Курс лекций по Физике наноразмерных систем, страница 2

 íèõ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíîâ êâàíòóåòñÿ äëÿ âñåõ òðåõ èçìåðåíèé. Ïðîÿâëÿåòñÿ ýòî, íà÷èíàÿ ñ ðàçìåðîâ ñèñòåìû ïîðÿäêà 100 íì. ïëåíêè è êâàíòîâûå ÿìû.Ðàçìåðû òàêèõ ñèñòåì â îäíîì èçìåðåíèè ëåæàò â íàíîìåòðîâîì äèàïàçîíå, à âäâóõ äðóãèõ îñòàþòñÿ ìàêðîñêîïè÷åñêèìè. êâàíòîâûå ïðîâîëîêè,íàíîòðóáêè, ðàçìåðû êîòîðûõ ìàëû â äâóõ èçìåðåíèÿõ è âåëèêè â òðåòüåì.Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ãðàíèöû ìåæäó íèçêîðàçìåðíûìè ñèñòåìàìè ÷àñòî èìåþòïîðÿäîê íàíîìåòðîâ è ïîýòîìó ñàìè ïî ñåáå ÿâëÿþòñÿ âàæíûìè íèçêîðàçìåðíûìèîáúåêòàìè êâàíòîâûìè áàðüåðàìè.Çàäà÷à 1.1.  ÷èñòîì GaAs øèðèíà çàïðåùåííîé çîíû ñîñòàâëÿåò Eg = 1, 424 ýÂ. Ïîñòîÿííàÿ ðåøåòêè a = 0, 565 íì.

Ýôôåêòèâíàÿ ìàññà ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèìîñòè m∗e = 0, 067me ,ýôôåêòèâíàÿ ìàññà äûðîê m∗h = 0, 082 me .à) Îöåíèòü ñðåäíþþ äëèíó âîëíû äå Áðîéëÿ äëÿ ýëåêòðîíîâ è äûðîê â GaAS ïðè T = 77 K(æèäêèé àçîò) è ïðè êîìíàòíûõ òåìïåðàòóðàõ.á) Áóäóò ëè íàáëþäàòüñÿ êâàíòîâûå ðàçìåðíûå ýôôåêòû â ïëåíêå GaAs òîëùèíîé d =100 A ïðè T = 77 K è ïðè êîìíàòíûõ òåìïåðàòóðàõ?52.Ïîòåíöèàëüíûå ÿìû è áàðüåðû â íàíîñòðóêòóðàõ ëåêöèè 1 îòìå÷àëîñü, ÷òî â2D-ñòðóêòóðàõè1D-ñòðóêòóðàõâäîëü îäíîãî èëè äâóõîñåé íîñèòåëè çàðÿäà äâèæóòñÿ â îäíîìåðíûõ èëè äâóìåðíûõ ïîòåíöèàëüíûõ ÿìàõ.Ïîýòîìó èìååò ñìûñë âåðíóòüñÿ ê çàäà÷å î êâàíòîâàíèè ýíåðãèè òàêîãî äâèæåíèÿ.Êàê èçâåñòíî èç êóðñà ôèçèêè òâåðäîãî òåëà, â ïðèáëèæåíèè ñàìîñîãëàñîâàííîãîïîëÿ âîëíîâûå ôóíêöèè ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé âàëåíòíûõ ýëåêòðîíîâ è ñïåêòð èõýíåðãèè íàõîäèòñÿ â ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ ñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà()~22−∇ + U0 (⃗r) Ψ(⃗r) = EΨ(⃗r),2me(2.1)U0 (⃗r) ïåðèîäè÷åñêîå êðèñòàëëè÷åñêîå ïîëå.

Íàïîìíèì, ÷òî Ψ(⃗r) êîîðäèíàòíàÿ÷àñòü âîëíîâîé ôóíêöèè. Ïîëíàÿ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ýëåêòðîíà åñòü ïðîèçâåäåíèå Ψ(⃗r)íà ïðîèçâîëüíóþ ôóíêöèþ ñïèíîâîé ïåðåìåííîé σ = ±1/2. òðåõìåðíîì êðèñòàëëå óðîâíè ýíåðãèè âàëåíòíûõ ýëåêòðîíîâ èìåþò âèä Eα (⃗k),ãäå α íîìåð ýíåðãåòè÷åñêîé çîíû, ⃗k âîëíîâîé âåêòîð, ñâÿçàííûé ñ êâàçèèìïóëüñîì⃗ýëåêòðîíà ñîîòíîøåíèåì p⃗ = ~ k .  îáùåì ñëó÷àå ôóíêöèè Eα (⃗k) çàâèñÿò îò ñòðîåíèÿãäåýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêè êðèñòàëëà è èìåþò âåñüìà ñëîæíûé âèä.Òàê êàê íàñ èíòåðåñóþò, ïðåæäå âñåãî, êà÷åñòâåííûå ôèçè÷åñêèå ýôôåêòû â íèçêîðàçìåðíûõ ñòðóêòóðàõ, ââåäåì íåêîòîðûå óïðîùàþùèå ïðåäïîëîæåíèÿ:•Â êðèñòàëëå, èç êîòîðîãî èçãîòîâëåíà íèçêîðàçìåðíàÿ ñòðóêòóðà, çîíà ïðîâîäèìîñòè (åñëè ðå÷ü èäåò î ïîëóïðîâîäíèêå, òî è âàëåíòíàÿ çîíà)ïàðàáîëè÷åñêàÿ,ò.å.èçîòðîïíàÿ èäëÿ êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé íîñèòåëåé çàðÿäà (ýëåêòðîíîâ èäûðîê) ïðèìåíèìî ïðèáëèæåíèå ýôôåêòèâíîé ìàññû.

Çàìåòèì, ÷òî â îñíîâíîìïîëóïðîâîäíèêîâîì ìàòåðèàëå ñîâðåìåííîé ìèêðîýëåêòðîíèêè àðñåíèäå ãàëëèÿ (GaAs) çàêîíû äèñïåðñèè äëÿ ýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèé â çîíå ïðîâîäèìîñòèè äûðî÷íûõ ñîñòîÿíèé â âàëåíòíîé çîíå ñ âûñîêîé òî÷íîñòüþ ñîîòâåòñòâóþò ìîäåëè èçîòðîïíîé ýôôåêòèâíîé ìàññû. Ïîýòîìó ìíîãèå ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå âðàìêàõ ýòîé ïðîñòîé ìîäåëè, äàþò íå òîëüêî êà÷åñòâåííîå, íî è êîëè÷åñòâåííîåîïèñàíèå ñâîéñòâ íàíîñòðóêòóð íà îñíîâå GaAs.•Âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó êâàçè÷àñòèöàìè ìàëî è, â ãëàâíîì ïðèáëèæåíèè, èì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.•Êðèñòàëë èäåàëåí, ò.å.

îòñóòñòâóþò èñêàæåíèÿ ðåøåòêè è ïðèìåñè. ïðèáëèæåíèè ýôôåêòèâíîé ìàññû ñòàöèîíàðíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà äëÿ ýëåê-1òðîíà èìååò âèäÇäåñüm∗)(~22− ∗ ∇ + U (⃗r) Ψ(⃗r) = EΨ(⃗r).2m(2.2) ýôôåêòèâíàÿ ìàññà ýëåêòðîíà â çîíå ïðîâîäèìîñòè. Ìû âêëþ÷èëè â ýòîóðàâíåíèåU (⃗r) äîïîëíèòåëüíóþ ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ ýëåêòðîíà, ñâÿçàííóþ ñ2èñêàæåíèåì ïåðèîäè÷åñêîãî ñàìîñîãëàñîâàííîãî ïîëÿ â êðèñòàëëå .1 Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ìû áóäåì ãîâîðèòü îá ýëåêòðîíå, ýíåðãèÿ êîòîðîãî ëåæèò â çîíå ïðîâîäèìîñòè.Îäíàêî âñå äàëüíåéøåå îòíîñèòñÿ è ê äûðêàì â âàëåíòíîé çîíå.äûðêà êâàçè÷àñòèöà ñ ïîëîæèòåëüíûì çàðÿäîì.Íóæíî òîëüêî ïîìíèòü, ÷òî2 Ýòà ýíåðãèÿ ñâÿçàíà, íàïðèìåð, ñ íàëè÷èåì ãðàíèöû ñòðóêòóðû, ñ ïðèëîæåííûì ýëåêòðè÷åñêèìïîëåì, è ò.ä.1Åñëè â óðàâíåíèè (2.2) ïîëîæèòüýëåêòðîíà ëåãêî íàõîäÿòñÿ:U =0(òðåõìåðíûé êðèñòàëë), òî óðîâíè ýíåðãèè~k 2⃗E(k) =.2m∗(2.3)Âîëíîâûå ôóíêöèè èìåþò âèä ïëîñêèõ âîëí äå Áðîéëÿ:1 ⃗Ψ⃗k (⃗r) = √ eik·⃗r ,VãäåV(2.4) îáúåì êðèñòàëëà.Çàìå÷àíèå: Íàïîìíèì, ÷òî ìû ðàññìàòðèâàåì ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíà â êîíêðåòíîéEc .

Åñëèðå÷ü èäåò î äûðêàõ, òî çíà÷åíèÿ ýíåðãèè îòêëàäûâàþòñÿ îò ïîòîëêà âàëåíòíîé çîíûçîíå ïðîâîäèìîñòè, ïîýòîìó çíà÷åíèÿ ýíåðãèè îòêëàäûâàþòñÿ îò äíà çîíûEv .2.1.Íàíîñòðóêòóðà ñ îäíîìåðíîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìîé:äâóìåðíûé ýëåêòðîííûé ãàç.Çàäà÷à î äâèæåíèè êâàçè÷àñòèöû â îäíîìåðíîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå âîçíèêàåò ïðè îïèñàíèè êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé ýëåêòðîíîâ â äâóìåðíîì ýëåêòðîííîì ãàçå â òîíêîé ïëåíêå (ñì. Ðèñ. 1.1.) èëè â ïëîñêèõ íàíîñòðóêòóðàõ òèïà ïîëåâîãî òðàíçèñòîðà (ñì. Ðèñ.1.2.). Íàïðèìåð, â ïîëåâîì òðàíçèñòîðå ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíîâ âáëèçè ãåòåðîïåðåõîäà èìååò ïðèìåðíûé âèä, ïîêàçàííûé íà Ðèñ. 2.1.ÏîñêîëüêóýëåêòðîíàU (x)ïîòåíöèàëüíàÿçàâèñèò òîëüêî îòýíåðãèÿx,òî âóðàâíåíèè (2.2) ïåðåìåííûå ðàçäåëÿþòñÿ, ò.å.âîëíîâûå ôóíêöèè ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèéçàïèñûâàþòñÿ êàê ïðîèçâåäåíèå1Ψ(⃗r) = √ ei(ky y+kz z) ψ(x),SãäåÐèñ. 2.1.S(2.5) ïëîùàäü ñòðóêòóðû (íàïðèìåð, ïëåí-êè) â ïëîñêîñòè ñâîáîäíîãî äâèæåíèÿ êâàçè÷àñòèö.Ôóíêöèÿψ(x)óäîâëåòâîðÿåò îäíî-ìåðíîìó óðàâíåíèþ Øðåäèíãåðàd2 ψ(x) 2m∗+ 2 [ε − U (x)] ψ(x) = 0,dx2~(2.6)à óðîâíè ýíåðãèè ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé êâàçè÷àñòèöû äàþòñÿ ôîðìóëîé)(~2 ky2 + kz2E =ε+,2m∗ïðè÷åì âîçìîæíûå çíà÷åíèÿε(2.7)íàõîäÿòñÿ â ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2.6) ñ ïîä-õîäÿùèìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè.22.2.Îäíîìåðíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ÿìà.Ñîñòîÿíèÿ ñ äèñêðåòíûì ñïåêòðîì.Ðåøèòü óðàâíåíèå (2.6) ñ ïðîèçâîëüíîé ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåéU (x) íåâîçìîæíî.3Ïî-ýòîìó ðàññìîòðèì òî÷íî ðåøàåìóþ ìîäåëü ñèììåòðè÷íóþ ïðÿìîóãîëüíóþ ÿìó .Ãðàôèê ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè êâàçè÷àñòèöû èçîáðàæåí íà Ðèñ.

2.2.Îòìåòèì, ÷òî íóëü ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè âûáðàí âíå ÿìû (ò.å. òàì, ãäå êâàçè÷àñòèöà äâèæåòñÿ ñâîáîäíî). Ïîýòîìó äëÿ ñîñòîÿíèé, ëîêàëèçîâàííîé â ÿìå,ε < 0.Óäîáíî îò-ñ÷èòûâàòü ýíåðãèþ ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèéîò äíà ïîòåíöèàëüíîé ÿìû. Äëÿ ýòîãî ââå′äåì íîâûé ïàðàìåòð ε > 0, êîòîðûé ñâÿçàí ñεñîîòíîøåíèåìε = ε′ − U0 ,U0 > 0,(2.8)Ðèñ. 2.2.Ââåäåì òàêæå îáîçíà÷åíèÿk2 =ãäå îáà ïàðàìåòðàkèκ2m∗ ε′,~22m∗(U0 − ε′ ) ,~2′åñëè ε < U0 (ò.å. ε < 0).κ2 = ïîëîæèòåëüíû,(2.9)Òîãäà óðàâíåíèå(2.6) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå 2dψ+ k 2 ψ = 0,2dx2d ψ − κ 2 ψ = 0,dx20 < x < d,(2.10)x < 0,x > d.Äëÿ ëîêàëèçîâàííûõ ñîñòîÿíèé ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ î÷åâèäíû:ψ(x) → 0,åñëè|x| → ∞.(2.11)Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèé (2.10), óäîâëåòâîðÿþùåå ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì, ëåãêî íàõîäèòñÿ (íèæíèé èíäåêñ ñîîòâåòñòâóåò îáëàñòè íà Ðèñ.

2.2.):ψI (x) = Aeκx ,ψII (x) = B sin(kx + α),ψIII (x) = Ce−κx ,ãäåA, B , Cèα ïîêà ïðîèçâîëüíûå ïàðàìåòðû.(2.12)(2.13)(2.14)Îíè äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ñî-îòíîøåíèÿì, êîòîðûå ñëåäóåò èç óñëîâèé íåïðåðûâíîñòè âîëíîâîé ôóíêöèè è åå ïðîèçâîäíîé íà ãðàíèöàõ îáëàñòåé.âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ äàííîì ñëó÷àå íàñ èíòåðåñóþò, ãëàâíûì îáðàçîì,k , êîòîðûå îïðåäåëÿþò ñïåêòð ýíåðãèè ëîêàëèçîâàííûõ ñîñòîÿíèéêâàçè÷àñòèöû. Ïîýòîìó âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùèì òèïè÷íûì ïðèåìîì. Ëåãêî ïðîâå′ðèòü, ÷òî èç óñëîâèÿ íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè ψ (x)/ψ(x) íà äâóõ ãðàíèöàõ ñëåäóþòðàâåíñòâàtg α =k,κktg (kd + α) = − .κÎòñþäà ïîëó÷àåì~ksin α = √,2m∗ U0~ksin (kd + α) = − √.2m∗ U03 Òåðìèí ñèììåòðè÷íàÿ ÿìà îçíà÷àåò, ÷òî ñëåâà è ñïðàâà îò ÿìû ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ êâàçè÷àñòèöû èìååò îäíî è òî æå çíà÷åíèå.

Áîëåå îáùàÿ ìîäåëü íåñèììåòðè÷íàÿ ÿìà ðàññìàòðèâàåòñÿ,íàïðèìåð, â êíèãàõ ïî êâàíòîâîé ìåõàíèêå [Äàâûäîâ; Ëàíäàó è Ëèôøèö, ò.3].3Èñêëþ÷èâ ïàðàìåòðα,ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ äëÿ(kd = nπ − 2 arcsinãäån = 1, 2, ....Çíà÷åíèÿarcsin~k√2m∗ U0),(2.15)áåðóòñÿ â ïåðâîé ÷åòâåðòè (îò 0 äîÓðàâíåíèå (2.15) ðåøàåòñÿ ãðàôè÷åñêè.çàäàííîìk:π/2).knÅñëè îáîçíà÷èòü ÷åðåçðåøåíèå ïðèn, òî ñîîòâåòñòâóþùèé óðîâåíü ýíåðãèè êâàçè÷àñòèöû â ÿìå äàåòñÿ ôîðìóëîéεn = −U0 +~2 kn2.2m∗(2.16)Îòìåòèì íåêîòîðûå îñîáåííîñòè ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (2.15):•εn < 0,•√ arcsin íå2m∗ U0 /~.Ïîñêîëüêó àðãóìåíòâîñõîäèòükmax =ìîæåò áûòü áîëüøå åäèíèöû, òîkníå ìîãóò ïðå-Ñëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî (2.16), äëÿ âñåõ óðîâíåéêàê è äîëæíî áûòü.Ïîêàæåì, ÷òî â ñèììåòðè÷íîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå èìååòñÿ ïî êðàéíåéìåðå îäèí äèñêðåòíûé óðîâåíü.÷àñòè (2.15).

Ïîñêîëüêókdξn (k) ôóíêöèþ â ïðàâîéξn (k) ìîíîòîííî óáûâàåò, òîÎáîçíà÷èì ÷åðåçìîíîòîííî âîçðàñòàåò, àóñëîâèå èõ ïåðåñå÷åíèÿ èìååò âèäkmax d > ξn (kmax ).Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2.15):kmax ,ïîëó÷èì óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ ðå-√d 2m∗ U0 > π~(n − 1)ßñíî, ÷òî ýòî óñëîâèå âñåãäà âûïîëíÿåòñÿ ïðèdèU0n = 1,(2.17)ïîýòîìó â ÿìå ñ ïðîèçâîëüíûìèâñåãäà èìååòñÿ ïî êðàéíåé ìåðå îäèí äèñêðåòíûé óðîâåíü ýíåðãèè, êîòîðûé ñî-îòâåòñòâóåò ñîñòîÿíèþ, ëîêàëèçîâàííîìó îêîëî ÿìû. Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ñ ïîìîùüþ(2.17) ìîæíî íàéòè ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèån, ïðè êîòîðîì óðàâíåíèå (2.15) èìååò ðåøå-íèå, ò.å. íàéòè ÷èñëî óðîâíåé â ÿìå.

ßñíî, ÷òî ÷èñëî óðîâíåé çàâèñèò îò ïðîèçâåäåíèÿd√U0 .×åì øèðå è ãëóáæå ÿìà, òåì áîëüøå â íåé äèñêðåòíûõ óðîâíåé.Ìû ðàññìîòðåëè âåñüìà óïðîùåííóþ ìîäåëü îäíîìåðíîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìû.Âðåàëüíûõ íàíîñòðóêòóðàõ ïðîôèëü ïîòåíöèàëüíûõ ÿì áîëåå ñëîæíûé (ñì., íàïðèìåð,Ðèñ. 2.1.). ×òî ìîæíî ñêàçàòü î íàëè÷èè äèñêðåòíûõ óðîâíåé êâàçè÷àñòèöû â îäíîìåðíîé ÿìå ïðîèçâîëüíîé ôîðìû? Äëÿ îòâåòà íà ýòîò âîïðîñ íåîáõîäèì àíàëèç ñâîéñòâðåøåíèé óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà (2.6) ñ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèåéU (x).Ìû íå áóäåìîñòàíàâëèâàòüñÿ íà ýòîì âàæíîì, íî ÷èñòî ìàòåìàòè÷åñêîì èññëåäîâàíèè.