. Êàê âèäíî èç ôîðìóëû (2.22), ýòè ñïåöèàëüíûå çíà÷åíèÿ ýíåðãèè íàõîäÿòñÿèç óñëîâèÿsin(kd) = 0. Òàêèì îáðàçîì, ðåçîíàíñíîå ïðîõîæäåíèå êâàçè÷àñòèöû íàäk = kn = πn/d, ãäå n öåëûå ÷èñëà. Îòñþäà äëÿ ðåçîíàíñíûõÿìîé ïðîèñõîäèò ïðèýíåðãèé ïîëó÷àåì âûðàæåíèåεn =π 2 ~2 2n − U0 .2m∗ d2(2.23)ε > 0, òî ïåðâîå ðåçîíàíñíîå ïðîõîæäåíèå ïðîεn > 0.

Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî íà Ðèñ. 2.4. ñîîòâåòïåðâàÿ áåçðàçìåðíàÿ ðåçîíàíñíàÿ ýíåðãèÿ ε̄5 = 46, 5.Ïîñêîëüêó â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àåèñõîäèò ïðè òîì çíà÷åíèèñòâóþùåå çíà÷åíèånn,êîãäàðàâíî 5, àÎòìåòèì, ÷òî çíà÷åíèÿ ýíåðãèè (2.23) ôîðìàëüíî ñîâïàäàþò ñ óðîâíÿìè ýíåðãèèêâàçè÷àñòèöû âáåñêîíå÷íî ãëóáîêîé ÿìå 6 .Ïîýòîìó ðåçîíàíñíûå ýíåðãèè (2.23) ÷àñòîíàçûâàþò âèðòóàëüíûìè óðîâíÿìè ýíåðãèè.Ýôôåêò ðåçîíàíñíîãî ïðîõîæäåíèÿ ìèêðî÷àñòèöàìè ïîòåíöèàëüíîé ÿìû òåñíî ñâÿ-k = 2π/λ, ãäå λ λd = n , ò.å. â ÿìå óêëà2çàí ñ íàëè÷èåì ó íèõ âîëíîâûõ ñâîéñòâ.

 ñàìîì äåëå, ïîñêîëüêóäëèíà âîëíû äå Áðîéëÿ â ÿìå, óñëîâèåkn d = πnîçíà÷àåò, ÷òîäûâàåòñÿ öåëîå ÷èñëî ïîëóâîëí äå Áðîéëÿ. Õîðîøî èçâåñòíî àíàëîãè÷íîå óñëîâèå äëÿñâåòîâûõ âîëí. Îíî îïðåäåëÿåò ðåçîíàíñíîå ïðîõîæäåíèå ñâåòà ÷åðåç òîíêèå ïëåíêè,êîãäà âîëíû, îòðàæåííûå îò äâóõ ãðàíèö ïëåíêè, òî÷íî ãàñÿò äðóã äðóãà.Ïîòåíöèàëüíûå ÿìû, êîòîðûå âñòðå÷àþòñÿ â íàíîñòðóêòóðàõ, îáû÷íî èìåþò ïðîôèëü ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè íîñèòåëåé çàðÿäà, âåñüìà äàëåêèé îò èäåàëèçèðîâàííîãîÐèñ.

2.2.7 òàêèõ ÿìàõ ðåçîíàíñíîå ïðîõîæäåíèå âûðàæåíî ìåíåå çàìåòíî , õîòÿ âîìíîãèõ ýêñïåðèìåíòàõ áûëà îáíàðóæåíà ÿâíî íåìîíîòîííàÿ çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà ïðîõîæäåíèÿ óçêèõ è ãëóáîêèõ ÿì îò ýíåðãèè.6 Íàïîìíèì, ÷òî, ñîãëàñíî Ðèñ. 2.2., ýíåðãèþ óðîâíåé íóæíî îòñ÷èòûâàòü îò −U .07 Äðóãèìè ñëîâàìè â ÿìàõ íåïðàâèëüíîé ôîðìû âèðòóàëüíûå óðîâíè ñèëüíî ðàçìûòû.62.4.Äâóìåðíûå è òðåõìåðíûå ïîòåíöèàëüíûå ÿìûËîêàëèçîâàííûå ñîñòîÿíèÿ êâàçè÷àñòèö ýëåêòðîíîâ è äûðîê â äâóìåðíîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå âîçíèêàþò â 1D íàíîñòðóêòóðàõ êâàíòîâûõ ïðîâîëîêàõ, ïðèìåðû êîòîðûõ ïîêàçàíû íà Ðèñ.

2.5.Ñïåêòðòàêèõýíåðãèèêâàçè÷àñòèöûñòðóêòóðàõ(ââïðèáëèæåíèèýôôåêòèâíîé ìàññû) èìååò âèäE =ε+ãäåε~2 kx2,2m∗(2.24) óðîâíè ýíåðãèè ëîêàëèçîâàííûõñîñòîÿíèé â äâóìåðíîé ÿìå.Ðèñ. 2.5.ßñíî, ÷òî çàäà÷à î íàõîæäåíèè ñïåê-òðà ýíåðãèè êâàçè÷àñòèöû â äâóìåðíîé ÿìå áîëåå ñëîæíàÿ, ÷åì àíàëîãè÷íàÿ çàäà÷àäëÿ îäíîìåðíîé ÿìû. Äëÿ íåêîòîðûõ ïðîñòûõ ìîäåëåé ýòà çàäà÷à ìîæåò áûòü ðåøåíàòî÷íî. Íàïðèìåð, äëÿ ïðÿìîóãîëüíîé äâóìåðíîé ÿìû (ñì. Ðèñ. 2.5.) ñïåêòð ýíåðãèèëîêàëèçîâàííûõ ñîñòîÿíèé èìååò âèäεn1 n2 =~2 ky2 n1 ~2 kz2 n2+.2m∗2m∗(2.25)ky n1 è kz n2 íàõîäÿòñÿ èç ðåøåíèÿ çàäà÷è äëÿ îäíîìåðíîé ÿìû.Äëÿ ñèììåòðè÷íîé êâàäðàòíîé ÿìû ñ dy = dz áîëüøèíñòâî óðîâíåé âûðîæäåíî (ïîçíà÷åíèÿì êâàíòîâûõ ÷èñåë n1 è n2 ).Âîçìîæíûå çíà÷åíèÿÒðåõìåðíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ÿìà ñëóæèò ìîäåëüþ äëÿ ñèñòåìû ýëåêòðîíîâ âíóëü-ðàçìåðíûõ ñòðóêòóðàõ (0D ñòðóêòóðàõ) íàíîêëàñòåðàõ è êâàíòîâûõ òî÷êàõ.2.5.Êîýôôèöèåíò ïðîõîæäåíèÿ ÷åðåç ïîòåíöèàëüíûé áàðüåðÍåîäíîðîäíîñòü íàíîñòðóêòóð ìîæåò áûòü âûçâàíà íå òîëüêî ñ ïîòåíöèàëüíûìèÿìàìè, íî è ïîòåíöèàëüíûìè áàðüåðàìè äëÿ íîñèòåëåé çàðÿäà (ýëåêòðîíîâ è äûðîê).Ïðîñòåéøèé ïðèìåð ïîòåíöèàëüíîãîáàðüåðà (ïðÿìîóãîëüíûé áàðüåð) èçîáðàæåí íà Ðèñ.

3.1. çàâèñèìîñòè îòçíà÷åíèÿ ýíåðãèè ÷àñòèöû,äâå ñèòóàöèè.âîçìîæíûÅñëè ýíåðãèÿ áîëüøåâûñîòû áàðüåðà (ε÷òî ÷àñòèöà> U0 ), òî ãîâîðÿò,ïðîõîäèò íàä áàðüåðîì. Ñòî÷êè çðåíèÿ êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè âýòîì ñëó÷àå êîýôôèöèåíò ïðîõîæäåíèÿT (ε)ðàâåíåäèíèöå.Åñëè,Ðèñ. 3.1.îäíàêî,ñóùåñòâåííû êâàíòîâûå ýôôåêòû, òîT (ε) ≤ 1.Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ÷èñòî êâàíòîâûé òóííåëüíûé ýôôåêò ïðîõîæäåíèå ÷àñòèöû ÷åðåç ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð, âûñîòà êîòîðîãî áîëüøå, ÷åì ýíåðãèÿ ÷àñòèöû (íàε < U0 ).Äëÿ ïðÿìîóãîëüíîãî ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà êîýôôèöèåíò ïðîõîæäåíèÿ âû÷èñëÿ-Ðèñ. 3.1. ýòî ñîîòâåòñòâóåò óñëîâèþåòñÿ òî÷íî, ïðè÷åì íàì íå ïðèäåòñÿ çàíîâî ðåøàòü çàäà÷ó.

Ïîêàæåì, ÷òî êîýôôèöèåíòïðîõîæäåíèÿ áàðüåðà ïðèε < U0ìîæíî íàéòè íåïîñðåäñòâåííî èç ôîðìóëû äëÿ ïî-òåíöèàëüíîé ÿìû. Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî â îáëàñòÿõ7IèIIIâîëíîâàÿ ôóíêöèÿ÷àñòèöû (â ïðèáëèæåíèè ýôôåêòèâíîé ìàññû) ïî-ïðåæíåìó äàåòñÿ ôîðìóëàìèψI (x) = A eik0 x + B e−ik0 x ,ψIII (x) = C eik0 x ,ãäå√2m∗ εk0 =,~(2.26)à â îáëàñòè áàðüåðà îíà èìååò âèäψII (x) = α eκx + β e−κx ,~κ =√2m∗ (U0 − ε).(2.27)Ñðàâíèâàÿ ýòî âûðàæåíèå ñ (2.18), âèäèì, ÷òî êîýôôèöèåíò ïðîõîæäåíèÿ áàðüåðà ìîæíî ïîëó÷èòü èç ôîðìóëû (2.22) ñ ïîìîùüþ çàìåíûàëüíûé âîïðîñ ÷òî îçíà÷àåòsin(−iκd)k → −iκ .Åäèíñòâåííûé íåòðèâè-? Îòâåò ëåãêî íàõîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ ôîðìóëûÝéëåðà äëÿ ñèíóñà:()sin z = eiz − e−iz /2iãäåsh z = (ez − e−z ) /2 ãèïåðáîëè÷åñêèé ñèíóñ. Ïðîâîäÿ óêàçàííóþ çàìåíó, íàõîäèì{T (ε) =Åñëèκ d ≫ 1,8ò.å.11+4(k0κ+κk0}−1)22sh (κ d).(2.28)äëèíà âîëíû äå Áðîéëÿ ÷àñòèöû ìàëà ïî ñðàâíåíèþ ñ øèðèíîéáàðüåðà , òî ýòîì()sin(−iz) = ez − e−z /2i = −i sh z,−→sh(κd) ≈ eκd /2 ≫ 1.êâàçèêëàññè÷åñêîì ïðåäåëå(T (ε) ≈ 16ôîðìóëà (2.28) ïðèíèìàåò âèäκk0κ 2 + k02)2{}2d √ ∗exp −2m (U0 − ε)~(2.29) ðåçóëüòàò (ñ åäèíèöåé ïåðåä ýêñïîíåíòîé), èçâåñòíûé ÷èòàòåëþ èç êóðñà êâàíòîâîéìåõàíèêè.

Íàïîìíèì, ÷òî â êâàçèêëàññè÷åñêîì ïðåäåëå ìîæíî ïîëó÷èòü ôîðìóëó äëÿêîýôôèöèåíòà ïðîõîæäåíèÿ áàðüåðà ïðîèçâîëüíîé ôîðìû: 2 ∫x2 √T (ε) ≈ exp −2m∗ [U (x) − ε] dx , ~(2.30)x1ãäåx1 è x2 òî÷êè îñòàíîâêè ÷àñòèöû.Êàê âèäíî èç (2.29), â êâàçèêëàññè÷åñêîì ïðåäåëå êîýôôèöèåíò ïðîõîæäåíèÿ ýêñïî-íåíöèàëüíî ìàë.  ìèêðîýëåêòðîíèêå èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò äîñòàòî÷íî ïðîçðà÷íûåáàðüåðû ñ çàìåòíûìT (ε).×òîáû ñôîðìóëèðîâàòü êðèòåðèé ïðîçðà÷íîñòè áàðüåðà,ââåäåì áåçðàçìåðíûé ïàðàìåòð√u0 =8 Êàê âèäíî èç (2.27), ïàðàìåòðκ2m∗ d2 U0.~2(2.31)ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû ðàâåí îáðàòíîé äëèíå âîëíû äå Áðîéëÿ.8Òîãäà âûðàæåíèå (2.28) ìîæíî çàïèñàòü â òàêîì âèäå:) −1( √sh2 u0 1 − ε/U0 .T (ε) = 1 +4(ε/U0 ) (1 − ε/U0 ) (2.32)Èòàê, êîýôôèöèåíò ïðîõîæäåíèÿ çàâèñèò îò äâóõ ôàêòîðîâ: îò âåëè÷èíû ïàðàìåòðàu0 è áëèçîñòè ýíåðãèè ÷àñòèöû ê âåðøèíåT (ε) ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ u0 .áàðüåðà.

Íà Ðèñ. 3.2. ïðèâåäåíû ãðàôèêèÐèñ. 3.2. Çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà ïðîõîæäåíèÿ ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà îò ýíåðãèè√÷àñòèöû äëÿ äâóõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà u0 =2m∗ d2 U0 /~2 :à) u0 = 1 ïðîçðà÷íûé áàðüåð; á) u0 = 10 êâàçèêëàññè÷åñêèé áàðüåð.Âèäíî, ÷òî åñëèu0çíà÷èòåëüíî áîëüøå åäèíèöû, òî äàæå ïðèïðîõîæäåíèÿ î÷åíü ìàë.2.6.U0 ≈ 0, 4êîýôôèöèåíòÏîýòîìó â êà÷åñòâå êðèòåðèÿ ïðîçðà÷íîñòè áàðüåðà ìîæíîèñïîëüçîâàòü ñîîòíîøåíèå10 íì. Òîãäà, ïîëàãàÿ m∗áàðüåðàε ≈ U0u0 ≈ 1.≈ me , ñÄëÿ èëëþñòðàöèè âîçüìåì øèðèíó áàðüåðàïîìîùüþ (2.31) íàõîäèì, ÷òîu0 ≈ 1d ≈ïðè âûñîòåìýÂ.Ïðîõîæäåíèå ÷àñòèö íàä ïîòåíöèàëüíûì áàðüåðîìε > U0 .I , II è IIIÏóñòü òåïåðü ýíåðãèÿ ÷àñòèöû áîëüøå âûñîòû áàðüåðà, ò.å.Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà â îáëàñòÿõÂîëíîâûå ôóíêöèèψI (x)èψIII (x)ëåãêî íàõîäèòñÿ.ïî-ïðåæíåìó äàþòñÿ ôîðìóëàìè (2.26), à â îáëàñòèáàðüåðà√ψII (x) = α eikx + β e−ikx ,ãäåk=2m∗ (ε − U0 ).~(2.33)ψI , ψII è ψIII ñîâïàäàþò ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè âûðàæåíè9ÿìè â çàäà÷å î ïðîõîæäåíèè ÷àñòèöû íàä ïîòåíöèàëüíîé ÿìîé .