3 часть (Ефимов А.В., Поспелов А.С. - Сборник задач по математике для втузов)

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ВТУЗОВ Под редакцией А. В, Ефимова и А. С. Поспелова Москва Издательство Физико-математической литературы 2002 ББК 22.1 С 23 УДК 51(075.8) Учебное явлакис ЕФИМОВА сандр Все с, КАРАКУЛИНАнашоеиб Ф доро ч, ПОСПЕЛОВ А евсее Сергеевич, Фролов Сергей Вою еьее ч, ЛЕСИН Внныор Васи ьее ч СВОРНИВ ЗАДАЧ ПО МАТВМАТИКВ ДВЯ ВТУЗОВ Часть 3 Релантор Л. А. Панюшкина Коррентор Т. С. Войсберз Комцьютернан графина М.Н. Гр чун Компьютерный набор и вере*на В. А.Мигаченно ИД йе 01389 ог 30.08.2000 Гигиеничесное зацвюченис М 77.99.02363 Д 003724.07,01 от 06.07.2001 Палписано в печать 29.08.2002.

Формат 60н88716. Печать афсстнан с готовых хлапсзитиэов. Уел, печ, л. Зб. Уч.-иэл. л. 40,7. Тираж 7000 эна. Заказ 10 4086. Излательство Флинна-метена есной нтер турм !17071 Мосина В-71, .Ченинспий просцевт, 16 Отпечатано а полном соответствии с качеством лрелосгавленвыт лвапозятивов иа ГИПП Вятка 610033 г. Киров, ув.Мосвавснал, 122 18ВРУ 5-94052-036-7 (Ч.. 3) 1БВР7 5-94052-033-2 © Коллектив автора, 2002 85 Физматлнт, оформление, 2002 Коллектив автОров: А.В.ЕФИМОВ, А.Ф.КАРАКУЛИН, А.С.ПОСПЕЛОВ, С, В.

ФРОЛОВ, В. В. ЛЕСИН Сбарнян аацач па мвтсмахиие дпя вхузон. В 4 частях. Ч. Зг Учеб- ное пособие ллл агузов /Поп обпь рец. А.В. Ефимова и А. С. Поспе- лова. — 4-е изл. перераб. и лоп. — Ма Изцахельстпо Физико-махе- матичесной литературы, 2002.— 576 с.— 18ВМ 5-94052-036-7 (Ч. 3). Сацержит аалачи па специальным разделам матем*хичесного аналнае, ното- рые в рааличных наборах и объемах изучаются в техничеснлх вузах н уни- верситетах. Сюца внвючены хэние равлелы, эан венщрный аналжч, рллы л их применение, элементы теории функций номпленснай переменной, опе- ' рационное исчисление, интегральные уравнение., уравневиа в частнмх ярс- щщлных, а также методы аптнмнзаиии. Кратцие теорсгичесние сведения, снабженные большим «оличсстзом рааабраииых примеров, пазволеют ис- пользовать сборник цн» всех вила обучения.

Длн стужнтав выс них техннчесних учебных завелсний. ОГЛАВЛЕНИЕ ИРЕДИСПОВИЕ ТИТУДЪНЪ|Х РЕДА!гТОРОВ ОТ АВТОРОВ ЕС В. ,р й Скалярные и векторные почя. Градиент ........, .. 1. Геометрические характеристики саадяряых и векторных полой. 2. Проиееоаиая ао яапраетсипю и граяиент саааярпого попа Глава 3 1.

Соохиошения между различными характерисхиками ска- лярвых и векторны полей 1 Диеергеппип ве торнопг пюш и теореме Гаусса. Осгрограасвого. 2. Вихрь векторного похп. Теорема Стаса. 3. Оператор Гамиаьгояа и его применение. 4. Дифференяиахь- яые операции 2-го порядка Спспиадьныс виды векторных падей........,.... 1. Потепкиаяьпое векторное попе. 2. Сояекоидавькое поле. 3. Ка- пхьсоео 4ипи гармоническое)пОле 2В Применение вривопииейных каардииат в векторном ана- лизе .

1. Криволинейные мюрдикаие. Осно иые соогяошени . 2. Диффсрс и ааьн ера е ри иаа р п- пейных поордииатах. 3. Цепхраяьные, осевые п осеспмметрп- чсскпе скаяярвые паля 41 Глава 31. 12. Ряды и их иримеиавие Числовые ряды 1. Сходимосгь ряда. Критерий Кали. 2. Абсолютная и усаоекая сходимость. Прививки абсояюткой схояимостк. 3. Прпаиакя усяовяой сходпмостп 47 47 Кривояипейиые и поверхиосхиые интегралы........ 13 1. Криволинейный интеграл 1-го рода.

2 Поверхностный интеграл 1-гп рова. 3. Криволинейный интеграл 2-га рода. 4. Поверхностный интеграл 2-го рода Оглаплиние Функциональные ряды 1 Область гходимосхи фуивиионального реда. 2. Равномернав сюдимость. 3. Свойства равмомерно сходешихся рядов 51 Степенные рицы 1. Область сходимости и сюйст а стеленмых радов 2. Рззлоне- ние функиий в рлл Тейлора. 3. Теорема едивственности.

Аиа- литическае продолжение Применение степенных рлдов ................. 1. Вычисление ааачгний фунипий 2 Интегрирование функпий 3. Нахавшеиие сумм числовых родов. Убыстрение схолнмости. 4. Интсгрмрсванис дифференциальных уравнений с ломошью рядов. 5.

Уравнемяе и функпии Бесселе 80 Ряды Лорена 1. Рлдьг Лорана. Теорема Лорана 2 Характер иаолироааниых особых точек 93 Вычеты и их применение 1. Вычет функкии и его вычисление. 2. Теоремы о вычетах и их применение к вычислению контурных икхеграло». 3. Примеменне вычетов в вычислению олрелеленных интегралов. 4. Принцип аргумента Ряды Фурье. Интеграл Фурье ................. 1.

Разлапонис фунввий в триюнометрическне ряды Фурье. 2. Двойные рады Фурье. 3 Интеграл Фурье, 4. Спектральные характеристики ряда и интеграла Фурье. 5. Дискретное преобразование Фурье СДПФ) 100 Глава 51. 13. Теврнн фуннцпй иомгшекснпй переменной Элементарные функции ........... 1. Поносив фунвции «омплекснай переменной. 2. Основные зче- ментарные функлии комплексной переменной.

3. Предел и нп прерывность функиии комплм сиой переменной Аналитические функции. Условил Коши — Римана..... 1. Произ шпал. Аналитичность функпии. 2. Свойства анали- тических фунипий 125 125 Конформные ахображении 1. Геоиетрическкй смысл модула и аргумента лроиаводиой. 2 Канформные стобраненил. Линеймав и дробно-линейная фуикаии. 3. Степемнал фукалки.

4. Функдил Жуковского. 5. Повазательна» функпил. б. Тригонометрические и гиперболические функпии 140 54. Интеграл от функции кпмплскснай переменной..... 152 1 Интеграл по кривой и его вычисление 2 Теорема Коши. Инхегральнал формула Коши Оглавление 14. Онерацмешюе исчисление Преобразование Лапласа !. Определение и свойства «реобразованип Лапласа. 2. Расши- рение власте оригиналов 163 163 Глава Восстановление оригинала по изображению ........

172 ! Элемептарный метол. 2. Формула обращения Теоремы раа- ложения Примененип операционного исчисвенип........... 1. Решение линейных днфферендиальных уравнений и систем уравнений с постшнными коэффипиентами 2. Решение линейных интегральных и интегрпдифферепдиальных уравнений. 3. Интегрирование зинейкых уравнений в часжгых производных. 4. Вычисление несобственных интегралов 5. Суммировалис рядов. б, Применение операционного исчисления при расчете элсахрических цепей 179 Дискретное прсобраапввние Лапласа и его применение .. 198 1 2-преобразование и аискреиюо преобразование Лапласа.

2, Решенве раанастных уравнений Глава 15. Интегральные уравнения Интегральные уравнения Вольтерра............. !. Уравнения Вольтерра 2-го рщв: основные понятия, связь с диффереквиальными уравнениями. 2. Метод посзеювательнгет приближений. Решение с пшагшьш резольвенгы 3. Уравнения Вотьтерра 2-го рода типа сыртви, 4 Уравнения Вшьтерра 1-го рода 210 210 Интегральные уравнения Фредгодьма ............ 1 Основные понптиа.

Метод посленшательных приближений и реаольвенте для уравнений Фревгольма 2-го рада 2. Регпсвие уравнений Фршгольмз 2-го рада с еырождсннмм ядром. 3. Характеристические числа и собственные функции. Теореыы Фрешольма 4 Уравнения Фредгольма 2-го рода с симметричным одром 232 Глава 21. 16. Уравнения в часхных производных Огновные задачи и уравнении математической физики 1. Вывод уравнений и пштаноела задач математической фи- зики. 2 Приведение уравнений к каноническому виду Аналитические меходы решения уравнений математиче- ской физики . 1.

Мехол Даламбера 2. Гильбертоеы пространстве. Ортогоназь- лые системм. 3. Ортогональные рели 4. Метод Фурье решения уравнений математической фиэнли 267 267 275 9 3. Численные методы решения интсгрвчьных уравнений 259 Оглавление 17. Методы оптимизации 323 Глава 323 340 353 386 410 435 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ 467 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 575 31 32 ~3 34 35 36 Приближенные методы решения дифференциальных урав- нений в частных производных ................ 301 1.

Основные понятия метода сеток. 2. Численное решение кра- евых задач методом сеток Численные методы минимизации функпий одной переменной 1. Основные понятия. Прямые методы минимизации. 2. Методы минимиаации, основанные на использовании производных функции Безусловная минимизация функций многих переменных 1. Выцуклые множества и выпуклые функции.

2. Методы безусловной минимизации, основанные на вычислении первых производных функции. 3. Методы безусловной минимизации, использующие вторые производные функции Линейное программирование 1. Постановки задач линейного программирования. Графический метод решения. 2. Симплекс-мегод решения задачи линейного црограммировання. 3 Пелочисленное линейное программирование Нелинейное программирование................ 1. Задачи, сводящиеся к линейному программированию.

2. Методы возможных направлений. 3. Градиентные методы решения задач нелинейного программирования. 4. Методы штрафных и барьерных функций Дискретное динамическое программирование....... Вариационное исчисление 1. Предварительные сведения. Простейшая задача вариационного исчисления. 2. Обобщения простейшей задачи вариационнаго исчисления. 3. Задачи с подвижными границами. 4. Задачи на условный экстремум.

5. Прямые методы вариационного исчисления ПРЕДИСЛОВИЕ ТИТУЛЬНЫХ РЕДАКТОРОВ Настоящее издание «Сборника задач по математике для втузов» подверглось значительной перестановке глав и их распределению по томам. В результате первый том содержит алгебраические разделы курса высшей математики, в том числе векторную алгебру и аналитическую геометрию, определители и матрицы, системы линейных уравнений, линейную алгебру и новый раздел — общую алгебру. Второй том полностью посвящен изложению основ математического анализа, дифференциальному и интегральному исчислениям функций одной и нескольких переменных, а также дифференциальным уравнениям.

В третьем томе собраны специальные разделы математического анализа, которые в различных наборах и объемах изучаются в технических вузах и университетах. Сюда относятся такие разделы, как векторный анализ, элементы теории функций комплексНой переменной, ряды и их применение, операционное исчисление, методы оптимизации, уравнения в частных производных, а также интегральные уравнения. Наконец, четвертый том содержит теоретические введения, типовые примеры и циклы задач по теории вероятностей и математической статистике. Указанные выше изменения составляют лишь структурную пеРеработку Сборника, никоим образом не затрагивая ни расположения материала внутри соответствующей главы, ни последователь- »»ости нумерации примеров и задач.