lect-terver (Лекции Теория веротяностей)

×òî áûëî, à òàêæå ÷åãî íå áûëî, íî ÷òî âïîëíå ìîãëî áû áûòüïðî÷èòàíî â êóðñå ëåêöèé ïîä íàçâàíèåìÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ1 êóðñ ÝÔ, îòäåëåíèå«ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû è èññëåäîâàíèå îïåðàöèé â ýêîíîìèêå»âåñåííèé ñåìåñòð 1998-99 ó÷. ãîäà×åðíîâà Í.È.— Çíàåòå ÷òî, ìèëûé Àðàìèñ? — ñêàçàë ä’Àðòàíüÿí, íåíàâèäåâøèé ñòèõèïî÷òè òàê æå ñèëüíî, êàê ëàòûíü. — Äîáàâüòå ê äîñòîèíñòâó òðóäíîñòèäîñòîèíñòâî êðàòêîñòè, è âû ñìîæåòå áûòü óâåðåíû â òîì, ÷òî âàøà ïîýìàáóäåò èìåòü íèêàê íå ìåíåå äâóõ äîñòîèíñòâ.Ðàçäåë 1.1.1Êëàññè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòíàÿ ñõåìàÎñíîâíûå ôîðìóëû êîìáèíàòîðèêè äàííîì ðàçäåëå ìû çàéìåìñÿ ïîäñ÷åòîì ÷èñëà «øàíñîâ».

Î ÷èñëå øàíñîâ ãîâîðÿò,êîãäà âîçìîæíî íåñêîëüêî ðàçëè÷íûõ ðåçóëüòàòîâ êàêîãî-ëèáî äåéñòâèÿ (èçâëå÷åíèåêàðòû èç êîëîäû, ïîäáðàñûâàíèå êóáèêà èëè ìîíåòêè, äâóõ êóáèêîâ è ò.ä.). ×èñëîøàíñîâ — ýòî ÷èñëî òàêèõ âîçìîæíûõ ðåçóëüòàòîâ, èëè, èíà÷å ãîâîðÿ, ÷èñëî ñïîñîáîâïðîäåëàòü ýòî äåéñòâèå.Òåîðåìà î ïåðåìíîæåíèè øàíñîâÒåîðåìà 1. Ïóñòü èìååòñÿ k, k ∈ N, ãðóïï ýëåìåíòîâ, ïðè÷åì i-ÿ ãðóïïà ñîäåðæèòni ýëåìåíòîâ, 1 6 i 6 k. Âûáåðåì èç êàæäîé ãðóïïû ïî îäíîìó ýëåìåíòó.

Òîãäà îáùåå÷èñëî N ñïîñîáîâ, êîòîðûìè ìîæíî ïðîèçâåñòè òàêîé âûáîð, ðàâíÿåòñÿN = n1 · n2 · . . . · nk .Çàìå÷àíèå 1.  òåîðåìå 1 ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî äàæå åñëè âñå ýëåìåíòû â i-é ãðóïïå íåðàçëè÷èìû, âûáðàòü îäèí èç íèõ ìîæíî ni ñïîñîáàìè. Ïðåäñòàâèì результат âûáîðà,îïèñàííîãî â òåîðåìå 1, â âèäå íàáîðà (a1 , . . . , ak ), â êîòîðîì ai — âûáðàííûé èç i-éãðóïïû ýëåìåíò. Òîãäà îáùåå ÷èñëî ðàçëè÷íûõ íàáîðîâ (a1 , .

. . , ak ) òàêæå ðàâíÿåòñÿN = n1 · n2 · . . . · nk .Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1.1n1e 1 eeeXX1HXXXZ@\HXe ZHeXeH\@ZHH XZHXXXXee \@Z H@e ZH.@ZHZe .. \@ Ze @ZHHe\@..@ZZee \@e .@\e@en3eÇàíóìåðóåì ýëåìåíòû i-é ãðóïïû ÷èñëàìè îò 1 äîni . Ýëåìåíò èç ïåðâîé ãðóïïû ìîæíî âûáðàòü n1ñïîñîáàìè. Åñëè ìû âûáðàëè ýëåìåíò j, 1 6 j 6n1 , òî âûáðàòü ýëåìåíò èç âòîðîé ãðóïïû ìû ìîæåìn2 ñïîñîáàìè. Ïîëó÷àåì, ÷òî ñ ïåðâûì ýëåìåíòîì jâîçìîæíî ñîñòàâèòü n2 ïàð (j, l), ãäå 1 6 l 6 n2 .Íî ñòîëüêî æå ïàð ìîæíî ñîñòàâèòü è ñ ëþáûì äðóãèì ýëåìåíòîì ïåðâîé ãðóïïû. Òîãäà âñåãî ïàð, âêîòîðûõ ïåðâûé ýëåìåíò âûáðàí èç ïåðâîé ãðóïïû,à âòîðîé — èç âòîðîé, ñóùåñòâóåò ðîâíî n1 · n2 .n2Èíà÷å ãîâîðÿ, åñòü n1 · n2 ñïîñîáîâ âûáðàòü ïî îäíîìó ýëåìåíòó èç ïåðâûõ äâóõãðóïï. Âîçüìåì îäíó òàêóþ ïàðó (j, l).

Çàìåòèì, ÷òî ýëåìåíò èç òðåòüåé ãðóïïû ìîæíîâûáðàòü n3 ñïîñîáàìè, òî åñòü âîçìîæíî ñîñòàâèòü ðîâíî n3 òðîåê (j, l, m), äîáàâëÿÿ êäàííîé ïàðå (j, l) ëþáîé èç n3 ýëåìåíòîâ òðåòüåé ãðóïïû.Íî ñòîëüêî æå òðîåê ìîæíî ñîñòàâèòü è ñ ëþáîé äðóãîé ïàðîé (j, l). Òîãäà âñåãîòðîåê, â êîòîðûõ ïåðâûé ýëåìåíò âûáðàí èç ïåðâîé ãðóïïû, âòîðîé — èç âòîðîé, àòðåòèé — èç òðåòüåé, ñóùåñòâóåò ðîâíî n1 · n2 · n3 .Ïðîäîëæàÿ ðàññóæäåíèÿ, ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè çàêëþ÷àåì ñïðàâåäëèâîñòü óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû.Óïðàæíåíèå 1.

Ñôîðìóëèðîâàòü ïðåäïîëîæåíèå èíäóêöèè è äîêàçàòü èíäóêöèîííûé ïåðåõîä îò k − 1 ê k.1Óðíû è øàðèêèÅñòü óðíà (òî åñòü ÿùèê), ñîäåðæàùàÿ n çàíóìåðîâàííûõ îáúåêòîâ, êîòîðûå ìûáåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü øàðèêàìè. Ìû âûáèðàåì èç ýòîé óðíû køàðèêîâ. Íàñ èíòåðåñóåò, ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî âûáðàòü k øàðèêîâ èç n, èëèсколько различных результатов (òî åñòü íàáîðîâ, ñîñòîÿùèõ èç k øàðèêîâ) ïîëó÷èòñÿ.Íà ýòîò âîïðîñ íåëüçÿ äàòü îäíîçíà÷íûé îòâåò, ïîêà ìû íå îïðåäåëèìñÿà) ñ òåì, êàê îðãàíèçîâàí âûáîð (ñêàæåì, ìîæíî ëè øàðèêè âîçâðàùàòü â óðíó), èá) ñ òåì, ÷òî ïîíèìàåòñÿ ïîä различными ðåçóëüòàòàìè âûáîðà.Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå âîçìîæíûå ñõåìû âûáîðà:1.

Âûáîð ñ âîçâðàùåíèåì: êàæäûé âûáðàííûé øàðèê âîçâðàùàåòñÿ â óðíó, òî åñòüêàæäûé èç k øàðèêîâ âûáèðàåòñÿ èç ïîëíîé óðíû.  ïîëó÷åííîì íàáîðå, ñîñòîÿùåì èç k íîìåðîâ øàðèêîâ, ìîãóò âñòðå÷àòüñÿ îäíè è òå æå íîìåðà (выборка сповторениями).2. Âûáîð áåç âîçâðàùåíèÿ: âûáðàííûå øàðèêè â óðíó íå âîçâðàùàþòñÿ, è â ïîëó÷åííîì íàáîðå íå ìîãóò âñòðå÷àòüñÿ îäíè è òå æå íîìåðà (выборка без повторений).È â òîì, è â äðóãîì ñëó÷àå ðåçóëüòàòîì âûáîðà ÿâëÿåòñÿ íàáîð èç k íîìåðîâ øàðèêîâ. Óäîáíî ñ÷èòàòü, ÷òî øàðèêè âñåãäà âûáèðàþòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíî, ïî îäíîìó (ñâîçâðàùåíèåì èëè áåç). Óñëîâèìñÿ, êàêèå ðåçóëüòàòû ìû áóäåì ñ÷èòàòü различными.Åñòü ðîâíî äâå âîçìîæíîñòè.1.

Âûáîð ñ ó÷åòîì ïîðÿäêà: äâà íàáîðà íîìåðîâ øàðèêîâ ñ÷èòàþòñÿ ðàçëè÷íûìè,åñëè îíè îòëè÷àþòñÿ ñîñòàâîì èëè ïîðÿäêîì íîìåðîâ. Òàê, ïðè âûáîðå òðåõ øàðèêîâ èç óðíû, ñîäåðæàùåé 5 øàðèêîâ, íàáîðû (1, 5, 2), (2, 5, 1) è (4, 4, 5) ðàçëè÷íû,åñëè ïðîèçâîäèòñÿ выбор с учетом порядка.2. Âûáîð áåç ó÷åòà ïîðÿäêà: äâà íàáîðà íîìåðîâ øàðèêîâ ñ÷èòàþòñÿ ðàçëè÷íûìè,åñëè îíè îòëè÷àþòñÿ ñîñòàâîì. Íàáîðû, îòëè÷àþùèåñÿ ëèøü ïîðÿäêîì ñëåäîâàíèÿíîìåðîâ, ñ÷èòàþòñÿ îäèíàêîâûìè. Òàê, â ïðèìåðå âûøå ïåðâûå äâà íàáîðà (1, 5, 2)è (2, 5, 1) åñòü îäèí è òîò æå ðåçóëüòàò âûáîðà, à íàáîð (4, 4, 5) — äðóãîé ðåçóëüòàòâûáîðà.Ïîäñ÷èòàåì òåïåðü, ñêîëüêî æå âîçìîæíî ðàçëè÷íûõ ðåçóëüòàòîâ ïðè êàæäîé èç÷åòûðåõ ñõåì (âûáîð ñ âîçâðàùåíèåì è áåç, è â êàæäîì èç ýòèõ ñëó÷àåâ ó÷èòûâàåì ëèìû ïîðÿäîê èëè íåò).Óðíîâàÿ ñõåìà: âûáîð áåç âîçâðàùåíèÿ, ñ ó÷åòîì ïîðÿäêàÒåîðåìà 2.

Îáùåå êîëè÷åñòâî âûáîðîê â ñõåìå âûáîðà k ýëåìåíòîâ èç n áåç âîçâðàùåíèÿ è ñ ó÷åòîì ïîðÿäêà îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîén!Akn = n(n − 1) · . . . · (n − k + 1) =|{z} (n − k)!kè íàçûâàåòñÿ числом размещений из n элементов по k элементов.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðâûé øàðèê ìîæíî âûáðàòü n ñïîñîáàìè. Ïðè êàæäîì èç ýòèõñïîñîáîâ âòîðîé øàðèê ìîæíî âûáðàòü n − 1 ñïîñîáîì, è ò.ä. Ïîñëåäíèé k-é øàðèêìîæíî âûáðàòü n − k + 1 ñïîñîáîì. Ïî òåîðåìå 1, îáùåå ÷èñëî ñïîñîáîâ âûáîðà ðàâíîn · (n − 1) · .

. . · (n − k + 1), ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Ñëåäñòâèå 1.×èñëî âîçìîæíûõ ïåðåñòàíîâîê ìíîæåñòâà èç n ýëåìåíòîâ åñòü n!Äîêàçàòåëüñòâî î÷åâèäíî, åñëè çàìåòèòü, ÷òî ïåðåñòàíîâêà åñòü íå ÷òî èíîå, êàêðåçóëüòàò âûáîðà áåç âîçâðàùåíèÿ è ñ ó÷åòîì ïîðÿäêà âñåõ n ýëåìåíòîâ èç n. Òàê ÷òîîáùåå ÷èñëî ïåðåñòàíîâîê ðàâíî Ann = n!2Óðíîâàÿ ñõåìà: âûáîð áåç âîçâðàùåíèÿ è áåç ó÷åòà ïîðÿäêàÒåîðåìà 3. Îáùåå êîëè÷åñòâî âûáîðîê â ñõåìå âûáîðà k ýëåìåíòîâ èç n áåç âîçâðàùåíèÿ è áåç ó÷åòà ïîðÿäêà îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîéCnk =Aknn!=k!k!(n − k)!è íàçûâàåòñÿ числом сочетаний из n элементов по k элементов.Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òî, ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ 1, èç êàæäîé âûáîðêè äàííîãîñîñòàâà (ñîñòîÿùåé èç k ýëåìåíòîâ) ìîæíî îáðàçîâàòü k! âûáîðîê, îòëè÷àþùèõñÿ äðóãîò äðóãà òîëüêî ïîðÿäêîì ýëåìåíòîâ.Òî åñòü ÷èñëî âûáîðîê, ðàçëè÷àþùèõñÿ åùå è ïîðÿäêîì, â k! ðàç áîëüøå, ÷åì ÷èñëîâûáîðîê, ðàçëè÷àþùèõñÿ òîëüêî ñîñòàâîì.

Ïîäåëèâ Akn íà k!, ïîëó÷èì óòâåðæäåíèåòåîðåìû.Óðíîâàÿ ñõåìà: âûáîð ñ âîçâðàùåíèåì è ñ ó÷åòîì ïîðÿäêàÒåîðåìà 4. Îáùåå êîëè÷åñòâî âûáîðîê â ñõåìå âûáîðà k ýëåìåíòîâ èç n ñ âîçâðàùåíèåì è ñ ó÷åòîì ïîðÿäêà îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîénk = n· . . . · n} .| · n {zkÄîêàçàòåëüñòâî. Ïåðâûé øàðèê ìîæíî âûáðàòü n ñïîñîáàìè. Ïðè êàæäîì èç ýòèõñïîñîáîâ âòîðîé øàðèê ìîæíî âûáðàòü òàêæå n ñïîñîáàìè, è òàê k ðàç.Óðíîâàÿ ñõåìà: âûáîð ñ âîçâðàùåíèåì è áåç ó÷åòà ïîðÿäêàÐàññìîòðèì óðíó ñ äâóìÿ øàðèêàìè è ïåðå÷èñëèì ðåçóëüòàòû âûáîðà äâóõ øàðèêîâ èçýòîé óðíû ïðè âûáîðå ñ âîçâðàùåíèåì:Çàìåòèì, ÷òî â ñõåìå «áåç ó÷åòà ïîðÿäêà»ñ ó÷åòîì ïîðÿäêà áåç ó÷åòà ïîðÿäêàïîëó÷èëîñü 3 ðàçëè÷íûõ ðåçóëüòàòà â îòëè÷èå îò ÷åòûðåõ â ñõåìå «ñ ó÷åòîì ïîðÿäêà»(1,1)(1,1)(÷èñëî 4 âîçíèêàåò è ñîãëàñíî òåîðåìå 4);(2,2)(2,2)è ÷òî íèêàêèì äåëåíèåì íà «÷èñëî êàêèõ(1,2)(1,2)íèáóäü ïåðåñòàíîâîê» ÷èñëî 3 èç 4 ïîëó÷èòü(2,1)íå óäàñòñÿ.Òåîðåìà 5.

Îáùåå êîëè÷åñòâî âûáîðîê â ñõåìå âûáîðà k ýëåìåíòîâ èç n ñ âîçâðàùåíèåì è áåç ó÷åòà ïîðÿäêà îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîén−1kCn+k−1= Cn+k−1.Óïðàæíåíèå 2. Ïðîâåðèòü, ÷òî ïðè n = 2 è k = 2 ïîëó÷àåòñÿ ðîâíî 3.Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ïîäðîáíî, ÷åì îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà äâà ðàçíûõðåçóëüòàòà òàêîé ñõåìû âûáîðà.Íàì íå âàæåí ïîðÿäîê íîìåðîâ, òî åñòü ìû ó÷èòûâàåì òîëüêî, ñêîëüêî ðàç â íàøåìíàáîðå èç k íîìåðîâ øàðèêîâ ïîÿâèëñÿ øàðèê íîìåð 1, øàðèê íîìåð 2, . .

. , øàðèêíîìåð n. Òî åñòü ðåçóëüòàò âûáîðà ìîæíî ïðåäñòàâèòü íàáîðîì ÷èñåë k1 , k2 , . . . , kn , âêîòîðîì ki — ÷èñëî ïîÿâëåíèé øàðèêà íîìåð i â âûáîðêå, è k1 + . . . + kn = k. ×èñëàki ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ èç N ∪ {0}. Ïðè ýòîì äâà ðåçóëüòàòà ýêñïåðèìåíòà ðàçëè÷íû,3åñëè ñîîòâåòñòâóþùèå èì íàáîðû k1 , k2 , . . .

, kn íå ñîâïàäàþò (ïðè ýòîì ó÷èòûâàåòñÿ èïîðÿäîê ýëåìåíòîâ).Ïðåäñòàâèì ñåáå äðóãîé ýêñïåðèìåíò, èìåþùèé òî÷íî òàêèå æå ðåçóëüòàòû (è, ñëåäîâàòåëüíî, èõ ñòîëüêî æå). Åñòü n ÿùèêîâ, â êîòîðûõ ðàçìåùàåòñÿ k øàðèêîâ. Íàñèíòåðåñóåò òîëüêî êîëè÷åñòâî øàðèêîâ â êàæäîì ÿùèêå. Òî åñòü ðåçóëüòàòîì ýêñïåðèìåíòà ñíîâà ÿâëÿåòñÿ íàáîð ÷èñåë k1 , k2 , . . . , kn , â êîòîðîì ki — ÷èñëî øàðèêîâ â ÿùèêåñ íîìåðîì i, è k1 + . . .

+ kn = k. ×èñëà ki ïî-ïðåæíåìó ïðèíèìàþò íàòóðàëüíûå çíà÷åíèÿèëè ðàâíû 0.À òåïåðü èçîáðàçèì ðåçóëüòàò òàêîãî ðàçìåùåíèÿ â âèäå ñõåìû, â êîòîðîé âåðòèêàëüíûå ëèíèè îáîçíà÷àþò ïåðåãîðîäêè ìåæäó ÿùèêàìè, à êðóæêè — íàõîäÿùèåñÿ âÿùèêàõ øàðèêè: • • • • • • • • • Ìû âèäèì ðåçóëüòàò ðàçìåùåíèÿ 9 øàðèêîâ ïî 7 ÿùèêàì. Çäåñü 1-é ÿùèê ñîäåðæèò 3øàðèêà, 2-é è 6-é ÿùèêè ïóñòû, 3-é ÿùèê ñîäåðæèò 1 øàðèê, è â 4-ì è 5-ì ÿùèêàõ åñòüïî 2 øàðèêà. Ïåðåëîæèì îäèí øàðèê èç ïåðâîãî ÿùèêà âî âòîðîé è èçîáðàçèì òàêèìæå îáðàçîì åùå îäèí ðåçóëüòàò ðàçìåùåíèÿ: È åùå îäèí: • • • • • • • • • . • • • • • • • • • Âèäèì, ÷òî âñå ðàçìåùåíèÿ ìîæíî ïîëó÷èòü, ìåíÿÿ ìåæäó ñîáîé øàðèêè è ïåðåãîðîäêè, èëè ðàññòàâëÿÿ k øàðèêîâ íà n−1+k ìåñòå. ×èñëî n−1+k ïîëó÷àåòñÿ òàê: ón ÿùèêîâ åñòü ðîâíî n+1 ïåðåãîðîäêà, ñ÷èòàÿ êðàéíèå, èëè n−1 ïåðåãîðîäêà, åñëè íåñ÷èòàòü êðàéíèå, êîòîðûå äâèãàòü íåëüçÿ. È åñòü k øàðèêîâ.

Ïåðåáðàâ âñå âîçìîæíûåñïîñîáû ðàññòàâèòü k øàðèêîâ íà ýòèõ n−1+k ìåñòàõ (è ñòàâÿ íà îñòàâøèåñÿ ìåñòàïåðåãîðîäêè), ïåðåáåðåì âñå íóæíûå ðàçìåùåíèÿ.k— ýòî â òî÷íîñòèÍî ñïîñîáîâ ðàññòàâèòü k øàðèêîâ íà n−1+k ìåñòàõ ðîâíî Cn−1+k÷èñëî ñïîñîáîâ âûáðàòü èç n−1+k íîìåðîâ ìåñò k íîìåðîâ ìåñò (áåç ó÷åòà ïîðÿäêàè áåç âîçâðàùåíèÿ), íà êîòîðûå íóæíî ïîìåñòèòü øàðèêè.

Çàìåòèì, ÷òî ðàâåíñòâîn−1k= Cn+k−1âåðíî êàê ïî îïðåäåëåíèþ áèíîìèàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ èëè ñâîéCn+k−1ñòâàì òðåóãîëüíèêà Ïàñêàëÿ, òàê è â ñèëó òîãî, ÷òî ìîæíî âìåñòî âûáîðà k ìåñò äëÿøàðèêîâ âûáèðàòü n−1 ìåñòî äëÿ ïåðåãîðîäîê ÿùèêîâ, çàïîëíÿÿ øàðèêàìè îñòàâøèåñÿìåñòà.41.2Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ýëåìåíòàðíîé òåîðèè âåðîÿòíîñòåéÏðåäìåò òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü.Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé èçó÷àåò çàêîíîìåðíîñòè, âîçíèêàþùèå â ñëó÷àéíûõ ýêñïåðèìåíòàõ (ÿâëåíèÿõ).