Курс лекций по Физике наноразмерных систем (1088950), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Ïîýòîìó ôîðìóëà äëÿÇàìåòèì, ÷òî âûðàæåíèÿ äëÿêîýôôèöèåíòà ïðîõîæäåíèÿ ÷àñòèöû íàä áàðüåðîì èìååò âèä{T (ε) =1+14(kk0−kk0}−1)2sin2 (kd)9 Åäèíñòâåííîå ðàçëè÷èå ñîñòîèò â çíà÷åíèè âîëíîâîãî ÷èñëà√äëÿ ÿìûk=2m∗ (ε + U0 )/~,ãäåU0k.(2.34)â îáëàñòè áàðüåðà. Íàïîìíèì, ÷òî ãëóáèíà ÿìû. Òàêèì îáðàçîì, íàä ïîòåíöèàëüíîé ÿìîé äëèíàâîëíû äå Áðîéëÿ ÷àñòèöû óìåíüøàåòñÿ, à íàä áàðüåðîì óâåëè÷èâàåòñÿ.9ßñíî, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå âîçìîæåí ðåçîíàíñíûé ýôôåêò ðàâåíñòâîçíà÷åíèÿõ ýíåðãèè ÷àñòèöû, äëÿ êîòîðûõT (ε) = 1ïðèkd = πn, n = 1, 2, . .
..Çàêëþ÷èòåëüíûå çàìå÷àíèÿ:•Â ðåàëüíûõ íàíîñòðóêòóðàõ ïîòåíöèàëüíûå áàðüåðû ìîãóò èìåòü ñàìóþ ðàçíîîáðàçíóþ ôîðìó, ïîýòîìó òî÷íîå âû÷èñëåíèå êîýôôèöèåíòà ïðîõîæäåíèÿ (äàæåâ ïðèáëèæåíèè ýôôåêòèâíîé ìàññû) íåâîçìîæíî.Êîýôôèöèåíò ïðîõîæäåíèÿîáû÷íî èãðàåò ðîëü ïîäãîíî÷íîãî ïàðàìåòðà, çíà÷åíèå êîòîðîãî íàõîäèòñÿ èçýêñïåðèìåíòà.•Ìîäåëü ïðÿìîóãîëüíîãî ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà ïîçâîëÿåò êà÷åñòâåííî ïîíÿòüýôôåêòû, âîçíèêàþùèå ïðè ïðîõîæäåíèè ÷àñòèöàìè ïîòåíöèàëüíûõ áàðüåðîâ, àòàêæå îöåíèòü êîýôôèöèåíòû ïðîõîæäåíèÿTíèÿì ýôôåêòèâíîé øèðèíû ðåàëüíîãî áàðüåðàè îòðàæåíèÿdR = 1−Tïî çíà÷å-è ýôôåêòèâíîé âûñîòû áàðüåðàU0 .Çàäà÷à 2.1.Âûâåñòè óðàâíåíèå, ðåøåíèÿ êîòîðîãî îïðåäåëÿþò óðîâíè ýíåðãèèεn = −U0 + ~2 kn2 /2m∗ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé êâàçè÷àñòèöû â îäíîìåðíîé ñèììåòðè÷íîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå c øèðèíîé d è ãëóáèíîé U0:()kd = nπ − 2 arcsin√~k2m∗ U0,ãäå n = 1, 2, 3, .
. . è çíà÷åíèÿ àðêñèíóñà áåðóòñÿ â èíòåðâàëå îò 0 äî π/2. Ïîëó÷èòü èçýòîãî óðàâíåíèÿ ñïåêòð ýíåðãèè êâàçè÷àñòèöû â áåñêîíå÷íî ãëóáîêîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå èñîîòâåòñòâóþùèå âîëíîâûå ôóíêöèè ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé.Âûâåñòè âûðàæåíèå äëÿ êîýôôèöèåíòà ïðîõîæäåíèÿ êâàçè÷àñòèöåé îäíîìåðíîé ñèììåòðè÷íîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìû c øèðèíîé d è ãëóáèíîé U0:Çàäà÷à 2.2.{T =ãäå ~k0 =11+4(k0k−kk0}−1)22sin (kd)√√2m∗ ε m∗, ýôôåêòèâíàÿ ìàññà ÷àñòèöû, ~k = 2m∗(ε + U0).Ýôôåêòèâíàÿ ìàññà ýëåêòðîíà ïðîâîäèìîñòè â ïîëóïðîâîäíèêå ñîñòàâëÿåòm∗ = 0, 5 me . Îïðåäåëèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè ïðîçðà÷íûì äëÿ ýëåêòðîíîâ ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð ñýôôåêòèâíîé øèðèíîé d ≈ 1 íì è ýôôåêòèâíîé âûñîòîé U0 ≈ 1 ìýÂ.Íàéòè ïðåäåëüíîå çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà íàäáàðüåðíîãî îòðàæåíèÿ ÷àñòèöîò ïðÿìîóãîëüíîãî áàðüåðà øèðèíû d è âûñîòû U0:Çàäà÷à 2.3.Çàäà÷à 2.4.R0 = lim R(ε),ãäå ε ýíåðãèÿ ÷àñòèöû.ε→U010(ε > U0 ),3.Äâèæåíèå íîñèòåëåé çàðÿäà â ïðîèçâîëüíîéñèñòåìå ÿì è áàðüåðîâ3.1.Òåîðåìà âðîíñêèàíà äëÿ óðàâíåíèÿ ØðåäèíãåðàÇàäà÷è î ïðîõîæäåíèè ÷àñòèöàìè ïðÿìîóãîëüíûõ ïîòåíöèàëüíûõ ÿì è áàðüåðîâ äàþòêà÷åñòâåííîå ïîíèìàíèå ìíîãèõ âàæíûõ ýôôåêòîâ â íàíîýëåêòðîíèêå.
Êðîìå òîãî, îíèïîçâîëÿþò ïðîâîäèòü îöåíêè, èñïîëüçóÿ ýôôåêòèâíûå çíà÷åíèÿ ãëóáèíû ÿìû (èëè âûñîòû áàðüåðà) U0 è èõ øèðèíû d. Õîòåëîñü áû, îäíàêî, âûÿñíèòü, ñóùåñòâóþò ëèñâîéñòâà âîëíîâûõ ôóíêöèé íîñèòåëåé çàðÿäà (ýëåêòðîíîâ è äûðîê), à òàêæå êîýôôèöèåíòîâ ïðîõîæäåíèÿ è îòðàæåíèÿ â ñòðóêòóðàõ ñ ïðîôèëåì ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè,îïèñûâàþùèì ñèñòåìó ÿì è áàðüåðîâ. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî òàêèåñâîéñòâà ñóùåñòâóþò è îíè áûâàþò ïîëåçíû äëÿ àíàëèçà ðàáîòû ðåàëüíûõ óñòðîéñòâ.Âñå äàëüíåéøèå âûâîäû îñíîâàíû íà îäíîé ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðåìå î ðåøåíèÿõäèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿy ′′ (x) + F (x)y(x) = 0,(3.1)ãäå F (x) îãðàíè÷åííàÿ âåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ íà âñåì èíòåðâàëå (−∞, +∞).îáùèåïðîèçâîëüíîé ôîðìûÇàìå÷àíèå:•Î÷åâèäíî, ÷òî îäíîìåðíîå ñòàöèîíàðíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà äëÿ âîëíîâîéôóíêöèè íîñèòåëÿ çàðÿäà (ýëåêòðîíà èëè äûðêè) â ïðèáëèæåíèè ýôôåêòèâíîéìàññû2m∗ψ (x) + 2 [ε − U (x)] ψ(x) = 0(3.2)~îòíîñèòñÿ ê óðàâíåíèÿì òèïà (3.1).′′Íàïîìíèì, ÷òî îïðåäåëèòåëåì Âðîíèëè ïðîñòî âðîíñêèàíîì äâóõ ôóíêöèé y1(x) è y2(x) íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèåÌàòåìàòè÷åñêîå äîïîëíåíèå: âðîíñêèàí.ñêîãî y y 1 2 W (y1 , y2 ) = ′ = y1 y2′ − y2 y1′ .
y1 y2′ (3.3)Ëåãêî ïðîâåðèòü (ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëþ ñäåëàòü ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî), ÷òî åñëè âðîíñêèàíðàâåí íóëþ íà âñåì èíòåðâàëå (−∞, +∞), òî ôóíêöèè y1 è y2 ïðîïîðöèîíàëüíû äðóãäðóãó.Òåîðåìà âðîíñêèàíà óòâåðæäàåò ñëåäóþùåå:y1 y2y1′′ + F1 (x)y1 = 0,y2′′ + F2 (x)y2 = 0(3.4)Åñëèèÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè óðàâ-íåíèéíà èíòåðâàëå(a, b),íèåìòî èçìåíåíèå èõ âðîíñêèàíà íà ýòîì èíòåðâàëå äàåòñÿ âûðàæå-b ∫ bW (y1 , y2 ) = [F1 (x) − F2 (x)] y1 y2 dx .a(3.5)aÓìíîæèì ïåðâîå óðàâíåíèå (3.4) íà y2, à âòîðîå íà y1 è âû÷òåìïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ. Òàê êàê y2y1 − y1y2 = −dW/dx, ïîëó÷àåìÄîêàçàòåëüñòâî.′′−′′dW+ (F1 − F2 ) y1 y2 = 0.dx1Èíòåãðèðóÿ ýòî ðàâåíñòâî ïî x â èíòåðâàëå (a, b), ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó (3.5).Ðàññìîòðèì ñëåäñòâèÿ èç òåîðåìû âðîíñêèàíà, êîãäà óðàâíåíèÿ (3.4) ÿâëÿþòñÿ óðàâíåíèÿìè Øðåäèíãåðà (3.2) ñ îäíèì è òåì æå ïîòåíöèàëîì U (x) è ñ çàäàííûìè çíà÷åíèÿìèýíåðãèè ÷àñòèöû ε.Ñëåäñòâèå 1. Åñëè ψ1 è ψ2 ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà (3.2), ñîîòâåòñòâóþùèåäâóì çíà÷åíèÿì ýíåðãèè ε1 è ε2, òî äëÿ ëþáîãî èíòåðâàëà (a, b) èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿâîëíîâûõ ôóíêöèé èìååì∫bb2m∗W (ψ1 , ψ2 ) = 2 (ε1 − ε2 ) ψ1 ψ2 dx.~a(3.6)aÅñëè ψ1 è ψ2 ÿâëÿþòñÿ äâóìÿ ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà (3.2),ñîîòâåòñòâóþùèìèε, òî èõ âðîíñêèàí íå çàâèñèòîò x:W (ψ1 , ψ2 ) = const, (ε1 = ε2 ).(3.7)Çàìå÷àíèå.
 ñîîòíîøåíèÿõ (3.6) è (3.7) ëþáóþ èç âîëíîâûõ ôóíêöèé ìîæíî çàìåíèòüíà êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííóþ, òàê êàê ψ è ψ∗ îäíîâðåìåííî óäîâëåòâîðÿþò îäíîìó è òîìóæå óðàâíåíèþ Øðåäèíãåðà.Ñëåäñòâèå 2.îäíîìó è òîìó æå çíà÷åíèþ ýíåðãèè3.2.Ñîîòíîøåíèÿ äëÿ àìïëèòóä è êîýôôèöèåíòîâ ïðîõîæäåíèÿ(îòðàæåíèÿ)Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ÷àñòèöà äâèæåòñÿ âäîëü îñè x, ïðè÷åì åå ïîòåíöèàëüíàÿýíåðãèÿ1U (x) äîñòàòî÷íî áûñòðî ñòðåìèòñÿ ê àñèìïòîòè÷åñêèì çíà÷åíèÿì U+ (ïðè x → +∞)è U− (ïðè x → −∞), êàê ïîêàçàíî íà Ðèñ. 4.1.Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ýíåðãèÿ ÷àñòèöûεïðåâû-ßñíî, ÷òî â ýòîì ñëó÷àåñïåêòð ýíåðãèè íåïðåðûâíûé. Äâèãàÿñü â îáîèõíàïðàâëåíèÿõ, ÷àñòèöà ìîæåò ïðîéòè ñòðóêòóðóèëè îòðàçèòüñÿ. Íàñ áóäóò èíòåðåñîâàòü êîýôôèöèåíòû îòðàæåíèÿ è ïðîõîæäåíèÿ ÷àñòèöû. ×òîáû èõ âû÷èñëèòü, íóæíî íàéòè ðåøåíèÿ ñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà (3.2).
Äëÿ îòáîðàôèçè÷åñêèõ ðåøåíèé ñëåäóåò ó÷åñòü äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ ïîñòàíîâêîéçàäà÷è.à) ×àñòèöû ïðèõîäÿò èç îáëàñòè x → −∞.Íàçîâåì ñîîòâåòñòâóþùèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿÐèñ. 4.1.Øðåäèíãåðà âîëíîâûìè ôóíêöèÿìè u-òèïà. Âàñèìïòîòè÷åñêèõ îáëàñòÿõ ïîâåäåíèå òàêèõ ôóíêöèé î÷åâèäíî:øàåò êàêU+ ,u(x) = eik− x + ru e−ik− x ,u(x) = tu eik+ xòàê èU− .x → −∞,x → +∞,(3.8)√ãäå k± = 2m∗(ε − U±)/~ âîëíîâûå ÷èñëà â àñèìïòîòè÷åñêèõ îáëàñòÿõ, tu, ru êîìïëåêñíûå àìïëèòóäû. Ïåðâàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ îïèñûâàåò ñóïåðïîçèöèþ ñîñòîÿíèé1 Êàê ïîêàçûâàåò ïîäðîáíûé ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç, äëÿ äàëüíåéøèõ âûâîäîâ íóæíî, ÷òîáû U (x)ñòðåìèëàñü ê àñèìïòîòè÷åñêèì çíà÷åíèÿì áûñòðåå, ÷åì 1/x.2ïðèõîäÿùèõ è îòðàæåííûõ ÷àñòèö2, à âòîðàÿ ôóíêöèÿ ñîñòîÿíèå ïðîøåäøèõ ÷àñòèö.
Àìïëèòóäû tu è ru îïðåäåëÿþò êîýôôèöèåíòû (âåðîÿòíîñòè) ïðîõîæäåíèÿ (Tu)è îòðàæåíèÿ (Ru) ÷àñòèö:Tu =k+|tu |2k−Ru = |ru |2 .(3.9)Íàëè÷èå ìíîæèòåëÿ (k+/k−) â êîýôôèöèåíòå ïðîõîæäåíèÿ ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ÷àñòèöûâ èñõîäíîì è êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè èìåþò ðàçíûå ñêîðîñòè3.á) ×àñòèöû ïðèõîäÿò èç îáëàñòè x → +∞.
Áóäåì íàçûâàòü ñîîòâåòñòâóþùèåðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà âîëíîâûìè ôóíêöèÿìè v-òèïà.  àñèìïòîòè÷åñêèõîáëàñòÿõ îíè èìåþò âèäv(x) = tv e−ik x ,x → −∞,(3.10)−ik xik xv(x) = e+ rv e,x → +∞. äàííîì ñëó÷àå êîýôôèöèåíòû ïðîõîæäåíèÿ è îòðàæåíèÿ çàïèñûâàþòñÿ òàê:−++(3.11)Ôóíêöèè u, v è êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûå ôóíêöèè u∗, v∗ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà (3.2), ïðè÷åì îíè ñîîòâåòñòâóþò îäíîìó çíà÷åíèþ ýíåðãèè ε. Ïîýòîìó âðîíñêèàí ëþáîé ïàðû èç ýòèõ ôóíêöèé íå çàâèñèò îò x [ñëåäñòâèå 2 èç òåîðåìû î âðîíñêèàíå ðàâåíñòâî (3.7)]. Ïðèðàâíèâàÿ âðîíñêèàíû ëþáûõ äâóõ ôóíêöèé â àñèìïòîòè÷åñêèõîáëàñòÿõ, ìîæíî ïîëó÷èòüìåæäó àìïëèòóäàìè tu, tv , ru, rv èëèêîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûìè âåëè÷èíàìè. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ýòè ñîîòíîøåíèÿîò âèäà ïîòåíöèàëà U (x)!Âñåãî ìîæíî ïîñòðîèòü 6 ïàð èç íàáîðà ôóíêöèé u, u∗, v, v∗, ò.å.
ìîæíî ïîëó÷èòü 6 ñîîòíîøåíèé ìåæäó àìïëèòóäàìè. Âû÷èñëåíèÿ óïðîùàþòñÿ, åñëè èñïîëüçîâàòüñâîéñòâà âðîíñêèàíà, êîòîðûå ñëåäóþò íåïîñðåäñòâåííî èç åãî îïðåäåëåíèÿ (3.3):Tv =k−|t |2k+ vRv = |rv |2 .òî÷íûå ñîîòíîøåíèÿíå áóäóòçàâèñåòüW (y2 , y1 ) = −W (y1 , y2 ),W (y, y) = 0,W (y1 + z, y2 ) = W (y1 , y2 ) + W (z, y2 ),W (y1 , y2 + z) = W (y1 , y2 ) + W (y1 , z).Ïîñëå ïðîñòûõ âû÷èñëåíèé, êîòîðûå îñòàâëÿåì ÷èòàòåëþ â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ, ïîëó÷àåì()iW (u, u∗ ) = k− 1 − |ru |2 = k+ |tu |2 ,(3.12)2()iW (v, v ∗ ) = −k− |tv |2 = −k+ 1 − |rv |2 ,(3.13)2iW (u, v) = k− tv = k+ tu ,(3.14)2i(3.15)W (u, v ∗ ) = −k− ru t∗v = k+ tu rv∗ ,2è åùå äâà ñîîòíîøåíèÿ, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ èç (3.14) è (3.15) â ðåçóëüòàòå êîìïëåêñíîãî ñîïðÿæåíèÿ. Èç ïðèâåäåííûõ âûøå ñîîòíîøåíèé ñëåäóþò ôèçè÷åñêè èíòåðåñíûåâûâîäû:Äëÿ óïðîùåíèÿ ôîðìóë ìû âûáðàëè àìïëèòóäó ïàäàþùåé âîëíû äå Áðîéëÿ ðàâíîé åäèíèöå.
∗Íàïîìíèì, ÷òî ñêîðîñòü ÷àñòèöû â êâàíòîâîì ñîñòîÿíèè ñ âîëíîâûì ÷èñëîì k ðàâíà v = ~k/m ,à ïëîòíîñòüïîòîêà ÷àñòèö (ïðè ñîîòâåòñòâóþùåé íîðìèðîâêå âîëíîâîé ôóíêöèè) çàïèñûâàåòñÿ êàêj = v|A|2 , ãäå A êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà âîëíîâîé ôóíêöèè. Ïîäðîáíåå ýòîò âîïðîñ îáñóæäàëñÿ âêóðñå êâàíòîâîé ìåõàíèêè (ñì., íàïðèìåð, ïîñîáèå [À.À. Áåðçèí, Â.Ã. Ìîðîçîâ]).233• Ñîõðàíåíèå ïîòîêà.ëó÷àåìÈç (3.12) è (3.13) ñ ó÷åòîì îïðåäåëåíèé (3.9) è (3.11) ïîRu = 1 − Tu ,(3.16)Rv = 1 − TvÑìûñë ýòèõ ðàâåíñòâ î÷åâèäåí: îíè âûðàæàþò ñîõðàíåíèå ÷èñëà ÷àñòèö.• Ñâîéñòâî âçàèìíîñòè êîýôôèöèåíòîâ ïðîõîæäåíèÿ (îòðàæåíèÿ).(3.14) íàõîäèìtu =Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî(3.17)k−t .k+ v(3.18)Âòîðîå ñîîòíîøåíèå ñëåäñòâèå ïåðâîãî èç ðàâåíñòâ (3.16).
Ôîðìóëû (3.18) âûðàæàþò íå ñîâñåì î÷åâèäíîå ñâîéñòâî êâàíòîâîé äèíàìèêè: âåðîÿòíîñòè ïðîõîæäåíèÿ ëþáîé îäíîìåðíîé ñòðóêòóðû â îáîèõ íàïðàâëåíèÿõ îäèíàêîâû.Ôàçîâûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ àìïëèòóä. Åñëè çàïèñàòü êîìïëåêñíûå àìïëèòóäû â àñèìïòîòè÷åñêèõ âîëíîâûõ ôóíêöèÿõ êàêtu = |tu | eiφ ,tv = |tv | eiφ ,(3.19)ru = |ru | eiχ ,rv = |rv | eiχ ,(3.20)òî èç (3.17) ñëåäóåò, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåφu = φv ,(3.21)êîòîðîå ïîêàçûâàåò, ÷òî âîëíû äå Áðîéëÿ, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç ëþáóþ îäíîìåðíóþ ñòðóêòóðó â îáîèõ íàïðàâëåíèÿõ, íàáèðàþò îäèíàêîâóþ ôàçó.Äëÿ îòðàæåííûõ âîëí ôàçû χu è χv íå ðàâíû äðóã äðóãó, îäíàêî èç (3.15) íåòðóäíî ïîëó÷èòü äëÿ íèõ ñîîòíîøåíèåχu + χv = π + φu + φv(3.22)Òàêèì îáðàçîì, ôàçû îòðàæåííûõ âîëí äå Áðîéëÿ òàêæå æåñòêî ñâÿçàíû äðóã ñäðóãîì.Tu = Tv ,•ÈçRu = RvuuÇàìå÷àíèå:vvÏîñêîëüêó äëÿ ðåàëüíûõ ñòðóêòóð âû÷èñëèòü òî÷íî êîýôôèöèåíòû ïðîõîæäåíèÿè îòðàæåíèÿ íîñèòåëåé çàðÿäà íåâîçìîæíî, ïðèâåäåííûå âûøå ñîîòíîøåíèÿ èìåþòáîëüøóþ öåííîñòü, òåì áîëåå, ÷òî îíè íå çàâèñÿò îò âèäà ïîòåíöèàëà U (x).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
