Курс лекций по Физике наноразмерных систем (1088950), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Îíè óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿìi~∂ψ(⃗r, t)= Ĥψ(⃗r, t),∂tãäåĤ =i~dχ(t)= Ĥs χ(t)dt)21 (ˆ⃗ r) + U (⃗r)p⃗ + eA(⃗02me(9.17)(9.18) ãàìèëüòîíèàí, îïèñûâàþùèé äâèæåíèå ýëåêòðîíà,ˆ⃗ ⃗ˆ·B⃗ ≡ gµ S·BĤs = −⃗µB(9.19) ñïèíîâûé ãàìèëüòîíèàí.•Òàêèì îáðàçîì, â êðèñòàëëàõ, ãäå íåò ôåððîìàãíåòèçìà èëè àíòèôåððîìàãíåòèç-6ìà , äèíàìèêà ñïèíà íîñèòåëåé çàðÿäà è èõ äâèæåíèå ïî êðèñòàëëó ÷àñòî ìîãóòðàññìàòðèâàòüñÿ ïî îòäåëüíîñòè.•Ó÷åò êðèñòàëëè÷åñêîãî ïîëÿ ïðèâîäèò ê îáðàçîâàíèþ ýíåðãåòè÷åñêèõ çîí.Äëÿâñåõ ðàçóìíûõ çíà÷åíèé ìàãíèòíîãî ïîëÿ åãî âëèÿíèå íà ñòðóêòóðó çîí ïðåíåáðåæèìî ìàëî.
Ïîýòîìó ïðè ðàññìîòðåíèè äâèæåíèÿ êâàçè÷àñòèöû ñ ýíåðãèåé âêàêîé-òî êîíêðåòíîé (ïàðàáîëè÷åñêîé) çîíå, ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ ãàìèëüòîíèàíîìĤ =ãäåm∗ ýôôåêòèâíàÿ ìàññà,ïðîâîäèìîñòè,6q=eq)21 (ˆ⃗ r) ,p⃗−qA(⃗2m∗ çàðÿä êâàçè÷àñòèöû (qäëÿ äûðêè.)Ìû çäåñü íå êàñàåìñÿ òàêæå ñâåðõïðîâîäíèêîâ.3(9.20)= −eäëÿ ýëåêòðîíà9.4.Ñòàöèîíàðíûå êâàíòîâûå ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíàâ ìàãíèòíîì ïîëåÏðåäïîëîæèì, ÷òî ïîñòîÿííîå è îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå⃗ = (0, 0, B).B7ïîëå .ÏóñòüEΨ,ãäå⃗Bíàïðàâëåíî ïî îñèz , ò.å.Ðàññìîòðèì ñòàöèîíàðíûå êâàíòîâûå ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíà â ìàãíèòíîìE ýíåðãèÿ ñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ, êîòîðîå íàõîäèòñÿ èç óðàâíåíèÿ ĤΨ =Ψ ñîîòâåòñòâóþùèé ñïèíîð.
Êàê óæå ãîâîðèëîñü, â ñëó÷àå îäíîðîäíîãîìàãíèòíîãî ïîëÿ êîîðäèíàòíûå è ñïèíîâûå ïåðåìåííûå ðàçäåëÿþòñÿ, ïîýòîìó çàäà÷à íàñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ýíåðãèè ýëåêòðîíà ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþäâóõ íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé:Ĥψ = E ′ ψ,ãäåψ(⃗r)Ĥs χ = Eñïèí χ, êîîðäèíàòíàÿ ÷àñòü âîëíîâîé ôóíêöèè,χ(9.21) ñïèíîð, îïèñûâàþùèé ñòàöèî-íàðíîå ñïèíîâîå ñîñòîÿíèå.Óðîâíè ýíåðãèè ýëåêòðîíà äàþòñÿ ôîðìóëîéE = E ′ + Eñïèí .Ñïèíîâûå ñòàöèîíàðíûå ñîñòîÿíèÿ ëåãêî íàõîäÿòñÿ:(χ↑ =10) ()1, Sz = , Eñïèí = µB B ,2(χ↓ =01) ()1, Sz = − , Eñïèí = −µB B2(9.22) ïåðâîì ñîñòîÿíèè ìàãíèòíûé ñïèíîâûé ìîìåíò ýëåêòðîíà íàïðàâëåíâäîëü ïîëÿ, à âî âòîðîì ïðîòèâ ïîëÿ.8Òåïåðü çàéìåìñÿ óðàâíåíèåìĤψ = E ′ ψ . äàííîì ñëó÷àå ãàìèëüòîíèàí ýëåêòðîíà èìååò âèäĤ = ĥ + ĥzãäå ãàìèëüòîíèàíîïèñûâàåò äâèæåíèå ýëåêòðîíà(9.23)p̂2zĥz =+ U (z)2m∗âäîëü îñè z (ò.å.
âäîëü(9.24)()2 ]1 [2ĥ =(p̂x + eAx ) + p̂y + eAy2m∗Îïåðàòîðĥäåéñòâóåò òîëüêî íà ïåðåìåííûåíàïðàâëåíî ïî îñèz,(9.25)Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ìàãíèòíîå ïîëåòîB = Bz =Òàêèì îáðàçîì,x, y .9ìàãíèòíîãî ïîëÿ) , à∂Ay ∂Ax−.∂x∂y(9.26)⃗ = (A (x, y), A (x, y), 0).AxyÄëÿ îïðåäåëåííîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íîñèòåëü çàðÿäà ýëåêòðîí ïðîâîäèìîñòè. ïîëóïðîâîäíèêàõ ãèðîìàãíèòíîå îòíîøåíèå ìîæåò íåñêîëüêî îòëè÷àòüñÿ îò g = 2 èç-çà ñïèíîðáèòàëüíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ.9 Çäåñü U (z) ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå îáúåìíîãî çàðÿäà, âíåøíåìïîëå è ò.ä., ò.å â ïîëÿõ, êîòîðûå ïðèâîäÿò ê ïîÿâëåíèþ ïîòåíöèàëüíîé ÿìû â z-íàïðàâëåíèè.784Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî â óðàâíåíèè Øðåäèíãåðà ñ ãàìèëüòîíèàíîì (9.23) ïåðåìåííûå(x, y)èzðàçäåëÿþòñÿ, ò.å. âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ýëåêòðîíà èìååò âèä ïðîèçâåäåíèÿψ(x, y, z) = ψ1 (x, y)ψ2 (z)ãäå ôóíêöèèψ1èψ2(9.27)óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿìĥψ1 = εψ1 ,ïðè÷åìĥz ψ2 = εz ψ2 ,E ′ = ε + εzÐàññìîòðèì íåêîòîðûå ÷àñòíûå ñëó÷àè.• Ìàññèâíûé êðèñòàëë.Òîãäàεz ≡ εpz =ãäå•Lzp2z,2m∗1ψ2 (z) ≡ ψpz (z) = √ eipz z/~Lz ðàçìåð êðèñòàëëà âäîëü îñè(9.28)z.Äâóìåðíûé ýëåêòðîííûé ãàç (ïîòåíöèàëüíàÿ ÿìà âäîëü îñè z). ýòîì ñëó÷àå â îïåðàòîðĥzíóæíî âêëþ÷èòü ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþU (z) â ÿìå.εz ≡ εα , ãäå α íîìåð äèñêðåòíîãî óðîâíÿ ýíåðãèèâ ÿìå (íîìåð ïîäçîíû).
Âîëíîâûå ôóíêöèè ψ2 (z) ≡ ψα (z). Äëÿ ïðÿìîóãîëüíîéÓðîâíè ýíåðãèè èìåþò âèä10ïîòåíöèàëüíîé ÿìû îíè íàõîäÿòñÿ òî÷íî.Èòàê,E = Eñïèí + εz + ε,ãäåε óðîâíè ýíåðãèè äëÿ äâèæåíèÿ ýëåêòðîíà â ïëîñêîñòèìàãíèòíîìó ïîëþ9.5.(9.29)(x, y),ïåðïåíäèêóëÿðíîé⃗.BÓðîâíè ËàíäàóÇàäà÷à î íàõîæäåíèè óðîâíåé ýíåðãèè ýëåêòðîíà â ìàãíèòíîì ïîëå ñâåëàñü ê ðåøåíèþóðàâíåíèÿ (Ë.Ä.
Ëàíäàó, 1930 ã.)()2 ]1 [2(p̂x + eAx ) + p̂y + eAyψ = εψ2m∗(9.30)ψ1 (x, y) ≡ ψ(x, y).Âûáîð âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà íåîäíîçíà÷åí ãîäÿòñÿ ëþáûå ôóíê-Çäåñü ìû îáîçíà÷èëèÇàìå÷àíèå:öèè Ax (x, y) è Ay (x, y), óäîâëåòâîðÿþùèå ñîîòíîøåíèþ (9.26).  äàëüíåéøåì ìû âåðíåìñÿ ê èíòåðåñíûì ñëåäñòâèÿì èç ýòîãî ôàêòà.êàëèáðîâêà ËàíäàóÍàïðèìåð, ìîæíî âçÿòü ()Ax = −By,Ay = 0.(9.31)Òîãäà (9.30) ïðèíèìàåò âèä]1 [22(p̂−eBy)+p̂y ψ = εψx2m∗10 ýòîì ðàçäåëå èíäåêñ äëÿ íóìåðàöèè óðîâíåé â ÿìå îáîçíà÷åí α = 1, 2, .
. ..5(9.32)Çäåñü ïåðåìåííûå îïÿòü ðàçäåëÿþòñÿ. Ãàìèëüòîíèàí â ëåâîé ÷àñòè, êîììóòèðóåò ñp̂x ,ïîýòîìó ðåøåíèå ìîæíî èñêàòü â âèäå1ψ(x, y) = √ eipx x/~ ϕ(y)Lx(9.33)ãäå px ïðîèçâîëüíûé êâàçèèìïóëüñ äâèæåíèÿ ïî îñè x. Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â(9.34) è ó÷èòûâàÿ, ÷òî âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ (9.33) óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèþ p̂x ψ = px ψ ,ϕ(y)ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äëÿ(îñòàâëÿåì âûêëàäêè ÷èòàòåëþ):[ϕ′′ (y) +]m∗ ωc22m∗ε−(y − y0 )2 ϕ(y) = 0,2~2(9.34)ãäå ââåäåíû îáîçíà÷åíèÿωc =eB,m∗y0 =pxeB(9.35)Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå (9.34) ñîâïàäàåò ïî ôîðìå ñ óðàâíåíèåì äëÿ ãàðìîíè÷åñêîãîîñöèëëÿòîðà, ÷àñòîòà êîòîðîãîωðàâíà öèêëîòðîííîé ÷àñòîòå ýëåêòðîíàωc ,à ïîëîæå-y0 . Ïîýòîìó ìîæíî ñðàçó âûïèñàòü çíà÷åíèÿ óðîâíåé()1εn = ~ωc n +, n = 0, 1, 2, .
. .(9.36)2íèå ðàâíîâåñèÿ èìååò êîîðäèíàòóýíåðãèèÑîîòâåòñòâóþùèå âîëíîâûå ôóíêöèè, íîðìèðîâàííûå íà åäèíèöó, èìåþò âèä (ñì. êóðñêâàíòîâîé ìåõàíèêè)(ϕn (y) = An e−(y−y0ãäåHn)2 /2b2Hny − y0b)(,An =1√n2 n! π b√)1/2b=~m∗ ω c(9.37) ïîëèíîìû Ýðìèòà:Hn (ξ) = Hn (ξ) = (−1)n eξ2dn −ξ2edξ n(9.38)Ïðèâåäåì íåñêîëüêî ïåðâûõ ïîëèíîìîâ Ýðìèòà:H0 (ξ) = 1,H1 (ξ) = 2ξ,H2 (ξ) = 4ξ 2 − 2,Óðîâíè ýíåðãèè â ìàãíèòíîì ïîëå (9.36) íàçûâàþòñÿÏîäâåäåì èòîãè:•(9.39)óðîâíÿìè Ëàíäàó.Óðîâíè ýíåðãèè ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé ýëåêòðîíà â ïîñòîÿííîì ìàãíèòíîì ïîëå,íàïðàâëåííîì âäîëü îñèïðîâîäèìîñòè Ez(ýíåðãèÿ óðîâíåé îòêëàäûâàåòñÿ îò äíà çîíûc ) èìåþò âèä)(1E = ~ωc n ++ εz ± µ B B ,2•H3 (ξ) = 8ξ 3 − 12ξ.n = 0, 1, 2, . . .(9.40)Âîëíîâûå ôóíêöèè ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé, îïèñûâàþùèå äâèæåíèå ýëåêòðîíàâ ïëîñêîñòè (x, y ), ïåðïåíäèêóëÿðíîé ìàãíèòíîìó ïîëþA22ψpx ,n (x, y) = √ n eipx x/~ e−(y−y0 ) /2b HnLx6(⃗:By − y0b).(9.41)Ðèñ.
9.1.x (px êâàçèèìïóëüñ ñâîáîäíîãî äâèæåíèÿýëåêòðîíà âäîëü ýòîé îñè) è ëîêàëèçîâàíû âäîëü îñè y (b îïðåäåëÿåò ðàçìåð îáëàñòè2ëîêàëèçàöèè). Íà Ðèñ. 9.1. ñõåìàòè÷íî ïîêàçàí ïðîôèëü |ψ(x, y)| äëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè, ñîîòâåòñòâóþùåé óðîâíþ Ëàíäàó ñ n = 0. Çíà÷åíèÿ ýíåðãèè εn íå çàâèñÿò îò px(èëè îò y0 ñì. âòîðîå ñîîòíîøåíèå (9.35)), ïîýòîìó êàæäûé óðîâåíü Ëàíäàó ìíîãîÑîñòîÿíèÿ (9.41) äåëîêàëèçîâàíû âäîëü îñèêðàòíî âûðîæäåíÇàìå÷àíèå:•11.Î÷åâèäíî, ÷òî âîëíîâûå ôóíêöèè (9.41) ñ ðàçëè÷íûìè çíà÷åíèÿìèòî æå, â ðàçëè÷íûìè9.6.y0 )px(èëè, ÷òîíå îðòîãîíàëüíû äðóã ê äðóãó.Êàëèáðîâî÷íûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãîïîëÿÊàê îòìå÷àëîñü âûøå, âåêòîðíûé ïîòåíöèàëïîëÿ⃗B(x,y, z)⃗ y, z)A(x,ñâÿçàí ñ èíäóêöèåé ìàãíèòíîãîñîîòíîøåíèåì⃗ = rot A⃗≡∇⃗ ×A⃗BÝòî ñîîòíîøåíèå íå îïðåäåëÿåò îäíîçíà÷íîâìåñòî⃗A⃗,Aåñëè(9.42)⃗Bçàäàíî.Äåéñòâèòåëüíî, åñëèâçÿòü âåêòîð⃗ ′ (x, y, z) = A(x,⃗ y, z) + ∇f⃗ (x, y, z),Af (x, y, z)(9.43) ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ êîîðäèíàò, òî èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ íå12⃗ ê A⃗ ′ ïðèíÿòî íàçûâàòüèçìåíèòñÿ .
Ñîîòíîøåíèå (9.43) ìåæäó Aãäåïðåîáðàçîâàíèåìíîãî ïîòåíöèàëà, à âûáîð êîíêðåòíîé ôîðìû.•⃗A⃗Bêàëèáðîâî÷íûìâûáîðîì êàëèáðîâêè âåêòîð-Ïðîèçâîë â âûáîðå âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà ñóùåñòâóåò è â êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêå. Íàïîìíèì ñèñòåìó óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà äëÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ (â ñèñòåìååäèíèö ÑÈ):⃗⃗ ×E⃗ = − ∂B ,2) ∇∂t⃗ ·B⃗ = 0,1) ∇⃗⃗ ×B⃗ = µ ⃗j + 1 ∂ E4) ∇0c2 ∂t⃗ ·E⃗ = ϱ,3) ∇ε0(9.44)⃗j ïëîòíîñòüãäå ϱ ïëîòíîñòü çàðÿäà (âêëþ÷àÿ ïîëÿðèçàöèîííûå çàðÿäû â âåùåñòâå),√òîêà (âêëþ÷àÿ ïëîòíîñòü òîêà, ñâÿçàííóþ ñ íàìàãíè÷åííîñòüþ), c = 1/ ε0µ0 ñêîðîñòüñâåòà â âàêóóìå.1112Ïîëîæåíèå ìàêñèìóìà |ψ(x, y)|2 çíà÷åíèå ïàðàìåòðà y0 íà Ðèñ.
9.1. ïðîèçâîëüíî.Ðîòîð ãðàäèåíòà òîæäåñòâåííî ðàâåí íóëþ.7⃗ r, t) ââîäÿòñÿ ýëåêòðîäèíàìèêå ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàë φ(⃗r, t) è âåêòîðíûé ïîòåíöèàë A(⃗êàê âñïîìîãàòåëüíûå ïîëÿ, ÷åðåç êîòîðûå óäîáíî âûðàæàòü ôèçè÷åñêèå ïîëÿ E⃗ è B⃗ :⃗⃗ = −∇φ⃗ − ∂A ,E∂t(9.45)⃗ =∇⃗ × A.⃗BÓäîáñòâî òàêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà 1) è 2) óäîâëåòâîðÿþòñÿ àâòîìàòè÷åñêè.
Ïîýòîìó íóæíî ðåøàòü ëèøü óðàâíåíèÿ 3) è 4), êîòîðûåëåãêî çàïèñàòü äëÿ φ è A⃗ .Ôèçè÷åñêèå ïîëÿ E⃗ è B⃗ íå èçìåíÿþòñÿ, åñëè φ è A⃗ çàìåíèòü íàφ′ = φ −∂f,∂t(9.46)⃗′ = A⃗ + ∇f,⃗Aãäå f (x, y, z, t) ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ. Ñîîòíîøåíèÿ (9.46) íàçûâàþòñÿ êàëèáðîâî÷.Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå ñìûñë èìåþò ëèøü òå âåëè÷èíû, êîòîðûåèíâàðèàíòíû ïî îòíîøåíèþ ê ïðåîáðàçîâàíèÿì ïîòåíöèàëîâ(9.46). Ýòà èíâàðèàíòíîñòüíàçûâàåòñÿ êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòüþ13.íûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè⃗ , íàïðàâëåííîãî âäîëü îñè z ,B⃗A = (Ax (x, y), Ay (x, y), 0), ïîñêîëüêóÄëÿ îäíîðîäíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿâåêòîðíûé ïîòåíöèàë â âèäåB = Bz =ìîæíî âûáðàòü∂Ay ∂Ax−.∂x∂y(9.47)Îäíàêî âñå åùå îñòàåòñÿ ïðîèçâîë â âûáîðå êàëèáðîâêè, òàê êàê âìåñòîâçÿòüA′x = Ax +∂f (x, y),∂xA′y = Ay +AxèAyìîæíî∂f (x, y).∂y(9.48) êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðèâåäåì òðè ðàçëè÷íûå êàëèáðîâêè:1) Ax = −By,2) Ax = 0,3) Ax = −By/2,Ïåðâûå äâå ÷àñòî íàçûâàþòñèììåòðè÷íîéAy = 0,Ay = Bx,Ay = Bx/2,êàëèáðîâêàìè Ëàíäàóêàëèáðîâêîé., à òðåòüþ (9.49)öèëèíäðè÷åñêè-Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî â êàæäîì ñëó÷àå âûïîëíÿåòñÿñîîòíîøåíèå (9.47).9.7.Êàëèáðîâî÷íàÿ èíâàðèàíòíîñòü â êâàíòîâîé ìåõàíèêåÐàññìîòðèì ñíà÷àëà îáùèé ñëó÷àé:ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýëåêòðîí íàõîäèòñÿ â ïðîèç-âîëüíîì ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå.
Åãî ãàìèëüòîíèàí èìååò âèäĤ =ãäåU (⃗r))21 (ˆ⃗ r, t) − eφ(⃗r, t) + U (⃗r) + Ĥp⃗ + eA(⃗ñïèí ,2me(9.50)âêëþ÷àåò êðèñòàëëè÷åñêîå ïîëå è, ìîæåò áûòü, ïîòåíöèàë ÿì è áàðüåðîâ.Ïîñëåäíèé ÷ëåí ñïèíîâàÿ ÷àñòü ãàìèëüòîíèàíà.Çàìå÷àíèå: íåñìîòðÿ íà íåêîòîðûé ïðîèçâîë â âûáîðå ïîòåíöèàëîâ, ýòè âåëè÷èí èãðàþò âàæíóþðîëü äëÿ ôîðìóëèðîâêè çàêîíîâ ýëåêòðîäèíàìèêè â âèäå, ãäå ñòàíîâèòñÿ ÿâíîé èíâàðèàíòíîñòü ýòèõçàêîíîâ îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé Ëîðåíöà.138⃗.BÇàìå÷àíèå: ãàìèëüòîíèàí âõîäÿò ïîòåíöèàëûφ(⃗r, t)è⃗ r, t),A(⃗à íå ïîëÿ⃗EèÒàêèì îáðàçîì, åñëè ïåðåéòè ê íîâîé êàëèáðîâêå, òî ãàìèëüòîíèàí, âîîáùå ãîâîðÿ,14èçìåíèòñÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
