lect-terver (Лекции Теория веротяностей), страница 4

. . ∈ F, òî∞S(âìåñòå ñ ëþáûì ñîáûòèåì σ-àëãåáðà ñîäåðæèòAi ∈ F(âìåñòå ñ ëþáûì êîíå÷íûì èëè ñ÷åòíûìi=1íàáîðîì ñîáûòèé σ-àëãåáðà ñîäåðæèò èõ îáúåäèíåíèå).Óñëîâèÿ (A1)–(A3) ÷àñòî íàçûâàþò «àêñèîìàìè σ-àëãåáðû».Ïðîâåðèì, ÷òî ýòîãî íàáîðà àêñèîì äîñòàòî÷íî äëÿ çàìêíóòîñòè ìíîæåñòâà F îòíîñèòåëüíî äðóãèõ îïåðàöèé íàä ñîáûòèÿìè.Вместо первой аксиомы достаточно предположить, что F не пусто, то есть содержит хотя бы один элемент.Ñâîéñòâî 1.∅∈F(σ-àëãåáðà ñîáûòèé ñîäåðæèò íåâîçìîæíîå ñîáûòèå).Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî (A1), Ω ∈ F, íî ∅ = Ω\Ω = Ω ∈ F â ñèëó (A2).Ñâîéñòâî 2.(A4)Ïðè âûïîëíåíèè (A1),(A2) ñâîéñòâî (A3) ýêâèâàëåíòíî ñâîéñòâó (A4)åñëè A1 , A2 , . . .

∈ F, òî∞TAi ∈ F(âìåñòå ñ ëþáûì êîíå÷íûì èëè ñ÷åòíûìi=1íàáîðîì ñîáûòèé σ-àëãåáðà ñîäåðæèò èõ ïåðåñå÷åíèå).Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè (A1),(A2) èç (A3) ñëåäóåò (A4).Åñëè A1 , A2 , . . . ∈ F, òî ïðè âñåõ i = 1, 2, . . . ïî ñâîéñòâó (A2) âûïîëíåíî Ai ∈ F.∞SÒîãäà èç (A3) ñëåäóåò, ÷òîAi ∈ F, è, ïî (A2), äîïîëíåíèå ê ýòîìó ìíîæåñòâó òàêæåi=1ïðèíàäëåæèò F, òî åñòü∞SAi ∈ F. Íî, â ñèëó ôîðìóë äâîéñòâåííîñòè,i=1∞Si=1Ai =è ò.ä.Äîêàçàòåëüñòâî â îáðàòíóþ ñòîðîíó âûãëÿäèò ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî.Ñâîéñòâî 3.

Åñëè A, B ∈ F, òî A\B ∈ F.13∞Ti=1Ai , ÷òîÄîêàçàòåëüñòâî. A\B = A ∩ B ∈ F, òàê êàê A ∈ F, B ∈ F, è ïî (A4) èõ ïåðåñå÷åíèåòîæå ïðèíàäëåæèò F.Ïðèìåð 11. Ïóñòü Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} — ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ (íàïðèìåð, ïðè áðîñàíèè èãðàëüíîãî êóáèêà). Ñëåäóþùèå íàáîðû ïîäìíîæåñòâ Ω ÿâëÿþòñÿσ-àëãåáðàìè (доказать! ):1. F = {Ω, ∅} = {{1, 2, 3, 4, 5, 6}, ∅} — òðèâèàëüíàÿ σ-àëãåáðà.2. F = {Ω, ∅, {1}, {1}} = {{1, 2, 3, 4, 5, 6}, ∅, {1}, {2, 3, 4, 5, 6}}.3. F = {Ω, ∅, A, A} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ∅, A, A , ãäå A — ïðîèçâîëüíîå ïîäìíîæåñòâî Ω(â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå A = {1}).4. F — ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ Ω.

Доказать, что если Ω состоит из n элементов, то в множестве всех его подмножеств ровно 2n элементов.Èòàê, ìû îïðåäåëèëè ñïåöèàëüíûé êëàññ F ïîäìíîæåñòâ ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõèñõîäîâ Ω, íàçâàííûé σ-àëãåáðîé ñîáûòèé, ïðè÷åì ïðèìåíåíèå ñ÷åòíîãî ÷èñëà ëþáûõîïåðàöèé (òàêèõ, êàê îáúåäèíåíèå, ïåðåñå÷åíèå, äîïîëíåíèå) ê ìíîæåñòâàì èç F ñíîâàäàåò ìíîæåñòâî èç F (íå âûâîäèò çà ðàìêè ýòîãî êëàññà). Ìíîæåñòâà A ∈ F ìû è íàçâàëè «ñîáûòèÿìè».Îïðåäåëèì òåïåðü ïîíÿòèå «âåðîÿòíîñòè» êàê ôóíêöèè, îïðåäåëåííîé íà ìíîæåñòâåñîáûòèé (òî åñòü ôóíêöèè, êîòîðàÿ êàæäîìó событию ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå ÷èñëî).À ÷òîáû ÷èòàòåëþ ñðàçó ñòàëî ïîíÿòíî, î ÷åì ïîéäåò ðå÷ü, äîáàâèì: âåðîÿòíîñòü ìûîïðåäåëèì êàê неотрицательную нормированную меру, çàäàííóþ íà σ-àëãåáðå F ïîäìíîæåñòâ Ω.3.2Âåðîÿòíîñòü êàê íîðìèðîâàííàÿ ìåðàÎïðåäåëåíèå 11.Ïóñòü Ω — íåêîòîðîå ìíîæåñòâî è F — σ-àëãåáðà åãî ïîäìíîæåñòâ.

Ôóíêöèÿµ : F → R ∪ {∞} íàçûâàåòñÿ мерой íà (Ω, F), åñëè îíà óäîâëåòâîðÿåòóñëîâèÿì:(M1) Äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà A ∈ F åãî ìåðà íåîòðèöàòåëüíà: µ(A) > 0.(M2) Äëÿ ëþáîãî ñ÷åòíîãî íàáîðà ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâA1 , A2 , A3 , . . . ∈ F (òî åñòü òàêîãî, ÷òî Ai ∩ Aj = !∅ ïðè âñåõ i 6= j) ìåðà∞∞[Xèõ îáúåäèíåíèÿ ðàâíà ñóììå èõ ìåð: µAi =µ(Ai ) («ñ÷åòíàÿi=1i=1àääèòèâíîñòü» èëè «σ-àääèòèâíîñòü» )Èíà÷å ãîâîðÿ, ìåðà åñòü íåîòðèöàòåëüíàÿ, ñ÷åòíî-àääèòèâíàÿ ôóíêöèÿ ìíîæåñòâ.Îïðåäåëåíèå 12. Ïóñòü Ω — íåêîòîðîå ìíîæåñòâî è F — σ-àëãåáðà åãî ïîäìíîæåñòâ.

Ìåðà µ : F → R íàçûâàåòñÿ нормированной, åñëè µ(Ω) = 1. Äðóãîå íàçâàíèåíîðìèðîâàííîé ìåðû — «вероятность» èëè «вероятностная мера».Òî æå ñàìîå åùå ðàç è ïîäðîáíî:14Îïðåäåëåíèå 13.Ïóñòü Ω — ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ è F — σ-àëãåáðà åãî ïîäìíîæåñòâ (ñîáûòèé). Вероятностью èëè вероятностной мерой íà (Ω, F) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ P : F → R, îáëàäàþùàÿ ñâîéñòâàìè:(P1) Äëÿ ëþáîãî ñîáûòèÿ A ∈ F âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâîP(A) > 0;(P2) Äëÿ ëþáîãî ñ÷åòíîãî íàáîðà ïîïàðíî íåñîâìåñòíûõA1 , A2 , A3 , .

. . ∈ F èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî!∞∞[XPAi =P(Ai );i=1ñîáûòèéi=1(P3) Âåðîÿòíîñòü äîñòîâåðíîãî ñîáûòèÿ ðàâíà åäèíèöå:P(Ω) = 1.Ñâîéñòâà (P1)–(P3) ÷àñòî íàçûâàþò «àêñèîìàìè âåðîÿòíîñòè».Îïðåäåëåíèå 14.Òðîéêà hΩ, F, Pi, â êîòîðîé Ω — ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, F — σ-àëãåáðà åãî ïîäìíîæåñòâ è P — âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà íà F, íàçûâàåòñÿвероятностным пространством.Äîêàæåì ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè, âûòåêàþùèå èç àêñèîì. Çäåñü è â äàëüíåéøåì ïîäçíàêîì âåðîÿòíîñòè ïîÿâëÿþòñÿ òîëüêî ñîáûòèÿ!0.P(∅) = 0.Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîáûòèÿ Ai = ∅, i = 1, 2, . . .

, ïîïàðíî íåñîâìåñòíû, è èõ îáúåäèíåíèå åñòü òàêæå ïóñòîå ìíîæåñòâî. Ïî àêñèîìå (P2),P(∅) =∞Xi=11.P(Ai ) =∞XÝòî âîçìîæíî òîëüêî â ñëó÷àå P(∅) = 0.P(∅).i=1Äëÿ ëþáîãî конечного íàáîðà ïîïàðíî íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé A1 , . . . , An ∈ F èìååòìåñòî ðàâåíñòâî!nn[XPAi =P(Ai ).i=1i=1Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Ai = ∅ ïðè ëþáîì i > n. Âåðîÿòíîñòè ýòèõ ñîáûòèé, ïîïðåäûäóùåìó ñâîéñòâó, ðàâíû íóëþ. Ñîáûòèÿ A1 , . . . , An , ∅, ∅, ∅, ∅, . . . ïîïàðíîíåñîâìåñòíû, è, ïî àêñèîìå (P2),!!n∞∞n[[XXPAi = PAi =P(Ai ) =P(Ai ).i=12.i=1i=1i=1P(A) = 1 − P(A).Äîêàçàòåëüñòâî.

A ∪ A = Ω, è ñîáûòèÿ A, A íåñîâìåñòíû.ïðåäûäóùåìó ñâîéñòâó, 1 = P(Ω) = P(A) + P(A).3.Ïî àêñèîìå (P3) èÅñëè A ⊆ B, òî P(B\A) = P(B) − P(A).Äîêàçàòåëüñòâî. B = A ∪ (B\A), è ñîáûòèÿ A, B\A íåñîâìåñòíû. Ïî àêñèîìå (P2),P(B) = P(A) + P(B\A).154.Åñëè A ⊆ B, òî P(A) 6 P(B).Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî ïðåäûäóùåìó ñâîéñòâó, P(A) = P(B) − P(B\A) 6 P(B). Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî ñëåäóåò èç (P1), ò.ê.

P(B\A) > 0.5.0 6 P(A) 6 1.Äîêàçàòåëüñòâî. P(A) > 0 ïî (P1), è ò.ê. A ⊆ Ω, òî ïî ïðåäûäóùåìó ñâîéñòâóP(A) 6 P(Ω) = 1.6.P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).Äîêàçàòåëüñòâî. A ∩ B ⊆ B, ïîýòîìó P(B\(A ∩ B)) = P(B) − P(A ∩ B).

Íî ñîáûòèÿ Aè B\(A ∩ B) íåñîâìåñòíû, ïîýòîìóP(A ∪ B) = P(A ∪ B\(A ∩ B)) = P(A) + P(B\(A ∩ B)) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).7.P(A ∪ B) 6 P(A) + P(B).Äîêàçàòåëüñòâî. Ñðàçó ñëåäóåò èç ïðåäûäóùåãî ñâîéñòâà è àêñèîìû (P1).8.nPP(A1 ∪ . . . ∪ An ) 6P(Ai ).Доказать методом математической индукции.i=19.P(A1 ∪ A2 ∪ . . .

∪ An ) =nXP(Ai ) −i=1+XXP(Ai ∩ Aj ) +i<jP(Ai ∩ Aj ∩ Am ) − . . . + (−1)n−1 P(A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An ).(2)i<j<mÄîêàçàòåëüñòâî. Âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè. Áàçèñ èíäóêöèè ïðè n = 2 — ñâîéñòâî 6 âûøå. Ïóñòü ñâîéñòâî 9 âåðíî ïðè n = k − 1. Äîêàæåì,÷òî òîãäà îíî âåðíî ïðè n = k.!!!!kk−1k−1k−1[[[[PAi = PAi ∪ Ak = PAi + P (Ak ) − P Ak ∩Ai(3)i=1i=1i=1i=1Ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè, ïåðâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè (3) ðàâíî! k−1k−1[XXPAi =P(Ai ) −P(Ai ∩ Aj ) +i=1i=116i<j6k−1X+P(Ai ∩ Aj ∩ Am ) − . .

. + (−1)k−2 P(A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ Ak−1 ). (4)16i<j<m6k−1Âû÷èòàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè (3) ðàâíîAk ∩Pk−1[Ai!i=1+X=Pk−1[!(Ai ∩ Ak )=i=1k−1Xi=1P(Ai ∩ Ak )−XP(Ai ∩ Aj ∩ Ak )+16i<j6k−1P(Ai ∩ Aj ∩ Am ∩ Ak ) − . . . + (−1)k−2 P(A1 ∩ A2 ∩ .

. . ∩ Ak−1 ∩ Ak ). (5)16i<j<m6k−1Подставить (4),(5) в (3) и довести до конца шаг индукции.16Ïðèâåäåì ïðèìåð çàäà÷è, â êîòîðîé èñïîëüçîâàíèå ñâîéñòâà 9 — ñàìûé ïðîñòîéïóòü ðåøåíèÿ.Ïðèìåð 12. Åñòü n ïèñåì è n ïîäïèñàííûõ êîíâåðòîâ. Ïèñüìà ðàñêëàäûâàþòñÿ âêîíâåðòû íàóäà÷ó. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî õîòÿ áû îäíî ïèñüìî ïîïàäåò â ïðåäíàçíà÷åííûé åìó êîíâåðò è ïðåäåë ýòîé âåðîÿòíîñòè ïðè n → ∞.Р е ш е н и е.êîíâåðò. ÒîãäàÏóñòü ñîáûòèå Ai , i = 1, .

. . , n îçíà÷àåò, ÷òî i-å ïèñüìî ïîïàëî â ñâîéA = {õîòÿ áû îäíî ïèñüìî ïîïàäåò â ñâîé êîíâåðò} = A1 ∪ . . . ∪An .È òàê êàê ñîáûòèÿ A1 , . . . , An ñîâìåñòíû, ïðèäåòñÿ èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó (2). Íåòðóäíîóáåäèòüñÿ, ÷òî1äëÿ âñåõ i,n(n − 2)!1P(Ai ∩ Aj ) ==äëÿ âñåõ i 6= j,n!n(n − 1)(n − 3)!1P(Ai ∩ Aj ∩ Am ) ==äëÿ âñåõ i 6= j 6= m, . . . ,n!n(n − 1)(n − 2)1P(A1 ∩ . . . ∩ An ) =n!P(Ai ) =Âû÷èñëèì êîëè÷åñòâî ñëàãàåìûõ â êàæäîé ñóììå â ôîðìóëå (2). Íàïðèìåð, â ñóìXìåðîâíî Cn3 ñëàãàåìûõ — ðîâíî ñòîëüêî òðåõ-ýëåìåíòíûõ ìíîæåñòâ ìîæíî16i<j<m6nîáðàçîâàòü èç n ýëåìåíòîâ, è êàæäîå òàêîå ìíîæåñòâî {i, j, m} âñòðå÷àåòñÿ â èíäåêñàõäàííîé ñóììû åäèíàæäû.Ïîäñòàâëÿÿ âñå âåðîÿòíîñòè â ôîðìóëó (2), ïîëó÷èì:P(A) = n ·1111− Cn2 ·+ Cn3 ·− . .

. + (−1)n−1=nn(n − 1)n(n − 1)(n − 2)n!111= 1 − + − . . . + (−1)n−12! 3!n!Выписать разложение e−1 в ряд Тейлора и убедиться, что P(A) −→ 1 − e−1 при n → ∞.3.3 Î áîðåëåâñêîé σ-àëãåáðå è ìåðå ËåáåãàÑëåäóþùèé ïàðàãðàô ïðåäíàçíà÷åí òîëüêî äëÿ òåõ, êòî íå èñïóãàëñÿ âñåãî ñêàçàííîãî âûøå è õî÷åò ïîçíàêîìèòüñÿ ñ ïîíÿòèÿìè «σ-алгебра борелевских множеств» è«мера Лебега».Áîðåëåâñêàÿ σ-àëãåáðà íà ïðÿìîéÏðèìåð 13. Ïóñòü Ω = R — âåùåñòâåííàÿ ïðÿìàÿ.

Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå íàáîðûìíîæåñòâ, íå ÿâëÿþùèåñÿ σ-àëãåáðàìè, è óâèäèì, êàê èõ ìîæíî äîïîëíèòü äî σ-àëãåáð.1. Ìíîæåñòâî A = {Ω, ∅, [0, 1], {0}} = {R, ∅, [0, 1], {0}} íå ÿâëÿåòñÿ σ-àëãåáðîé, òàêêàê, íàïðèìåð, [0, 1] = R\[0, 1] = (−∞, 0)∪(1, ∞) 6∈ A. Ìèíèìàëüíûé íàáîð ìíîæåñòâ,ñîäåðæàùèé A è ÿâëÿþùèéñÿ σ-àëãåáðîé (ìèíèìàëüíàÿ σ-àëãåáðà), ïîëó÷èòñÿ, åñëèâêëþ÷èòü â íåãî âñåâîçìîæíûå îáúåäèíåíèÿ, ïåðåñå÷åíèÿ è äîïîëíåíèÿ ìíîæåñòâ17èç A:F = { R, ∅, [0, 1], {0}, (−∞, 0)∪(1, ∞), (0, 1], (−∞, 0]∪(1, ∞), (−∞, 0)∪(0, ∞) }Áîëåå òî÷íî, ìèíèìàëüíîé σ-àëãåáðîé, ñîäåðæàùåé íàáîð ìíîæåñòâ A, íàçûâàåòñÿïåðåñå÷åíèå âñåõ σ-àëãåáð, ñîäåðæàùèõ A.2. Íàéòè ìèíèìàëüíóþ σ-àëãåáðó, ñîäåðæàùóþ A = {R, ∅, [0, 1], {3}}3.

Ïóñòü ìíîæåñòâî A ïîäìíîæåñòâ âåùåñòâåííîé ïðÿìîé R ñîñòîèò èç âñåâîçìîæíûõ îòêðûòûõ èíòåðâàëîâ (a, b), ãäå a < b: A = {(a, b) : −∞ < a < b < ∞}.(a) Ïðîâåðèòü, ÷òî A íè â êîåì ñëó÷àå íå ÿâëÿåòñÿ σ-àëãåáðîé!Óêàçàíèå: ïðèâåñòè ïðèìåðû äâàäöàòè ìíîæåñòâ èç A, äîïîëíåíèÿ ê êîòîðûìíå ïðèíàäëåæàò A; ïðèâåñòè ïðèìåðû ïÿòè ìíîæåñòâ èç A, ëþáûå îáúåäèíåíèÿêîòîðûõ íå ïðèíàäëåæàò A.(b) Ìèíèìàëüíàÿ σ-àëãåáðà, ñîäåðæàùàÿ ìíîæåñòâî A âñåõ èíòåðâàëîâ íà âåùåñòâåííîé ïðÿìîé, íàçûâàåòñÿ борелевской σ-алгеброй â R (Felix Edouard JustinEmile Borel) è îáîçíà÷àåòñÿ B èëè B(R).(c) Ïåðå÷èñëèì íåêîòîðûå ìíîæåñòâà íà ïðÿìîé, ñîäåðæàùèåñÿ â B.

Òàêîâû âñåïðèâû÷íûå íàì ìíîæåñòâà. ×òîáû ïîëó÷èòü ìíîæåñòâî, íå ñîäåðæàùååñÿ âB, òðåáóþòñÿ ñïåöèàëüíûå ïîñòðîåíèÿ. Èòàê, ìû çíàåì, ÷òî âñå èíòåðâàëû íàïðÿìîé ïðèíàäëåæàò B, è B — σ-àëãåáðà.• R принадлежит B. Ýòî ñðàçó ñëåäóåò èç ñâîéñòâà (A1) σ-àëãåáðû, íî ìîæåòáûòü äîêàçàíî èñõîäÿ èç ñâîéñòâ (A2), (A3).Äåéñòâèòåëüíî,R =∞SÒàê êàê âñå ýòè èíòåðâàëû ëåæàò â A, à(−n, n).n=1A ⊂ B, òî âñå ýòè èíòåðâàëû ïðèíàäëåæàò B. Íî B — σ-àëãåáðà, ïîýòîìó îíà ñîäåðæèò ñ÷åòíîå îáúåäèíåíèå ëþáûõ ñâîèõ ýëåìåíòîâ.Ïîýòîìó∞SR=(−n, n) ∈ B.n=1• Любой интервал вида (a, b ] ( или [a, b), или [a, b ] ), где a < b, принадлежит B.Äåéñòâèòåëüíî, (a, b ] =∞Tn=1a, b +1n, è òàê êàê âñå ýòè èíòåðâàëû ëåæàò â B, òî èõñ÷åòíîå ïåðåñå÷åíèå äîëæíî ïî ñâîéñòâó (A4) ïðèíàäëåæàòü B.• Любое одноточечное подмножество {b} ⊂ R принадлежит B.Äåéñòâèòåëüíî, {b} = (a, b ]\(a, b), à ðàçíîñòü äâóõ ìíîæåñòâ èç σ-àëãåáðû ñíîâàïðèíàäëåæèò σ-àëãåáðå.• Äîêàæèòå, ÷òî, íàïðèìåð, любые множества вида (a1 , b1 )∪(a2 , b2 ) принадлежитB, множество натуральных чисел N принадлежит B, множество рациональныхчисел Q принадлежит B.4.