lect-terver (Лекции Теория веротяностей), страница 7

Ïî îïðåäåëåíèþ óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè,P(τ > n + k)P(τ > n + k, τ > n)=.P(τ > n + k τ > n) =P(τ > n)P(τ > n)(7)Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ñîáûòèå {τ > n + k} âëå÷åò ñîáûòèå {τ > n},òàê ÷òî ïåðåñå÷åíèå ýòèõ ñîáûòèé åñòü {τ > n + k}.

Íàéäåì äëÿ ïðîèçâîëüíîãî m > 0âåðîÿòíîñòü P(τ > m).P(τ > m) =∞XP(τ = i) =i=m+1∞Xp q i−1 =i=m+1p qm= qm.1−qМожно также заметить, что событие {τ > m} означает, что в схеме Бернулли первыеm испытаний завершились «неудачами», а это событие имеет вероятность как раз q m .Âîçâðàùàÿñü ê (7), ïîëó÷èìP(τ > n + k)q n+kP(τ > n + k τ > n) == n = q k = P(τ > k).P(τ > n)q5.4 Ïðèáëèæåíèå ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿáèíîìèàëüíûìÐàññìîòðèì óðíó, ñîäåðæàùóþ N øàðîâ, èç êîòîðûõ K øàðîâ — áåëûå, à îñòàâøèåñÿ N − K øàðîâ — ÷åðíûå. Èç óðíû íàóäà÷ó (áåç âîçâðàùåíèÿ) âûáèðàþòñÿ nøàðîâ. Âåðîÿòíîñòü PN,K (n, k) òîãî, ÷òî áóäåò âûáðàíî ðîâíî k áåëûõ è n − k ÷åðíûõøàðîâ, íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå (ñì.

îïðåäåëåíèå 8 ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿâåðîÿòíîñòåé):PN,K (n, k) =27k C n−kCKN −K.nCNÅñëè ÷èñëî øàðîâ â óðíå î÷åíü âåëèêî, òî èçâëå÷åíèå îäíîãî, äâóõ, òðåõ øàðîâ ïî÷òèíå ìåíÿåò ïðîïîðöèþ áåëûõ è ÷åðíûõ øàðîâ â óðíå, òàê ÷òî âåðîÿòíîñòè PN,K (n, k) íåî÷åíü îòëè÷àþòñÿ îò âåðîÿòíîñòåé â ïðîöåäóðå âûáîðà с возвращением:P(ïîëó÷èòü ðîâíî k áåëûõ øàðîâ ïðè âûáîðå n øàðîâ ñ âîçâðàùåíèåì) = k KK n−kkCn1−.NNÑôîðìóëèðóåì è äîêàæåì íàøó ïåðâóþ ïðåäåëüíóþ òåîðåìó.Òåîðåìà 14.

Åñëè N → ∞ è K → ∞ òàê, ÷òî K/N → p ∈ (0, 1), òî äëÿ ëþáûõôèêñèðîâàííûõ n, 0 6 k 6 nk C n−kCKN −KPN,K (n, k) =→ Cnk pk (1 − p)n−k .nCNÄîêàçàòåëüñòâî. Íàì ïîíàäîáÿòñÿ ñëåäóþùèå îïðåäåëåíèå è ñâîéñòâî.Îïðåäåëåíèå 22. Ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè an è bn àñèìïòîòè÷åñêè ýêâèâàëåíòíû, è ïèøóò an ∼ bn , åñëèan→ 1 ïðè n → ∞.bnÑâîéñòâî 4. Ñëåäóþùèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè àñèìïòîòè÷åñêè ýêâèâàëåíòíû:kCK∼Kkk!ïðèK → ∞.Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì îòíîøåíèå ÷ëåíîâ ýòèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåék k!CKK! k!K(K − 1) .

. . (K − k + 1)==→ 1 ïðè K → ∞,kkKk! (K − k)! KKkïîñêîëüêó ïðåäåë ïðîèçâåäåíèÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà k ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, ñõîäÿùèõñÿ ê1, ðàâåí 1.Ñëåäñòâèå 3.n ∼CNNn(N − K)n−kn−kïðè N → ∞, CN∼ïðè N − K → ∞.−Kn!(n − k)!Óïðàæíåíèå 6. Ïî÷åìó N − K ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè?Âîñïîëüçóåìñÿ òåïåðü ñâîéñòâîì 4 è ñëåäñòâèåì 3:PN,K (n, k) =k C n−kCKK k (N − K)n−k n!N −K∼=nCNk! (n − k)! N n k k (N − K)n−kKK n−kk Kk= Cn k= Cn1−→ Cnk pk (1 − p)n−k .NNNN n−kÌû ïîëó÷èëè, ÷òî PN,K (n, k) àñèìïòîòè÷åñêè ýêâèâàëåíòíî âûðàæåíèþ, ñõîäÿùåìóñÿ ê Cnk pk (1 − p)n−k ïðè ñòðåìëåíèè N (è K â çàâèñèìîñòè îò N ) ê áåñêîíå÷íîñòè.Îñòàëîñü âñïîìíèòü è äîêàçàòü ñâîéñòâî:Ñâîéñòâî 5.

Ïóñòü an ∼ bn è ñóùåñòâóåò lim bn . Òîãäà ñóùåñòâóåò è lim an , è ýòèn→∞n→∞ïðåäåëû ñîâïàäàþò: lim an = lim bn .n→∞n→∞Óïðàæíåíèå 7. Äîêàçàòü ñâîéñòâî 5.Ïî ñâîéñòâó 5, ïðè N → ∞ è K → ∞ òàê, ÷òî K/N → p ∈ (0, 1), ñóùåñòâóåòlim PN,K (n, k) = Cnk pk (1 − p)n−k .285.5Íåçàâèñèìûå èñïûòàíèÿ ñ íåñêîëüêèìè èñõîäàìèÐàññìîòðèì ñëåäóþùèé ïðèìåð, êîãäà èç äâóõ î÷åíü ïîõîæèõ âîïðîñîâ íà îäèíìîæíî îòâåòèòü, ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé Áåðíóëëè, à äëÿ äðóãîãî ýòîé ôîðìóëû îêàçûâàåòñÿ íåäîñòàòî÷íî:Ïðèìåð 22. Èãðàëüíàÿ êîñòü ïîäáðàñûâàåòñÿ 15 ðàç. Íàéòè âåðîÿòíîñòè ñëåäóþùèõñîáûòèé:à) âûïàäåò ðîâíî 10 øåñòåðîê; á) âûïàäåò ðîâíî 10 øåñòåðîê è òðè åäèíèöû.Р е ш е н и е:à) åñòü 15 èñïûòàíèé ñõåìû Áåðíóëëè ñ âåðîÿòíîñòüþ óñïåõà 1/6 (âûïàäåíèå øå10 1 10 1 − 1 5 ;ñòåðêè). Âåðîÿòíîñòü äåñÿòè óñïåõîâ â 15 èñïûòàíèÿõ ðàâíà C1566á) çäåñü êàæäîå èñïûòàíèå èìååò òðè, à íå äâà èñõîäà: âûïàäåíèå øåñòåðêè, âûïàäåíèå åäèíèöû, âûïàäåíèå îñòàëüíûõ ãðàíåé.

Âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé äëÿ ÷èñëàóñïåõîâ â ñõåìå Áåðíóëëè íå óäàåòñÿ — ïåðåä íàìè óæå íå ñõåìà Áåðíóëëè.Îñòàëîñü èçîáðåñòè ôîðìóëó äëÿ ïîäñ÷åòà âåðîÿòíîñòè êàæäîìó èñõîäó â íåñêîëüêèõ íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèÿõ âûïàñòü íóæíîå ÷èñëî ðàç, åñëè â îäíîì èñïûòàíèè âîçìîæíî íå äâà, à áîëåå èñõîäîâ.Пусть в одном испытании возможны m исходов. Обозначим их цифрами 1, 2, .

. . , m.mPПусть исход i в одном испытании случается с вероятностью pi , 1 6 i 6 m, иpi = 1.1Обозначим через P (n1 , . . . , nm ) вероятность того, что в n = n1 + . . . +nm независимыхиспытаниях исход 1 появился n1 раз, исход 2 — n2 раз, . . . , исход m — nm раз.Òåîðåìà 15. Äëÿ ëþáîãî n è ëþáûõ öåëûõ n1 > 0, . . . , nm > 0 òàêèõ, ÷òîn1 + . . . +nm = n, âåðíà ôîðìóëà:P (n1 , . .

. , nm ) =n!pn1 · . . . · pnmm .n1 ! . . . n m ! 1Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì îäèí ýëåìåíòàðíûé èñõîä, áëàãîïðèÿòñòâóþùèé âûïàäåíèþ n1 åäèíèö, n2 äâîåê, . . . , nm ðàç m-îê:(1, . . . , 1, 2, . . . , 2, . . . , m, . . . , m).| {z } | {z }| {z }n1n2nmÝòî ðåçóëüòàò n ýêñïåðèìåíòîâ, êîãäà âñå íóæíûå èñõîäû ïîÿâèëèñü â íåêîòîðîì çàðàíåå çàäàíîì ïîðÿäêå. Âåðîÿòíîñòü òàêîãî ðåçóëüòàòà n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé ðàâíàpn1 1 · . . . ·pnmm .Âñå îñòàëüíûå áëàãîïðèÿòíûå èñõîäû îòëè÷àþòñÿ ëèøü ðàñïîëîæåíèåì ÷èñåë1, 2, . . .

, m íà n ìåñòàõ. ×èñëî òàêèõ èñõîäîâ ðàâíî ÷èñëó ñïîñîáîâ ðàññòàâèòü íà nìåñòàõ n1 åäèíèö, n2 äâîåê, . . . , nm ÷èñåë m, òî åñòün2n3nmCnn1 · Cn−n· Cn−n· . . . · Cn−n= проверить, что это так! =11 −n21 −...−nm−1n!n1 ! . . . n m !Òåïåðü ìû ìîæåì âåðíóòüñÿ ê ïðèìåðó 22(á) è âûïèñàòü îòâåò: òàê êàê âåðîÿòíîñòèâûïàäåíèÿ øåñòåðêè è åäèíèöû ðàâíû 1/6, à âåðîÿòíîñòü òðåòüåãî èñõîäà (âûïàëè ëþáûå äðóãèå ãðàíè) ðàâíà 4/6, òî âåðîÿòíîñòü ïîëó÷èòü 10 øåñòåðîê, 3 åäèíèöû è åùå 2äðóãèõ î÷êà ðàâíà 215!1 14P (10, 3, 2) =.10! 3! 2! 610 636295.6Òåîðåìà Ïóàññîíà äëÿ ñõåìû ÁåðíóëëèÏðåäïîëîæèì, íàì íóæíà âåðîÿòíîñòü ïîëó÷èòü íå ìåíåå äåñÿòè óñïåõîâ â 1000 èñïûòàíèé ñõåìû Áåðíóëëè ñ âåðîÿòíîñòüþ óñïåõà 0.003.

Âåðîÿòíîñòü ýòîãî ñîáûòèÿ ðàâíàëþáîìó èç ñëåäóþùèõ âûðàæåíèé:1000XkC1000(0.003)k (0.997)1000−k = 1 −k=109XkC1000(0.003)k (0.997)1000−k ,k=0è âû÷èñëåíèå äàæå îäíîãî ñëàãàåìîãî â êàæäîì èç ýòèõ âûðàæåíèé âåñüìà ïðîáëåìàòè÷íî.Ñôîðìóëèðóåì òåîðåìó î ïðèáëèæåííîì âû÷èñëåíèè âåðîÿòíîñòè êàêîãî-ëèáî ÷èñëà óñïåõîâ â áîëüøîì ÷èñëå èñïûòàíèé ñõåìû Áåðíóëëè ñ ìàëåíüêîé âåðîÿòíîñòüþóñïåõà.Òåðìèí «áîëüøîå ÷èñëî» äîëæåí îçíà÷àòü n → ∞. Åñëè ïðè ýòîì p = pn 6→ 0,òî, î÷åâèäíî, âåðîÿòíîñòü ïîëó÷èòü ëþáîå êîíå÷íîå ÷èñëî óñïåõîâ ïðè ðàñòóùåì ÷èñëå èñïûòàíèé ñòðåìèòñÿ ê íóëþ.

Íåîáõîäèìî ÷òîáû âåðîÿòíîñòü óñïåõà p = pn → 0îäíîâðåìåííî ñ ðîñòîì ÷èñëà èñïûòàíèé. Íî îò èñïûòàíèÿ ê èñïûòàíèþ âåðîÿòíîñòüóñïåõà ìåíÿòüñÿ íå ìîæåò (ñì. îïðåäåëåíèå ñõåìû Áåðíóëëè).Ïîýòîìó ðàññìîòðèì «ñõåìó ñåðèé»: åñòüîäíî èñïûòàíèå ◦ñ âåðîÿòíîñòüþ óñïåõà p1äâà èñïûòàíèÿ◦, ◦ñ âåðîÿòíîñòüþ óñïåõà p2......n èñïûòàíèé◦, . . . , ◦ ñ âåðîÿòíîñòüþ óñïåõà pn......Вероятность успеха меняется не внутри одной серии испытаний, а от серии к серии,когда меняется общее число испытаний.

Обозначим через νn число успехов в n-й сериииспытаний.Òåîðåìà 16 (Òåîðåìà Ïóàññîíà).Ïóñòü n → ∞, pn → 0 òàê, ÷òî npn → λ > 0. Òîãäà äëÿ ëþáîãî k > 0 âåðîÿòíîñòü ïîëó÷èòü k óñïåõîâ â n èñïûòàíèÿõ ñõåìû Áåðíóëëè ñ âåðîÿòíîñòüþ óñïåõà pn ñòðåìèòñÿλk −λê âåëè÷èíåe:k!P(νn = k) = Cnk pkn (1 − pn )n−k →λk −λeïðè n → ∞, pn → 0 òàê, ÷òî npn → λ > 0.k!nkÄîêàçàòåëüñòâî. Ïîëîæèì λn = n · pn → λ > 0. Ïî ñâîéñòâó 4, Cnk ∼ïðè ôèêñèk!ðîâàííîì k è ïðè n → ∞.

Òîãäà k6 nk λknλk −λλn n−kλn nλn −kn−kk kk λnCn pn (1 − pn )= Cn k 1 −∼1−1−→e . (8)nk! 6 nknnk!n|{z}|{z}↓↓1e−λnλn (8) ìû èñïîëüçîâàëè ñâîéñòâà λkn → λk è 1 −→ e−λ . Äîêàæåì ïîñëåäíåå ñâîénñòâî: 2 λnλn nλnλnln 1 −= n ln 1 −=n −+O→ −λ.nnnn2Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû îñòàëîñü â ôîðìóëå (8) âîñïîëüçîâàòüñÿ ñâîéñòâîì 5.30Îïðåäåëåíèå 23. Ïóñòü λ > 0 — íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ. Íàáîð ÷èñåë kλ −λe , k = 0, 1, 2, .

. .k!íàçûâàåòñÿ распределением Пуассона с параметром λ.Ïîëüçóÿñü òåîðåìîé 16, ìîæíî ïðèáëèæåííî ïîñ÷èòàòü âåðîÿòíîñòü ïîëó÷èòü íåìåíåå äåñÿòè óñïåõîâ â 1000 èñïûòàíèé ñõåìû Áåðíóëëè ñ âåðîÿòíîñòüþ óñïåõà 0.003,ñ âû÷èñëåíèÿ êîòîðîé ìû íà÷àëè. Ïîñêîëüêó n = 1000 «âåëèêî», à pn = 0.003 «ìàëî», òî,âçÿâ λ = npn = 3, ìîæíî íàïèñàòü ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî1−9XkC1000k1000−k≈ 1−(0.003) (0.997)k=09X3kk=0k!−3e∞X3k −3=e =k!k=10òàáëè÷íîå çíà÷åíèå Π3 (10) ≈ 0, 001.=(9)Îñòàëîñü ðåøèòü, à äîñòàòî÷íî ëè n = 103 «âåëèêî», à pn = 0.003 «ìàëî», ÷òîáû çàìåλk −λíèòü òî÷íóþ âåðîÿòíîñòü P(νn = k) íà ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèåe .

Äëÿ ýòîãî íóæíîk!óìåòü îöåíèâàòü ðàçíèöó ìåæäó ýòèìè äâóìÿ âåðîÿòíîñòÿìè.Ñëåäóþùóþ î÷åíü ïîëåçíóþ òåîðåìó ìû äîêàæåì â êîíöå êóðñà.Òåîðåìà 17 (Òåîðåìà Ïóàññîíà ñ îöåíêîé ïîãðåøíîñòè).Ïóñòü A ⊆ {0, 1, 2, . . . , n} — ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî öåëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ÷èñåë, νn — ÷èñëî óñïåõîâ â n èñïûòàíèÿõ ñõåìû Áåðíóëëè ñ âåðîÿòíîñòüþóñïåõà p, λ = n · p. Òîãäà XX λkX λkλ2n−k−λ k k−λ e =Cn p (1 − p)−e 6 np2 =. P(νn ∈ A) − k!k!nk∈Ak∈Ak∈AÒàêèì îáðàçîì, òåîðåìà 17 ïðåäîñòàâëÿåò íàì âîçìîæíîñòü ñàìèì ðåøàòü, äîñòàòî÷íî ëè n «âåëèêî», à p «ìàëî», ðóêîâîäñòâóÿñü ïîëó÷åííîé âåëè÷èíîé ïîãðåøíîñòè.Êàêîâà æå ïîãðåøíîñòü â ôîðìóëå (9)? !9∞∞XXX3k −3 3k −3 kk1000−ke = 1−C1000 (0.003) (0.997)−e 6 P(ν1000 > 10) − k!k!k=10k=0k=106 np2 = 0,009.Ïîãðåøíîñòü íå áîëåå 0,009 (ïðè âåðîÿòíîñòè îêîëî 0,001 :-) ).

Âî âñÿêîì ñëó÷àå,ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü íèêàê íå áîëüøå, ÷åì 0,01=0,001+0,009.31Ðàçäåë 6.6.1Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû è èõ ðàñïðåäåëåíèÿÑëó÷àéíûå âåëè÷èíûÌû óæå âèäåëè, ÷òî äëÿ î÷åíü ìíîãèõ ýêñïåðèìåíòîâ íåò íèêàêèõ ðàçëè÷èé â ïîäñ÷åòå вероятностей ñîáûòèé, òîãäà êàê ýëåìåíòàðíûå èñõîäû â ýòèõ ýêñïåðèìåíòàõî÷åíü ðàçëè÷àþòñÿ. Íî íàñ è äîëæíû èíòåðåñîâàòü èìåííî âåðîÿòíîñòè ñîáûòèé, à íåñòðóêòóðà ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ. Ïîýòîìó ïîðà âî âñåõ òàêèõ «ïîõîæèõ»ýêñïåðèìåíòàõ âìåñòî ñàìûõ ðàçíûõ ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ èñïîëüçîâàòü, íàïðèìåð,÷èñëà. Òî åñòü ââåñòè ñîîòâåòñòâèå (èíà÷å ãîâîðÿ, îòîáðàæåíèå) ìåæäó ýëåìåíòàðíûìèèñõîäàìè è âåùåñòâåííûìè ÷èñëàìè (ñ íèìè óäîáíî ðàáîòàòü).Ïóñòü èìååòñÿ ñëó÷àéíûé ýêñïåðèìåíò è çàäàíî âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî hΩ, F, Pi.Îïðåäåëåíèå 24.