Курс лекций по Физике наноразмерных систем (1088950), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Âî ìíîãèõñëó÷àÿõ ýòè ñîîòíîøåíèÿ ïîçâîëÿþò êà÷åñòâåííî ïîíÿòü ðàáîòó êâàíòîâûõ ýëåìåíòîâìèêðîýëåêòðîíèêè. Ïðè ýòîì ñàìè àìïëèòóäû ïðîøåäøåé è îòðàæåííîé âîëí äåÁðîéëÿ ÷àñòî ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê ïîäãîíî÷íûå ïàðàìåòðû.Çàäà÷à 3.1. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîé îäíîìåðíîé ñòðóêòóðû:à) âåðîÿòíîñòü ïðîõîæäåíèÿ (îòðàæåíèÿ) ÷àñòèöû íå çàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ;á) èçìåíåíèÿ ôàçû âîëíîâîé ôóíêöèè ÷àñòèöû ïðè ïðîõîæäåíèè ñòðóêòóðû â îáîèõíàïðàâëåíèÿõ îäèíàêîâû.44.Ýíåðãåòè÷åñêàÿ ïëîòíîñòü ýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèéâ íèçêîðàçìåðíûõ ñòðóêòóðàõÊàê èçâåñòíî èç êóðñà ôèçèêè òâåðäîãî òåëà, ìíîãèå õàðàêòåðèñòèêè íîñèòåëåé çàðÿäà â ìåòàëëàõ è ïîëóïðîâîäíèêàõ âûðàæàþòñÿ ÷åðåçýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèéýíåðãåòè÷åñêóþ ïëîòíîñòü ÷èñëî êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé ýëåêòðîíà (èëè äûðêè), ïðè-õîäÿùèõñÿ íà åäèíè÷íûé èíòåðâàë ýíåðãèè (è îáû÷íî íà åäèíè÷íûé îáúåì òåëà).
Âíèçêîðàçìåðíûõ ñèñòåìàõ ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð íîñèòåëåé çàðÿäà ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò ñïåêòðà â ìàññèâíîì êðèñòàëëå. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî äîëæíî ñêàçàòüñÿ è íàïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé.Ìû âû÷èñëèì ïëîòíîñòü ýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèé â äâóìåðíîìýëåêòðîííîì ãàçå (â òîíêîé ïëåíêå) è îäíîìåðíîì ýëåêòðîííîì ãàçå (â êâàíòîâîéïðîâîëîêå) äëÿ ìîäåëè èçîòðîïíûõ è ïàðàáîëè÷åñêèõ çîí.4.1.Òðåõìåðíûå ìåòàëëû è ïîëóïðîâîäíèêèÏðåæäå ÷åì çàíÿòüñÿ íèçêîðàçìåðíûìè ñòðóêòóðàìè, êðàòêî íàïîìíèì õîä âû÷èñëåíèÿ ýëåêòðîííîé ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé â ìàññèâíûõ ìåòàëëàõ è ïîëóïðîâîäíèêàõ.Êâàíòîâîå ñîñòîÿíèå ýëåêòðîíà â çîíå ïðîâîäèìîñòè ìåòàëëà îïðåäåëÿåòñÿ âîëíîâûì âåêòîðîìsz = ±1/2⃗kp⃗ = ~ ⃗k ) è çíà÷åíèåì ïðîåêöèè ñïèíà ýëåêòðîíàÏëàíêà ~).
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êðèñòàëë èìååò(èëè êâàçèèìïóëüñîì(â åäèíèöàõ ïîñòîÿííîéèìååò ôîðìó ïàðàëëåëåïèïåäà ñî ñòîðîíàìè, íàïðàâëåííûìè âäîëü îñåé ñèñòåìû êî-Lx , Ly , Lz . Òîãäà èç ïåðèîäè÷åñêèõãðàíè÷íûõ óñëîâèé íà ãðàíèöàõ êðèñòàëëà äëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè ýëåêòðîíà íàõîäÿòñÿîðäèíàò. Ëèíåéíûå ðàçìåðû êðèñòàëëà îáîçíà÷èìâîçìîæíûå çíà÷åíèÿ ïðîåêöèé âîëíîâîãî âåêòîðà:kx =ãäånx , ny , nz = 0, ±1, ±2 . . ..2πn ,Lx xky =2πn ,Ly ykz =2πn,Lz z(4.1)Äëÿ ìàññèâíîãî êðèñòàëëà âñå òðè ðàçìåðàLx , Ly , Lzìàêðîñêîïè÷åñêèå. Ïîýòîìó ñïåêòð ïðîåêöèé âîëíîâîãî âåêòîðà ïðàêòè÷åñêè íåïðåðûâåí, òàê ÷òî ïðè âû÷èñëåíèè ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí ñóììèðîâàíèå ïî êâàíòîâûì ñîñòîÿíèÿì ýëåêòðîíà ìîæíî çàìåíèòü íà èíòåãðèðîâàíèå ïî ïðîåêöèÿìèçâåñòíîìó ïðàâèëó∑kx ,ky ,kz ,szVF (⃗k) → 2(2π)3kx , ky , kz∫F (⃗k) d3⃗k,(4.2)F (⃗k) ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ ïðîåêöèé âîëíîâîãî âåêòîðà, V = Lx Ly Lz 3k = dkx dky dkz ýëåìåíò îáúåìà â ⃗k -ïðîñòðàíñòâå1 .
Èç (4.2)ñòàëëà, d ⃗ãäåâåëè÷èíàdN⃗k = 2÷èñëîýëåêòðîííûõïðîñòðàíñòâå.ñîñòîÿíèé,ñîãëàñíîîáúåì êðèâèäíî, ÷òîVd3⃗k3(2π)ïðèõîäÿùèõñÿ(4.3)íàýëåìåíòàðíûéîáúåìâ⃗k -Î÷åâèäíî, ÷òî àíàëîãè÷íàÿ âåëè÷èíà â ïðîñòðàíñòâå êâàçèèìïóëüñîâèìååò âèädNp⃗ = 2Vd3 p⃗.(2π~)3(4.4)1 Êîýôôèöèåíò 2 â ôîðìóëå (4.2) ïîÿâëÿåòñÿ èç-çà ñóììèðîâàíèÿ ïî äâóì âîçìîæíûì ïðîåêöèÿìñïèíà ýëåêòðîíà.1 êîíêðåòíûõ ðàñ÷åòàõ ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ ëþáîé èç ïðèâåäåííûõ âûøå ôîðìóë.Çàìåòèì, îäíàêî, ÷òî ïðàâèëî (4.2) íå ñîâñåì óäîáíî èñïîëüçîâàòü, åñëè ôóíêöèÿçàâèñèò ëèøü îò ýíåðãèè ýëåêòðîíàFE.Íàïðèìåð, õîðîøî èçâåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå Ôåðìè-Äèðàêà ðàâíîâåñíàÿ âåðîÿòíîñòüçàïîëíåíèÿ êâàíòîâîãî ñîñòîÿíèÿ ñ ýíåðãèåé E îòíîñèòñÿ ê òàêèì ôóíêöèÿì:(f (E) =exp(4.5)1),E−µ+1Tãäå T òåìïåðàòóðà2, µ õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë ýëåêòðîíîâ.Åñëè â ôîðìóëå (4.2)F = F (E),òî åñòåñòâåííî ïðåîáðàçîâàòü òðåõìåðíûé èíòå-ãðàë ïî ïðîåêöèÿì âîëíîâîãî âåêòîðà â îäíîìåðíûé èíòåãðàë ïî ýíåðãèèE. ýòîì,ñîáñòâåííî, è ñîñòîèò èäåÿ ââåäåíèÿ ïëîòíîñòè ýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèé.dNE ÷èñëî êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé â (áåñêîíå÷íî) ìàëîì èíòåðE +dE .
Òîãäà ïëîòíîñòü ýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèé â åäèíèöåîáúåìà êðèñòàëëà ν(E) îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåìÎáîçíà÷èì ÷åðåçâàëå ýíåðãèé îòEäîν(E) =1 dNE.V dE(4.6)Ïëîòíîñòü ýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèé äëÿ èçîòðîïíîé ïàðàáîëè÷åñêîé çîíû â ìàññèâíîììåòàëëå ìîæíî âû÷èñëèòü òî÷íî. Äåéñòâèòåëüíî, â òàêîé çîíå ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà èìååòâèäE(⃗p) = p2 /2m∗ .(4.7)ÏîýòîìódNE = 2ãäåãèèdp dE .V4πp2 dp,(2π~)3(4.8)èíòåðâàë çíà÷åíèé ìîäóëÿ êâàçèèìïóëüñà, ñîîòâåòñòâóþùèé èíòåðâàëó ýíåð√Ïîñêîëüêó p =2m∗ E , íàõîäèì, ÷òî dp = (m∗ /2E)1/2 dE . Ïîäñòàâëÿÿ ýòîâûðàæåíèå â (4.8) è âñïîìèíàÿ îïðåäåëåíèå (4.6) ïëîòíîñòè ýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèé,ïîñëå ïðîñòûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåì√2(m∗ )3/2 √ν(E) =Eπ 2 ~3(ìàññèâíûé ìåòàëë).(4.9)Ïðîñòîòà âû÷èñëåíèÿ ν(E) äëÿ èçîòðîïíîé ïàðàáîëè÷åñêîé çîíû ñâÿçàíà ñ ïðîñòîòîéèçîýíåðãåòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé S(E) â p⃗-ïðîñòðàíñòâå òàêîé çîíû.
Ýòè ïîâåðõíîñòèîïðåäåëÿþòñÿ óðàâíåíèåì E = E(⃗p) è ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñôåðû. Ïîýòîìó âñå, ÷òîíóæíî, âû÷èñëèòü p⃗-îáúåì ìåæäó äâóìÿ ñôåðàìè ñ áåñêîíå÷íî áëèçêèìè ðàäèóñàìè.  ðåàëüíûõ ìåòàëëàõ èçîýíåðãåòè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè ìîãóò èìåòü âåñüìà ñëîæíóþôîðìó. Èíòåðåñíî, ÷òî ìîæíî ïîëó÷èòü òî÷íîå âûðàæåíèå äëÿ ν(E) ïðè ïðîèçâîëüíîìçàêîíå äèñïåðñèè E(⃗p):∫dS2,(4.10)ν(E) =⃗(2π~)3S(E)|∇p E|2 Çäåñü è äàëåå, ÷òîáû óïðîñòèòü ôîðìóëû, ìû áóäåì âûðàæàòü òåìïåðàòóðó â ýíåðãåòè÷åñêèõåäèíèöàõ.
Äëÿ ïåðåõîäà ê ïðèíÿòîé â òåðìîäèíàìèêå åäèíèöå ãðàäóñó Êåëüâèíà ñëåäóåò çàìåíèòüT → kB T (o K), ãäå kB ïîñòîÿííàÿ Áîëüöìàíà.2ãäå èíòåãðèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî ïîâåðõíîñòè S(E), íà êîòîðîé E = E(⃗p), à(⃗ E=∇p∂E(⃗p) ∂E(⃗p) ∂E(⃗p),,∂px∂py∂pz) âåêòîð ãðàäèåíòà ýíåðãèè ýëåêòðîíà â p⃗-ïðîñòðàíñòâå. Äëÿ èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé ñëîæíîé ôîðìû ν(E) óäàåòñÿ íàéòè ëèøü ñ ïîìîùüþ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ. êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè ïðèìåíåíèÿ ýíåðãåòè÷åñêîé ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé, çàïèøåì3î÷åâèäíîå ðàâåíñòâî∫∞ne =ν(E)f (E) dE,(4.11)0ne êîíöåíòðàöèÿ ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèìîñòè, f (E) ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ (4.5).Ñîîòíîøåíèå (4.11) ìîæíî òðàêòîâàòü êàê óðàâíåíèå äëÿ õèìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà. ÏðèãäåT =0f (E) = 1èìååìýíåðãèÿ Ôåðìè.ïðèE ≤ EFèf (E) = 0ïðèE > EFãäåEF = µ(T = 0, ne ) äàííîì ñëó÷àå èç (4.11) ñëåäóåò, ÷òî∫EFne =ν(E) dE.(4.12)0Èñïîëüçóÿ (4.9) è âû÷èñëÿÿ èíòåãðàë, ïîëó÷àåìEF =~2 ( 2 )2/33π ne2m∗(4.13) õîðîøî èçâåñòíîå âûðàæåíèå äëÿ ýíåðãèè Ôåðìè ýëåêòðîííîãî ãàçà â ìàññèâíîììåòàëëå.Ïåðåéäåìêàì.êÄëÿïðîñòîòû(áåcïðèìåñíûé)çîíàìàññèâíûìðàññìîòðèìïîëóïðîâîäíèê,ïðîâîäèìîñòèáîëè÷åñêèå,ïîëóïðîâîäíè-èâàëåíòíàÿâ÷èñòûéêîòîðîìçîíàïàðà-ïðè÷åì ìèíèìóì ýíåðãèè â çîíåïðîâîäèìîñòè è ìàêñèìóì ýíåðãèè â âàëåíòíîéçîíå⃗k = 0ñîîòâåòñòâóþò(ñì.Ðèñ.
4.1.)ñîñòîÿíèÿìýëåêòðîíàñEg = Ec − Ev ýòîì ñëó÷àåÂåëè÷èíà çàïðåùåííàÿ çîíà ýíåðãèé.çàêîíû äèñïåðñèè äëÿ ýëåêòðîíîâ â çîíå ïðîâîäèìîñòè (Ee (⃗p)) è äûðîê â âàëåíòíîé çîíå(Eh (⃗p)) èìåþò âèäÐèñ. 4.1.4Ee (⃗p) = Ec +p2,2meEh (⃗p) = Ev −p2,2mh(4.14)3 ôîðìóëå (4.11) ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà îòñ÷èòûâàåòñÿ îò äíà çîíû ïðîâîäèìîñòè Ec , ò.å. îò ìèíèìàëüíîé ýíåðãèè â ýòîé çîíå.  êà÷åñòâå âåðõíåãî ïðåäåëà â èíòåãðàëå ñëåäóåò âçÿòü, ñòðîãî ãîâîðÿ,ìàêñèìàëüíóþ ýíåðãèþ ýëåêòðîíàEmaxâ çîíå ïðîâîäèìîñòè. Îäíàêî, äëÿ âñåõ ðàçóìíûõ çíà÷åíèéòåìïåðàòóðû, ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ î÷åíü áûñòðî ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè ýíåðãèÿõ çíà÷èòåëüíîEmax .
Ïîýòîìó èíòåãðèðîâàíèÿ ìîæíî ôîðìàëüíî âåñòè äî +∞.4 Íàïîìíèì, ÷òî âåðîÿòíîñòü çàïîëíåíèÿ äûðî÷íîãî ñîñòîÿíèÿ åñòü f (E) =hìåíüøèõ, ÷åì31 − f (E).me è mh ñîîòâåòñòâóþùèå ýôôåêòèâíûå ìàññû. Äåéñòâóÿ òî÷íî òàê æå, êàêè âûøå, íåòðóäíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèÿ äëÿ ýíåðãåòè÷åñêîé ïëîòíîñòè ýëåêòðîííûõ èãäåäûðî÷íûõ ñîñòîÿíèé (îñòàâëÿåì ýòî ÷èòàòåëþ):√3/22 me √E − Ec ,π 2 ~3νe (E) =√3/22 mh √Ev − Eπ 2 ~3νh (E) =(ïîëóïðîâîäíèê).Î÷åâèäíî, ÷òî ïåðâàÿ èç ïðèâåäåííûõ ôîðìóë èìååò ñìûñë ïðèïðèE > Ec ,(4.15)à âòîðàÿ E < Ev .4.2.Äâóìåðíûé ýëåêòðîííûé ãàçÐàññìîòðèì òåïåðü ìîäåëü äâóìåðíîãî ýëåêòðîííîãî ãàçà â òîíêîé ïëåíêå ñ òîëùèíîéd.Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âäîëü îñåéxêàê âäîëü îñèyèzðàçìåðû ñèñòåìû ìàêðîñêîïè÷åñêèå.Òàêýëåêòðîí äâèæåòñÿ â ïîòåíöèàëüíîé ÿìå, òî â äàííîì ñëó÷àå çàêîíäèñïåðñèè èìååò âèäp2y + p2zEn (py , pz ) = εn +,2m∗ãäå èíäåêñn(4.16)íóìåðóåò óðîâíè ýíåðãèè â ÿìå.Òàêèì îáðàçîì, âìåñòî îäíîé çîíû ïðîâîäèìîñòè â ìàññèâíîì (òðåõìåðíîì) êðèñòàëëå, â äâóìåðíîì ýëåêòðîííîì ãàçå âîçíèêàåò íåñêîëüêî ýëåêòðîííûõ ýíåðãåòè÷åñêèõ ïîäçîí, îòëè÷àþùèõñÿ íîìåðîì5àëüíîé ÿìå .Íà Ðèñ.
4.2.nêâàíòîâîãî ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíà â ïîòåíöè-èçîáðàæåí ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð ýëåêòðîíà â ìàññèâíîìêðèñòàëëå (à ) è â äâóìåðíîì ãàçå (á ).Ïðåäïîëîæèì,ÿìå èìååòñÿíûnM÷òîâïîòåíöèàëüíîéóðîâíåé, ò.å. èíäåêñ ïîäçî-ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿn = 1, 2, . . . , M .Ñíà÷àëà íàéäåì ïëîòíîñòü ýëåêòðîííûõñîñòîÿíèéνn (E)ân-îéïîäçîíå (E≥ εn ).Äëÿ óïðîùåíèÿ ôîðìóë áóäåì çàïèñûâàòüäâóìåðíûéïëîñêîñòèêâàçèèìïóëüñ(y, z)êàêýëåêòðîíàâp⃗.Ñëåäóÿ ëîãèêå âû÷èñëåíèÿ ïëîòíîñòèýëåêòðîííûõñîñòîÿíèéâêðèñòàëëå, ââåäåì âåëè÷èíóÐèñ.
4.2.òðåõìåðíîìdNp⃗ ÷èñëîêâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé ýëåêòðîíà â ýëåìåíòåd2 p⃗ = dpy dpz äâóìåðíîãî p⃗-ïðîñòðàíñòâà.Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òîdNp⃗ = 2ãäåSSd2 p⃗,2(2π~) ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè ïëåíêè. Òàê êàê ýíåðãèÿ ýëåêòðîíàçàâèñèò òîëüêî îò ìîäóëÿ êâàçèèìïóëüñà, òî èçîýíåðãåòè÷åñêèåp⃗-ïðîñòðàíñòâå îêðóæíîñòè ñ ðàäèóñàìèêâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé ýëåêòðîíà ñ ýíåðãèåé âdNE = 2E(⃗p) = εn + p2 /2m∗ëèíèè E = E(⃗p) â√2m∗ (E − εn ). Ïîýòîìóèíòåðâàëå dE ïîëó÷àåìp =äëÿ ÷èñëàSS m∗2πp(E)dp(E)=dE.(2π~)2π~25  ïîëóïðîâîäíèêîâûõ ñòðóêòóðàõ âîçìîæíî îáðàçîâàíèå è äâóìåðíîãî ãàçà äûðîê. ßñíî, ÷òî âòàêèõ ñëó÷àÿõ âîçíèêàþòäûðî÷íûå ýíåðãåòè÷åñêèå ïîäçîíû.4Îòñþäà ñëåäóåò âûðàæåíèå äëÿ ïëîòíîñòè ýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèé â ïîäçîíå÷åòå íà åäèíèöó ïëîùàäè ïëåíêè):νn (E) =m∗,π~2(â ðàñ-(E > εn ).(4.17)Îáðàòèì âíèìàíèå íà óäèâèòåëüíûé è íåî÷åâèäíûé ôàêò:ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé âäâóìåðíîì ýëåêòðîííîì ãàçå íå çàâèñèò îò ýíåðãèè è îò íîìåðà ïîäçîíû!Ïîëíàÿ ýíåðãåòè÷åñêàÿ ïëîòíîñòü ýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèéðîâàíèåìνn (E)ν(E)íàõîäèòñÿ ñóììè-ïî âñåì ïîäçîíàì.
Äëÿ êîìïàêòíîé çàïèñè ðåçóëüòàòà óäîáíî ââåñòèñòóïåí÷àòóþ ôóíêöèþ6{Θ(x) =1,0,x > 0,x < 0.(4.18)Òîãäàν(E) =4.3.m∗ ∑Θ(E − εn )π~2 n(äâóìåðíûé ýëåêòðîííûé ãàç).(4.19)Îäíîìåðíûé ýëåêòðîííûé ãàçÏðèìåðíî òàê æå âû÷èñëÿåòñÿ ýíåðãåòè÷åñêàÿ ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé ýëåêòðîíîâ â îäíîìåðíûõ ñèñòåìàõ (êâàíòîâûõ ïðîâîëîêàõ). Åñëè îñüçàêîí äèñïåðñèè ân-îé7x íàïðàâëåíà âäîëü ïðîâîëîêè,En (px ) = εn +p2x.2m∗(4.20)Âû÷èñëèì ýíåðãåòè÷åñêóþ ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé ýëåêòðîíà âÄëÿ ÷èñëà êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèédNpxâ èíòåðâàëådNpx = 2gnãäåLòîïîäçîíå èìååò âèä äëèíà ïðîâîëîêè, àgndpxn-îéïîäçîíå.èìååì î÷åâèäíîå ñîîòíîøåíèåLdp ,2π~ x(4.21) êðàòíîñòü âûðîæäåíèÿ óðîâíÿεn8ÿ ÿìå .Ââîäÿ îáîçíà÷åíèå p = |px |, èç (4.21) íàõîäèìâûðàæåíèå äëÿ ÷èñëà êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé dNEñ ýíåðãèåé â èíòåðâàëå dE :dNE = 2gnL2 dp(E),2π~(4.22)Ðèñ. 4.3.√p(E) = 2m∗ (E − εn ), (E > εn ).
Ðèñóíîê 4.3. ïîÿñíÿåò ïîÿâëåíèå êîýôôèöèåíòà2 ïåðåä dp : âêëàä â dNE äàþò êâàíòîâûå ñîñòîÿíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå äâóì èíòåðâàëàì dp ïðè ïîëîæèòåëüíîì è îòðèöàòåëüíîì çíà÷åíèÿõ px . Òàê êàê â äàííîì ñëó÷àådp(E) = [m∗ /p(E)] dE , òî èç (4.22) ëåãêî íàõîäèòñÿ ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé â n-îé ïîäçîíåãäå(â ðàñ÷åòå íå åäèíèöó äëèíû ïðîâîëîêè):√2m∗g√ nνn (E) =Θ(E − εn ),π~E − εnôóíêöèåé Õåâèñàéäà6 Îíà íàçûâàåòñÿ òàêæå.7 Äëÿ êðàòêîñòè óðîâíè ýíåðãèè â äâóìåðíîé ÿìå íóìåðóþòñÿ îäíèì ñëîæíûì èíäåêñîì8 Íàïîìíèì, ÷òî â äâóìåðíîé ÿìå óðîâíè ýíåðãèè ìîãóò áûòü âûðîæäåíû.5(4.23)n.ãäåΘ(x) ñòóïåí÷àòàÿ ôóíêöèÿ (4.18). Ïîëíàÿ ïëîòíîñòü ýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèé âïðîâîëîêå ñóììà âûðàæåíèé (4.23):√2m∗ ∑g√ nν(E) =Θ(E − εn )π~ nE − εn(îäíîìåðíûé ýëåêòðîííûé ãàç).(4.24)Çàâèñèìîñòü ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé îò ýíåðãèè ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèìîñòè â ñèñòåìàõðàçëè÷íîé ðàçìåðíîñòè ïîêàçàíà íà Ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
