Курс лекций по Физике наноразмерных систем, страница 16

Òàêèì îáðàçîì,()i iθ ( ˆ ) ( ˆ )T̂ Ψ0 eiθ ≈ eiθ T̂ Ψ0 +e p⃗ Ψ0 · p⃗ θ .me(13.8)Òåïåðü ðàññìîòðèì ïîñëåäíèé ÷ëåí â óðàâíåíèè (13.7). Çàïèøåì(iθŴ Ψ0 e)e ⃗ (ˆ )≈eA · p⃗ Ψ0meiθ3 Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ýòî óñëîâèå âûïîëíÿåòñÿ, åñëè ïîëå ñëàáîå.2(13.9)Ïîäñòàâëÿÿ (13.8) è (13.9) â (13.7), ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþi~]∂Ψ01 (ˆ ) [ ˆ⃗= Ĥ0 Ψ0 +p⃗ Ψ0 · ie p⃗ θ + e A∂tmeÒàê êàê Ψ0 ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ñ Ĥ0, òî âûðàæåíèå, ñòîÿùåå â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ äîëæíî áûòü ðàâíî íóëþ.

Âñïîìèíàÿ îïðåäåëåíèå îïåðàòîðà èìïóëüñà, ïîëó÷àåìe⃗ =−∇θÎòñþäà ñðàçó ñëåäóåò âûðàæåíèå (13.6).~⃗AÍåêîòîðûå âûâîäû èç äîêàçàííîãî óòâåðæäåíèÿ:••Åñëè âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ (13.5) îïèñûâàåò ñòàöèîíàðíîå ñîñòîÿíèå ýëåêòðîíà,òî, â ãëàâíîì ïðèáëèæåíèè ïî A⃗ , ýíåðãèÿ ýòîãî ñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ Eçàâèñèò òîëüêî îò âçàèìîäåéñòâèÿ ñïèíà ýëåêòðîíà ñ ìàãíèòíûì ïîëåì. Èíà÷åãîâîðÿ, â 4ãëàâíîì ïðèáëèæåíèè ñëàáîå ìàãíèòíîå ïîëå íå èçìåíÿåò ýíåðãèþýëåêòðîíà .Çíà÷åíèÿ âîëíîâîé ôóíêöèè ýëåêòðîíà â äâóõ ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåìΨ(⃗r1 , t) = Ψ(⃗r2 , t) eiθ ,(13.10)ãäå ðàçíîñòü ôàç âîëíîâûõ ôóíêöèé èìååò âèä12θ12e=−~∫1⃗ R)⃗ · dR.⃗A((13.11)2Èìåííî ýòî ñîîòíîøåíèå ÷àùå âñåãî èñïîëüçóåòñÿ.13.2.Ýôôåêò Ààðîíîâà-ÁîìàÐàññìîòðèì èíòåðåñíûé ýôôåêò, ñâÿçàííûé ñ çàâèñèìîñòüþ ôàçû âîëíîâîéôóíêöèè îò âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà ìàãíèòíîãî ïîëÿ (Ààðîíîâ-Áîì, 1959 ã.).Íà Ðèñ.

13.1. ñõåìàòè÷íî èçîáðàæåíà äèôðàêöèÿ ýëåêòðîíîâ íà äâóõ ùåëÿõ. Ââåðõó ïîêàçàíà çàâèñèìîñòü îò èíòåíñèâíîñòè ïîòîêà ýëåêòðîíîâ íà ýêðàíå (îíà ïðîïîðöèîíàëüíà âåðîÿòíîñòè ðåãèñòðàöèè ýëåêòðîíà äåòåêòîðîì âäàííîé òî÷êå ýêðàíà). Êàê èçâåñòíî, ìàêñèìóìû èíòåíñèâíîñòè ðàñïîëîæåíû òàì, ãäå ðàçíîñòü ôàç âîëí äå Áðîéëÿ, ïðèøåäøèõ îò ùåëè1 è ùåëè 2 (ò.å. ðàçíîñòü ôàç ñîîòâåòñòâóþùèõâîëíîâûõ ôóíêöèé Ψ1 è Ψ2 ) êðàòíà 2π. Öåíòðàëüíûé ìàêñèìóì ðàñïîëîæåí â öåíòðå ýêðàíà. Çäåñü ðàçíîñòü ôàç ðàâíà íóëþ.Ðèñ. 13.1.Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ìåæäó ùåëÿìè ïîìåùåí î÷åíü òîíêèé ñîëåíîèä (èëèòîíêàÿ íàìàãíè÷åííàÿ ïðîâîëîêà).

Íà Ðèñ. 13.2. îí îòìå÷åí êàê C . Òî÷êîé ïîêàçàíîíàïðàâëåíèå ëèíèé èíäóêöèè â ñîëåíîèäå.4 Ýòîò âûâîä ñîãëàñóåòñÿ ñ âûâîäîì êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè: ìàãíèòíàÿ ÷àñòü ñèëà Ëîðåíöà íåìåíÿåò êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ ÷àñòèöû.3Ðèñ. 13.2.Ðèñ. 13.3.Âàæíî îòìåòèòü (), ÷òî B⃗ ≈ 0 âåçäå,ãäå ìîãóò îêàçàòüñÿ ýëåêòðîíû, êîòîðûå äâèæóòñÿ îò ùåëåé ê ýêðàíó (òàê êàê B⃗ ≈ 0âíå ñîëåíîèäà). Îäíàêî âåêòîðíûé ïîòåíöèàë âíå ñîëåíîèäà íå ðàâåí íóëþ ! Ëèíèè⃗ öèðêóëèðóþò âîêðóã ñîëåíîèäà, êàê ïîêàçàíî íà Ðèñ. 13.3. Ýòî ñëåäóåò èç õîðîøîAèçâåñòíîé ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðåìû Ñòîêñàâ ýòîì ñóòü ýôôåêòà Ààðîíîâà-ÁîìàI⃗a · d⃗l =∫ (L)⃗ × ⃗a · dS⃗ ,∇(13.12)Sãäå êîíòóð L îãðàíè÷èâàåò ïîâåðõíîñòü S , ïðè÷åì îáõîä êîíòóðà è íàïðàâëåíèåíîðìàëè dS⃗ ñâÿçàíû ïðàâèëîì ïðàâîãî âèíòà. Íî åñëè A⃗ ̸= 0 âíå ñîëåíîèäà, òî âíåêîòîðîé òî÷êå ýêðàíà Ä êàæäàÿ èç âîëíîâûõ ôóíêöèé íàáèðàåò äîïîëíèòåëüíóþôàçó:∫∫Ψ1 :θ1 = −e~⃗ · dR,⃗AΨ2 :θ2 = −1e~⃗ · dR,⃗A2ãäå ñèìâîëàìè (1) è (2) îáîçíà÷åíû èíòåãðàëû âäîëü ëèíèé, ñîåäèíÿþùèõ ùåëè ñòî÷êîé Ä.

Òàêèì îáðàçîì, ìåæäó âîëíîâûìè ôóíêöèÿìè íàáèðàåòñÿ ðàçíîñòü ôàçe∆θ = θ1 − θ2 =~Ýòî âûðàæåíèå ìîæíî çàïèñàòü òàê:e∆θ =~∫IL2⃗ · dR⃗−eA~∫⃗ · dR⃗A1⃗ · d⃗l = e Φ,A~(13.13)ãäå êîíòóð L îõâàòûâàåò ñîëåíîèä, à Φ = BS ìàãíèòíûé ïîòîê ÷åðåç ñå÷åíèåñîëåíîèäà. Èç (13.13) ñëåäóåò, ÷òî èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà íà ýêðàíå ñäâèíåòñÿ(ñì.

Ðèñ. 13.3).Èíòåðåñíî, ÷òî åñëè ìåíÿòü èíäóêöèþ ïîëÿ â ñîëåíîèäå, òî ïðèçíà÷åíèÿõ ìàãíèòíîãî ïîòîêàh2π~n ≡ n, n = 1, 2, . . .(13.14)Φn =eeÇàìå÷àíèå:4öåíòðàëüíûé ìàêñèìóì áóäåò âîçâðàùàòüñÿ â öåíòð Î! Âåëè÷èíóΦ1 =(13.15)he÷àñòî íàçûâàþò.• Îïèñàííîå ÿâëåíèå áûëî áû ïðîñòî ýôôåêòíîé äåìîíñòðàöèåé êâàíòîâûõ çàêîíîâ, åñëè áû íå îäíî îáñòîÿòåëüñòâî, îòìå÷åííîå Ààðîíîâûì è Áîìîì. Âñåãäàñ÷èòàëîñü, ÷òî ôèçè÷åñêèì ìàãíèòíûì ïîëåì ÿâëÿåòñÿ B⃗ , à âåêòîðíûé ïîòåíöèàë âñåãî ëèøü âñïîìîãàòåëüíîå ïîëå, èç êîòîðîãî âûðàæàåòñÿ B5⃗ . Êàçàëîñüáû, èìåííî ôèçè÷åñêîå ïîëå äîëæíî âëèÿòü íà äâèæåíèå ÷àñòèö . Îäíàêî âðàññìîòðåííîì ïðèìåðå B⃗ = 0 òàì, ãäå äâèæóòñÿ ýëåêòðîíû, íî ìàãíèòíîå ïîëåâëèÿåò íà èíòåðôåðåíöèîííóþ êàðòèíó, ò.å. äâèæåíèå ýëåêòðîíîâ ìåíÿåòñÿ !Çíà÷èò, âåêòîðíûé ïîòåíöèàë òîæå ðåàëüíîå ôèçè÷åñêîå ïîëå è êâàíòîâîåâçàèìîäåéñòâèå ýëåêòðîíîâ ñ ìàãíèòíûì ïîëåì íå ñâîäèòñÿ ê ëîêàëüíîìó äåéñòâèþ ñèëû Ëîðåíöà.ôóíäàìåíòàëüíûì êâàíòîì ìàãíèòíîãî ïîòîêà•Â íàñòîÿùåå âðåìÿ ýôôåêòîì Ààðîíîâà-Áîìà íàçûâàþò ëþáîå âëèÿíèå íà êâàíòîâîå ñîñòîÿíèå ñî ñòîðîíû ìàãíèòíîãî ïîëÿ⃗,Bñîñðåäî-òî÷åííîãî â îáëàñòè, íåäîñòóïíîé äëÿ çàðÿæåííîé ÷àñòèöû.13.3.ÝôôåêòÀàðîíîâà-Áîìàâïàðàëëåëüíîìñîåäèíåíèèêâàíòîâûõ ðåçèñòîðîâ êà÷åñòâå âàæíîãî ïðèìåðà ýôôåêòà Ààðîíîâà-Áîìà â ìèêðîýëåêòðîíèêå ðàññìîòðèì ïàðàëëåëüíîå ñîåäèíåíèå êâàíòîâûõ ðåçèñòîðîâ, ïîêàçàííîå íà Ðèñ.

13.4. Ñèìâîëîì Ô îòìå÷åí âîçìîæíûé ìàãíèòíûé ïîòîê. Åñëè âñå óñòðîéñòâî ðàññìàòðèâàòüÐèñ. 13.4.êàê åäèíóþ êâàíòîâóþ ñòðóêòóðó6, òî ìîæíî ïðèìåíèòü ïîäõîä Ëàíäàóýðà. Òîãäàïðîâîäèìîñòü âñåé ñòðóêòóðû áóäåò ïðîïîðöèîíàëüíà êîýôôèöèåíòó ïðîõîæäåíèÿT . Ðàñ÷åò T íåñêîëüêî ãðîìîçäêèé, õîòÿ è íå ñîäåðæèò íîâûõ èäåé.

Ñàìîå èíòåðåñíîå òî, ÷òî T îêàçûâàåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé ìàãíèòíîãî ïîòîêà Φ, òàêêàê èç-çà ýôôåêòà Ààðîíîâà-Áîìà âîëíîâûå ôóíêöèè ýëåêòðîíà, ïðîøåäøåãî ÷åðåçïåðâûé è âòîðîé ðåçèñòîð, èìåþò ðàçíîñòü ôàç, êîòîðàÿ äàåòñÿ ôîðìóëîé (13.13).Òàêèì îáðàçîì, èçìåíÿÿ ìàãíèòíûé ïîòîê, ìîæíî óïðàâëÿòü ïðîâîäèìîñòüþ ñîåäèíåíèÿ.5 Íàïðèìåð, â âûðàæåíèå äëÿ êëàññè÷åñêîé ñèëû Ëîðåíöà âõîäèò èìåííî B⃗.6 Ïîäîáíûå ñòðóêòóðû ÷àñòî íàçûâàþòñÿ êâàíòîâûìè êîëüöàìè (quantum rings).

 íàñòîÿùååâðåìÿ îíè èíòåíñèâíî èçó÷àþòñÿ è èñïîëüçóþòñÿ â íåêîòîðûõ ýëåêòðîííûõ ïðèáîðàõ.5.