Курс лекций по Физике наноразмерных систем, страница 6

4.4.Ðèñ. 4.4. Ýíåðãåòè÷åñêàÿ ïëîòíîñòü ýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèé â çîíå ïðîâîäèìîñòè äëÿ ñèñòåìðàçëè÷íîé ðàçìåðíîñòè: à) Ìàññèâíûé êðèñòàëë (òðåõìåðíûé ýëåêòðîííûé ãàç); á) Òîíêàÿïëåíêà (äâóìåðíûé ýëåêòðîííûé ãàç); â) Êâàíòîâàÿ ïðîâîëîêà (îäíîìåðíûé ýëåêòðîííûé ãàç).4.4.Ïëîòíîñòü ýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèé â ñèñòåìàõíóëåâîé ðàçìåðíîñòè•Äèñêðåòíûé ñïåêòð•Â èäåàëüíîì ñëó÷àå ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé íàáîð äåëüòà-ôóíêöèé.•Ðàçìûòèå ñïåêòðà: âëèÿíèå îêðóæåíèÿ, êîíå÷íàÿ øèðèíà óðîâíåé êâàçèñòàöèîíàðíûå ñîñòîÿíèÿ (Áðåéò-Âèãíåð).4.5.Ýíåðãèÿ Ôåðìè â ñèñòåìàõ íèçêîé ðàçìåðíîñòèßñíî, ÷òî ðàçëè÷íîå ïîâåäåíèå ïëîòíîñòè ýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèé â ñèñòåìàõ ðàçëè÷íîéðàçìåðíîñòè äîëæíî ïðîÿâëÿòüñÿ âî ìíîãèõ ñâîéñòâàõ ýëåêòðîííîãî ãàçà.  êà÷åñòâåâàæíîãî ïðèìåðà ðàññìîòðèì âîïðîñ î òîì, êàê çàâèñèò ýíåðãèÿ Ôåðìè îò êîíöåíòðàöèè ýëåêòðîíîâ.Äëÿ ïðîñòîòû ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ïëåíêå è â êâàíòîâîé ïðîâîëîêå èìååòñÿ ëèøü9îäíà ïîäçîíà .Îáîçíà÷èì ÷åðåçεóðîâåíü ýíåðãèè ýëåêòðîíà â ÿìå.Òîãäà â îáîèõñëó÷àÿõ ýíåðãèÿ Ôåðìè íàõîäèòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ∫EFne =ν(E) dE,(4.25)ε9 Èíà÷å ãîâîðÿ, â ñîîòâåòñòâóþùåé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå èìååòñÿ ëèøü îäèí (íåâûðîæäåííûé) äèñêðåòíûé óðîâåíü ýíåðãèè.610êóäà íóæíî ïîäñòàâèòü ñîîòâåòñòâóþùóþ ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé.

Âû÷èñëåíèå ýëåìåí-òàðíûõ èíòåãðàëîâ ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (4.17) è (4.23) îñòàâëÿåì ÷èòàòåëþ â êà÷åñòâåóïðàæíåíèÿ. Ïðèâåäåì îêîí÷àòåëüíûå ðåçóëüòàòû äëÿ ýíåðãèè Ôåðìè:π~2E F = ε + ∗ nemEF = ε +(π~)2 2n8m∗ e(Äâóìåðíûé ýëåêòðîííûé ãàç),(4.26)(Îäíîìåðíûé ýëåêòðîííûé ãàç).(4.27)Âñïîìèíàÿ òàêæå âûðàæåíèå (4.13) äëÿ ýíåðãèè Ôåðìè ýëåêòðîíîâ â ìàññèâíîìêðèñòàëëå, îòìåòèì ñîâåðøåííî äðóãóþ çàâèñèìîñòüEFîò êîíöåíòðàöèè ýëåêòðîíîââ ñèñòåìàõ ñ íèçêîé ðàçìåðíîñòüþ.Çàäà÷à 4.1.ne äëÿè îäíîìåðíîãî ýëåêòðîííîãî ãàçàÂûðàçèòü ýíåðãèþ Ôåðìè ÷åðåç êîíöåíòðàöèþ ýëåêòðîíîâäâóìåðíîãî ýëåêòðîííîãî ãàçà â ïëåíêå òîëùèíûâ êâàíòîâîé ïðîâîëîêå ñ ïëîùàäüþ ñå÷åíèÿS.dÑ÷èòàòü, ÷òî â îáîèõ ñëó÷àÿõ èìååòñÿëèøü îäíà ýíåðãåòè÷åñêàÿ ïîäçîíà.ïîâåðõíîñòíàÿ10 Ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî äëÿ äâóìåðíîãî ãàçàne êîíöåíòðàöèÿ ýëåêòðîíîâ (ò.å.÷èñëî ýëåêòðîíîâ íà åäèíèöå ïëîùàäè ïëåíêè), à äëÿ îäíîìåðíîãî ãàçà ne êîíöåíòðàöèÿýëåêòðîíîâ.7ëèíåéíàÿ5.Êâàíòîâûå êîíòàêòû è ðåçèñòîðû5.1.Ýëåêòðîõèìè÷åñêèé ïîòåíöèàëÐàññìîòðèì ïðîâîäíèê èëè ïîëóïðîâîäíèê â òåïëîâîì ðàâíîâåñèè.

Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ôåðìè-Äèðàêà1f (E) =e(E−µ0 )/T+1åñòü âåðîÿòíîñòü çàïîëíåíèÿ îäíîýëåêòðîííîãî êâàíòîâîãî ñîñòîÿíèÿ ñ ýíåðãèåé E ,µ0 = µ0 (T, ne ) ðàâíîâåñíûé õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë (òåðìîäèíàìè÷åñêèé ïîòåíöèàëÃèááñà â ðàñ÷åòå íà îäíó ÷àñòèöó). Çäåñü ne êîíöåíòðàöèÿ ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèìîñòè â êðèñòàëëå.Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî îáðàçåö çàðÿæåí äî ïîòåíöèàëà φ.Êàê çàïèñàòü ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ?Âñå ýëåêòðîíû îáðàçöà òåïåðü îáëàäàþò ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé u = −eφ îòíîñèòåëüíî áåñêîíå÷íîñòè (e > 0), ãäå ïîòåíöèàë âûáðàí ðàâíûì íóëþ.

Îäíàêî ÿñíî,÷òî îáúåìå ðàñïðåäåëåíèå ýëåêòðîíîâ ïî ýíåðãèè f (E) íå èçìåíèòñÿ, åñëè çàìåíèòüE → E − u. Ïîýòîìó ðàâíîâåñíîå ðàñïðåäåëåíèå ýëåêòðîíîâ ïðèìåò âèäf (E) =1(E−u−µ0 )/Te+1Åãî ìîæíî òàêæå çàïèñàòü êàêf (E) =ãäå(5.1)1(E−µ)/Te+1(5.2)µ = µ0 + u ≡ µ0 (T, ne ) − eφ ýëåêòðîõèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë (èëè ïðîñòî õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë).Çàìå÷àíèÿ:••5.2.Ïóñòü â ðàâíîâåñíîì îáðàçöå èìååòñÿ ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, ïîòåíöèàë êîòîðîãîφ(⃗r) ïëàâíî ìåíÿåòñÿ â ïðîñòðàíñòâå.

Åñëè ýëåêòðîíû ìîãóò ïåðåõîäèòü èçîäíîé îáëàñòè â äðóãóþ, òî, êàê èçâåñòíî èç òåðìîäèíàìèêè, â ðàâíîâåñíîì ñîñòîÿíèè ýëåêòðîíû äîëæíû ðàñïðåäåëèòüñÿ òàê, ÷òîáû õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë(â äàííîì ñëó÷àå ýëåêòðîõèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë) áûë îäèíàêîâûì ïî âñåìóîáúåìó îáðàçöà. Ýòî óñëîâèå èãðàåò âàæíóþ ðîëü ïðè êîíòàêòå ìåòàëëîâ èïîëóïðîâîäíèêîâ, òàê êàê â ýòèõ ñëó÷àÿõ âîçíèêàþò çàðÿæåííûå ñëîè. ôèçèêå ìåòàëëîâ è ïîëóïðîâîäíèêîâ ýëåêòðîõèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë ÷àñòîíàçûâàåòñÿ óðîâíåì Ôåðìè è îáîçíà÷àåòñÿ F .Ïðîâîäèìîñòü êâàíòîâîãî ðåçèñòîðàÊâàíòîâûé ðåçèñòîð òî÷å÷íûé êîíòàêò äâóõ ðåçåðâóàðîâ íîñèòåëåéçàðÿäà, òîê ìåæäó êîòîðûìè èäåò çà ñ÷åò òóííåëèðîâàíèÿ ÷àñòèöÓïðîùåííàÿ ñõåìà êâàíòîâîãî ðåçèñòîðà ïîêàçàíà íà Ðèñ.

5.1.1.Ðèñ. 5.1. Îáîçíà÷åíèÿ: 1,2, èñòîê è ñòîê çàðÿäîâ (ìàññèâíûå ïðîâîäíèêè); 3 êâàíòîâûé áàðüåð; 4 êâàíòîâûå ïðîâîëîêè (êàíàëû). (Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âäâóìåðíîé ÿìå êàíàëà èìååòñÿ òîëüêî îäèí íåâûðîæäåííûé óðîâåíü ýíåðãèè ε).Åñëè áàðüåð â ðåçèñòîðå îòñóòñòâóåò, òî óïîòðåáëÿåòñÿ òåðìèí.Äëÿ îïðåäåëåííîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî φ1 > φ2 è îáîçíà÷èì ÷åðåç V = φ1 − φ2ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ, ïðèëîæåííóþ ê êâàíòîâîìó ðåçèñòîðó. Äëÿ ïðîñòîòû ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðåçåðâóàðû èçãîòîâëåíû èç îäèíàêîâîãî ìåòàëëà.Åñëè dN1(E) è dN2(E) ñðåäíèå ÷èñëà ýëåêòðîíîâ ñ ýíåðãèåé â èíòåðâàëå dE ,ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç áàðüåð ñëåâà è ñïðàâà çà îäíó ñåêóíäó, òî òîê ÷åðåç áàðüåð ðàâåí•Çàìå÷àíèå:êâàíòîâûé êîíòàêò∫I=e(5.3)[dN2 (E) − dN1 (E)] .Èìååì (ìíîæèòåëü 1/2 ó÷èòûâàåò òî, ÷òî êàíàëå òîëüêî ïîëîâèíà ýëåêòðîíîâ ñ ýíåðãèåé E äâèæåòñÿ ê áàðüåðó)dNi (E) =1T (E) v(E)ν(E)fi (E) dE.2(5.4)Çäåñü T (E) êîýôôèöèåíò ïðîõîæäåíèÿ áàðüåðà ýëåêòðîíîì (âåðîÿòíîñòü ïðîõîæäåíèÿ), v(E) ñêîðîñòü ýëåêòðîíà ñ ýíåðãèåéE , ν(E) ýíåðãåòè÷åñêàÿ ïëîòíîñòüýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèé â îäíîìåðíîì êàíàëå1, fi(E) ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ýëåêòðîíîâ â ðåçåðâóàðàõ.

Òàêèì îáðàçîì, âûðàæåíèå (5.3) äëÿ òîêà ïðèâîäèòñÿ ê âèäóeSI=2∫T (E)ν(E) v(E) [f2 (E) − f1 (E)] dE.(5.5)Íàïîìíèì, ÷òî ïëîòíîñòü ýëåêòðîííûõ ñîñòîÿíèé â êâàíòîâîé ïðîâîëîêå ñ îäíîéïîäçîíîé (â ðàñ÷åòå íà åäèíèöó äëèíû) äàåòñÿ ôîðìóëîé (ñì. ëåêöèþ 4)√2m∗1√ν(E) =.π~E−ε√ñîîòíîøåíèÿ p(E) = 2m∗(E − ε)Ó÷èòûâàÿ î÷åâèäíûåçàïèñàòü ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé â êàíàëå êàêν(E) =12.π~ v(E)è v(E) = p(E)/m∗, óäîáíî(5.6)Âíèìàíèå: â ôîðìóëå (5.4) ν(E) ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé â ðàñ÷åòå íà åäèíèöó äëèíû êàíàëà.2Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â (5.5), ïîëó÷èìeI=π~∫(5.7)T (E) [f2 (E) − f1 (E)] dE. ðåçåðâóàðàõ ýëåêòðîõèìè÷åñêèå ïîòåíöèàëû ðàçíûå.

Ïîýòîìóf1 (E) = f (E + eφ1 ),f2 (E) = f (E + eφ2 ),ãäå f (E) ðàâíîâåñíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè íóëåâîé ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ.Ñ÷èòàÿ, ÷òî φ1 è φ2 ìàëû, çàïèøåìf1 (E) ≈ f (E) + eφ1∂f (E),∂Ef2 (E) ≈ f (E) + eφ2Ñëåäîâàòåëüíî, â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè ïî V∂f (E).∂E= φ1 − φ2 èìååì()∂f (E)f2 (E) − f1 (E) = eV −∂EÝòî âûðàæåíèå íóæíî ïîäñòàâèòü â ôîðìóëó (5.7) äëÿ òîêà.Ââåäåì ïðîâîäèìîñòü G è ñîïðîòèâëåíèå R ðåçèñòîðà:R=Èç (5.7) ïîëó÷àåìe2G=π~•V,I∫G=()∂f (E)T (E) −dE∂E(5.9)Ïðè ðàçóìíûõ òåìïåðàòóðàõ T ≪ EF ïðîèçâîäíàÿ ∂f (E)/∂E îòëè÷íà îò íóëÿëèøü â ìàëîé îêðåñòíîñòè ýíåðãèè Ôåðìè.

Ïîýòîìó ñ õîðîøåé òî÷íîñòüþ â(5.9) ìîæíî ïîëîæèòü T (E) ≈ T (EF ).  ðåçóëüòàòå äëÿ ïðîâîäèìîñòè êâàíòîâîãî ðåçèñòîðà ïîëó÷àåòñÿ ïðîñòàÿ ôîðìóëàG=•(5.8)I1= .VRÓäèâèòåëüíî, ÷òîñòüþ ïðîçðà÷åí !R ≡ 1/G ≠ 0,e2T (EF )π~êîãäàT = 1,(5.10)ò.å. êîãäà áàðüåð ïîëíî-Îáúÿñíåíèå ñëåäóþùåå. Ìåæäó êàíàëàìè è ðåçåðâóàðàìè èìååòñÿ êîíòàêòíàÿ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ. Èíà÷å ãîâîðÿ, ñîïðîòèâëåíèå âñåãî ðåçèñòîðà åñòüñóììà ñîïðîòèâëåíèé R = RB + R , ãäå ïåðâîå ñëàãàåìîå ñîïðîòèâëåíèå áàðüåðà, à âòîðîå ñëàãàåìîå ñóììàðíîå ñîïðîòèâëåíèå äâóõ èäåàëüíûõêîíòàêòîâ ìåæäó êàíàëàìè è ðåçåðâóàðàìè. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òîêîíòRêîíò =Òîãäàπ~.e2RB = R −3π~.e2(5.11)Îòñþäà2 ñëåäóåò ôîðìóëà Ëàíäàóýðà äëÿ ïðîâîäèìîñòè êâàíòîâîãî áàðüåðà (1957 ã.)e2 TGB =,R = 1 − T.(5.12)π~ R•ßñíî, ÷òî RB → 0 ïðè T → 1 (èëè R → 0). ôîðìóëó (5.10) âõîäèò óíèâåðñàëüíàÿ âåëè÷èíà êâàíòîâîå ñîïðîòèâëåíèåèäåàëüíîãî ñîåäèíåíèÿ äâóõ ìåòàëëîâ:π~R= 2 ≈ 12, 90650 êÎì.(5.13)eÏî÷åìó ñòîëü áîëüøîå ñîïðîòèâëåíèå íå íàáëþäàåòñÿ â êîíòàêòàõ ìåæäó ìåòàëëàìè? Äåëî â òîì, ÷òî ìàêðîñêîïè÷åñêèå êîíòàêòû èìåþò áîëüøóþ ïëîùàäü.

Ïîýòîìó êâàíòîâîå ñîïðîòèâëåíèå (êàê ïàðàëëåëüíîå ñîåäèíåíèåîãðîìíîãî ÷èñëà îäíîìåðíûõ êàíàëîâ) ìîæíî îöåíèòü êàê R≈ (π~/e2 ) (λ2 /S),ãäå S ïëîùàäü êîíòàêòà, λ äëèíà âîëíû äå Áðîéëÿ ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèìîñòè.  òàêèõ ñëó÷àÿõ Ríè÷òîæíî ìàëî ïî ñðàâíåíèþ ñ ïîëíûìñîïðîòèâëåíèåì êîíòàêòà.êâàíòêâàíòêâàíòÂîïðîñ äëÿ ðàçìûøëåíèÿ:•Ïðè âûâîäå ôîðìóëû (5.13) ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî ïîòåíöèàëüíàÿ ÿìà â îäíîìåðíîì êàíàëå ñîäåðæèò òîëüêî îäèí äèñêðåòíûé óðîâåíü ýíåðãèè (óáåäèòåñüâ ýòîì ñàìè!). Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ïàðàìåòðû ïîòåíöèàëüíîé ÿìû â êàíàëå ïîäîáðàíû òàê, ÷òî â íåé èìååòñÿ N > 1 óðîâíåé ýíåðãèè (èëè, èíûìèñëîâàìè, èìååòñÿ N ýëåêòðîííûõ ïîäçîí).

Ïðèêëàäûâàÿ íàïðÿæåíèå çàòâîðàVg > 0 ìåæäó ðåçåðâóàðàìè è êàíàëîì, ìîæíî ñäâèãàòü óðîâíè ýíåðãèè â ÿìå.Êàê áóäåò âûãëÿäåòü çàâèñèìîñòü ïðîâîäèìîñòè êâàíòîâîãî êîíòàêòà G îòíàïðÿæåíèÿ çàòâîðà?êîíò5.3.Ïîñëåäîâàòåëüíîå ñîåäèíåíèå êâàíòîâûõ ðåçèñòîðîâ.Ðåçîíàíñíîå òóííåëèðîâàíèåÐàññìîòðèì òåïåðü ïðîâîäèìîñòü êâàíòîâîãîðåçèñòîðà (ñì.

Ðèñ. 5.2.), ñîñòîÿùåãîèç äâóõ áëèçêî ðàñïîëîæåííûõ áàðüåðîâ3.Ðèñ. 5.2. Ïîñëåäîâàòåëüíîå ñîåäèíåíèå êâàíòîâûõ ðåçèñòîðîâÄëÿ ïðîñòîòû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî áàðüåðû ïðÿìîóãîëüíûå è ðàññòîÿíèå ìåæäóíèìè ðàâíî d (ñì. Ðèñ. 5.3.).2 Âûðàæåíèå (5.10) îáû÷íî íàçûâàþò ôîðìóëîé Ëàíäàóýðà äëÿ ïðîâîäèìîñòè êâàíòîâîãîðåçèñòîðà. Íàïîìíèì, ÷òî â íåé ó÷èòûâàåòñÿ ñîïðîòèâëåíèå êîíòàêòîâ.3Ýòà çàäà÷à ñëóæèò, íàïðèìåð, ìîäåëüþ äëÿ ðàñ÷åòà ïðîâîäèìîñòè êâàíòîâîé òî÷êè â íàíîñòðóêòóðàõ.4Ðèñ. 5.3.

Êâàíòîâûé ðåçèñòîð ñ ïðÿìîóãîëüíûìè ïîòåíöèàëüíûìè áàðüåðàìèÍà Ðèñ. 5.3. îáîçíà÷åíû àìïëèòóäû âîëíîâûõ ôóíêöèé (âîëí äå Áðîéëÿ) íåïîñðåäñòâåííî ïåðåä è çà áàðüåðàìè. Äëÿ ïðÿìîóãîëüíûõ áàðüåðîâ ìîæíî çàïèñàòüñîîòíîøåíèÿ ìåæäó àìïëèòóäàìè âíóòðè ÿìû:B2 = B1 eiα ,C2 = C1 e−iα ,(5.14)ãäå1√ ∗α = kd,k=2m E.(5.15)~Íàñ èíòåðåñóåò àìïëèòóäà D, òàê êàê êîýôôèöèåíò ïðîõîæäåíèÿ ÷àñòèöåé âñåé ñèñòåìûT12 = |D|2 .(5.16)• Äâèæåíèå ýëåêòðîíà ÷åðåç ñèñòåìó, èçîáðàæåííóþ íà Ðèñ.

5.3. ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïîñëåäîâàòåëüíîå ïðîõîæäåíèå äâóõ áàðüåðîâ (àìïëèòóäû âíóòðèÿìû áåðóòñÿ êàê àìïëèòóäû àñèìïòîòè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé ñì. ëåêöèþ 4).Èñïîëüçóåì îáîçíà÷åíèÿ àìïëèòóä èç ëåêöèè 3 (øòðèõîâàííûå àìïëèòóäû ñîîòâåòñòâóþò ïðîõîæäåíèþ è îòðàæåíèþ ïðè äâèæåíèè ýëåêòðîíà ñïðàâà íàëåâî):t1 , r1 , t′1 , r1′ àìïëèòóäû äëÿ áàðüåðà 1t2 , r2 , t′2 , r2′ àìïëèòóäû äëÿ áàðüåðà 2Êàê èçâåñòíî èç îáùåé òåîðèè îäíîìåðíîãî äâèæåíèÿ (ïðîõîæäåíèÿ è îòðàæåíèÿ),Ti = |ti |2 = |t′i |2 ,Çàìå÷àíèå:rièri′Ri = |ri |2 = |ri′ |2 ,ti = t′i .èìåþò ðàçíûå ôàçû.Òîãäà ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèÿ íà ïåðâîì áàðüåðå (ñì.

Ðèñ. 5.3 ):′A = r1 + t1 C1 ,è íà âòîðîì áàðüåðå:B1 = t1 + r1 C1 ,C2 = r2 B2 ,(5.17)D = t2 B 2 .Èñêëþ÷àÿ çäåñü C2 è B2 ñ ïîìîùüþ (5.14), ïîëó÷èìC1 e−iα = r2 B1 eiα ,D = t2 B1 eiα .(5.18)Ðåøàÿ ñèñòåìó óðàâíåíèé (5.17) è (5.18) (îñòàâëÿåì ýòî ÷èòàòåëþ â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ), íàõîäèì àìïëèòóäó D:D=eiα t1 t2,1 − e2iα r2 r1′5(5.19)à çàòåì êîýôôèöèåíò ïðîõîæäåíèÿ (5.16):T12 =T1 T2√,1 + R1 R2 − 2 R1 R2 cos θ(5.20)θ = 2α + arg (r2 r1′ ) .(5.21)ãäåÎáñóæäåíèå:•Âñïîìèíàÿ âûðàæåíèå äëÿα[ñì.