Себешев В.Г. - Расчёт стержневых систем на устойчивость методом перемещений, страница 7

3.1Продольные силы в стержнях определяем, последовательнорассматривая равновесие узлов L, D и С (рис. 3.1, в – д):0000N LD= − F ; N DC= −1,5 F ; N DB= −2 F ; N CA= − F ; RC0 = 0.Минимально необходимое число связей, вводимых при составлении основной системы метода перемещений, определяетсяпо формулеn0 = nθ + nΔ ,(3.1)где nθ и nΔ – соответственно степени угловой и линейной подвижности узлов заданной системы.35В рассматриваемом примере nθ = 2 (по числу жестких узлов),nΔ = 1 (учитывается горизонтальное перемещение узлов С и D).Линейное перемещение узла L можно не включать в число основных неизвестных, поскольку консоль DL относится к типовымэлементам ОСМП.

Основная система, полученная введением вузлы только необходимых связей (двух угловых и одной линейной), изображена на рис. 3.2, где обозначены основные неизвестные – углы поворота Z1 и Z2 и линейное перемещение Z3 . На схеме указаны также номера элементов и их типы в соответствии стабл. 1 «Приложения».

Выбранная основная система – несовершенная, так как основными неизвестными невозможно описать и,следовательно, выявить локальную потерю устойчивости стойкиBD – это потребует в дальнейшем исследования скрытой формы.FZ1F1,5F1Тип 2 1b1b2Тип 3 4e4 21,5F2Тип 1F b4e2b3e3e1Z23Z33 Тип 4Рис. 3.2Определяем характеристики элементов ОСМП – погонныежесткости ij = EIj / lj и коэффициенты продольных сил νj == l j − N j ( EI j ) (те и другие – с точностью до общих параметров i0 и ν соответственно (здесь ν имеет такой же смысл – ведущего параметра, – как и ν0 в п.1.2, но индекс «0» опущен длякраткости):i1 = EI /(5 м) = 0,8 i0 ; i2 = 3EI /(6 м) = 2 i0 ;i3 = EI /(4 м) = i0 ;i4 = EI /(2 м) = 2 i0;ν 1 = 5 м ⋅ F ( EI ) = 0,8839ν ; ν 2 = 6 м ⋅ 1,5 F (3EI ) = 0,75ν ;ν 3 = 4 м ⋅ 2 F ( EI ) = ν ;ν 4 = 2 м ⋅ F ( EI ) = 0,3535ν .36Согласно формуле (1.13) получаем ψ1 = 0,8839; ψ2 = 0,75;ψ3 = 1; ψ4 = 0,3536.

Заметим, что все ψ j ≤ 1 , так как в качестве νвыбран наибольший из νj . Дополнительно выражаем через i0жесткость упругой связи: с0 = 0,5 м – 3 ЕI = 2 м – 2 i0.Система канонических уравнений метода перемещений:⎡ r11 r12 r13 ⎤ ⎡ Z 1 ⎤r ⋅ Z = ⎢ r21 r22 r23 ⎥ ⋅ ⎢ Z 2 ⎥ = 0.⎣⎢ r31 r32 r33 ⎥⎦ ⎢⎣ Z 3 ⎦⎥(3.2)Компоненты rik матрицы внешней жесткости r имеют смыслреакций введенных связей в единичных состояниях основнойсистемы. Эти состояния, вызываемые единичными смещениямиугловых и линейной связей, изображены на рис. 3.3.При построении схемы деформированного состояния ОСМПот линейного смещения Z3 = 1 использован план перемещенийузлов.

Заметим, что реакция упругой связи rc,k (здесь k – номерединичного состояния) отлична от нуля только при Z3 = 1, так какв двух других состояниях связь не претерпевает деформации. ПриZ3 = 1 возникает абсолютное удлинение связи, равное 1, поэтомуrc,3 = с0 . 1 = 2 i0 .На рис. 3.3 приведены также эпюры нагибающих моментов вединичных состояниях основной системы, построенные с использованием таблицы типовых эпюр для сжато-изогнутых стержней(см. «Приложение»). Все эпюры криволинейные, поскольку вовсех элементах имеются сжимающие продольные силы (если быбыли элементы, не испытывающие сжатия, то для них эпюрымоментов получились бы прямолинейными). Полезно обратитьвнимание на то, что общее очертание криволинейной эпюры длякакого-либо стержня напоминает вид соответствующей прямолинейной эпюры (треугольной или трапецеидальной) при расчетена прочность (без учета влияния продольной силы).Характерные ординаты единичных эпюр представлены в конечном счете с точностью до общего множителя i0 , а аргументыспециальных функций записаны через ведущий параметр ν.37Z1= 1Fr11F1,5FrC,1= 01,5F3i1ϕ1(ν1)= 2,4i0ϕ1(0,8839ν)r31DC2i2ϕ3(ν2)= 4i0ϕ3(0,75ν)r21F LМ14i2ϕ2(ν2)= 8i0ϕ2(0,75ν)k=1ABFr12FrC,2= 0LZ2= 14i2ϕ2(ν2)= 8i0ϕ2(0,75ν)r22F2i2ϕ3(ν2)= 4i0ϕ3(0,75ν)r32C 1,5F 1,5F Di4ν4 tgν4 == 0,707i0ν tg (0,3535ν)М2k=2ABOA,B = 0 1D,L6 i20,75l21,25CF1Δ2,3 = 0,75r13rC,3 = c0rA′ ,3A0RAΔ1,3 = 1,25FC= i3 ⋅k=3L2ν3l1М3Z3= 1B2l3Δ1, 3 ϕ1 (ν 1 ) = 0,6i0ϕ1(0,8839ν)r33D1,5FrB′ ,3+ rA′′,31,5FF3i1r23Δ 2 , 3 ϕ 4 (ν 2 ) = 1,5i0ϕ4(0,75ν)RB + rB′′,30Рис.

3.3381,5i0ϕ4(0,75ν)Относительные линейные смещения концевых сечений 1-го,2-го и 3-го элементов по нормали к оси стержня, необходимыедля вычисления характерных ординат эпюры М3 (в единичномсостоянии от линейного смещения Z3 = 1), удобно находить поплану перемещений: Δ1,3 = 1,25; Δ2,3 = 0,75; Δ3,3 = 1 (индекс j уперемещения Δj,k указывает номер элемента, а индекс k – номерединичного состояния).Рассмотрим определение единичных реакций rik статическимспособом. Реакции угловых связей – моменты r1k и r2k находятсяиз условий равновесия моментов в4i0ϕ3(0,75ν)r110r21 узлах С и D (рис.

3.4, на которомусловно не показаны узловые на8i0ϕ2(0,75ν)грузки, реакции линейных связей,02,4i0ϕ1(0,8839ν)продольные и поперечные силы):0,707i0ν tg (0,3535ν)r11 = i0 [2,4ϕ1(0,8839ν ) +8ϕ2(0,75ν )];8i0ϕ2(0,75ν)r12r12 = r21 = 4i0 ϕ3(0,75ν ) ;r22r13 = r31 = i0 [1,5ϕ4(0,75ν ) –– 0,6ϕ1(0,8839ν )];ϕ(0,75ν)4i0 300r22 = i0 [8ϕ2(0,75ν ) –r13 1,5i0ϕ4(0,75ν)– 0,707 ν tg(0,3535ν )];0r23 = r32 = 1,5i0 ϕ4(0,75ν ).r23Собственную реакцию линейнойсвязи определяем из условия равноРис. 3.4весия системы в целом в 3-ем единичном состоянии (см.

рис. 3.3):x = r33 – 1,5F + 1,5F – F . 0,6 – rc,3 - rA′ ,3 ⋅ 0,8 +0,6i0ϕ1(0,8839ν)∑0+ ( R A0 + rA′′,3 ) ⋅ 0,6 + rB′ ,3 = 0. Учитывая, что R A0 = F , rc ,3 = 2 i0 ,rc ,3 = 2 i0 , rA′ ,3 = (3i1 / l12 ) ⋅ Δ 1,3 ⋅ η1 (ν 1 ) = 0,12 i0η1 (0,8839ν ),rB′ ,3 = i3ν 32 / l 32 = 0,0625 i0ν 2 , получаемr33 = 2 i0 + 0,096 i0η1 (0,8839ν ) − 0,0625 i0ν 2 − 0,6 rA′′,3 .Необходимое для вычисления приращения реакции rA′′,3уравнение получаем из условия равновесия узла С (рис. 3.5):y = −( R A0 + rA′′,3 ) ⋅ 0,8 − rA′ ,3 ⋅ 0,6 + F ⋅ 0,8 − 0,5 i0η 2 (0,75ν ) = 0,∑39откуда rA′′,3 = − i0 [0,09η1 (0,8839ν ) + 0,625η 2 (0,75ν )] , и окончательно r33 = i0 [2 + 0,15η1 (0,8839ν ) + 0,375η 2 (0,75ν ) − 0,0625ν 2 ].Возможен другой вариант опi012i2⋅ Δ 2,3 ⋅ η2 (ν 2 ) = ⋅ η2 (0,75ν ) ределения r33 – с использовани2l22ем точки пересечения направFлений реакций R A0 + rA′′,3 и1,5FrC,3CQ1,3 = rA′ ,3N2,3r13yN1,3 = – ( R A + rA′′,3 )0Рис. 3.5∑mOR B0 + rB′′,3 в качестве моментнойточки (см.

рис. 3.3). Очень важно то, что уравнение равновесиязаписывается для деформированного состояния системы, поэтому должны быть учтенымоменты от узловых нагрузок:= r33 ⋅ 8 м − 2 F ⋅ Z 3 − r23 − 1,5 F ⋅ 8 м + rB′ ,3 ⋅ 12 м − F ⋅ Δ 1,3 ++ (1,5 F − rc ,3 ) ⋅ (8 м + Δ 2,3 ) − r1,3 − rA′ ,3 ⋅ 15 м = 0.Полученное из этого уравнения выражение содержит инуюкомбинацию специальных функций, чем в первом варианте, но ихэквивалентность может быть доказана (заметим, что при преобразовании уравнения произведение малых величин rc ,3 ⋅ Δ 2,3 принимается ≈ 0 ).Матрицу r можно получить также кинематическим способомпо формуле (1.9).

Матрицы К и а формируются из блоков длявсех элементов системы, включая упругую связь в узле С. Структура матриц Kj и a(j),i ( j – номер элемента) в зависимости от типаэлемента описана в табл. 1 «Приложения».K = diag [ K1 K2 K3 K4 KC ];ν1 = 0,8839ν ;⎡ 2,4 ϕ 1 (ν 1 ) − 0,48ϕ 1 (ν 1 ) ⎤K 1 = i0 ⎢;⎥ν2 = 0,75ν ;⎣− 0,48ϕ 1 (ν 1 ) 0,096η1 (ν 1 )⎦− 2η 3 (ν 2 ) 4ϕ 3 (ν 2 ) ⎤⎡ 8ϕ 2 (ν 2 )⎢K 2 = i0 ⎢− 2η 3 (ν 2 ) 0,667η 2 (ν 2 ) − 2η 3 (ν 2 ) ⎥⎥;⎢⎣ 4ϕ 3 (ν 2 )− 2η 3 (ν 2 ) 8ϕ 2 (ν 2 ) ⎥⎦40K 3 = i0 [0,0625ν 2 ]; K 4 = i0 [0,707ν tg (0,3535ν )]; K C = i0 [ 2 ];00 ⎤⎡101,25 ⎥⎢0⎢− − − − − − − − − ⎥⎢100 ⎥⎢00 − 0,75⎥⎢10 ⎥a = [ a1 a2 a3 ] = ⎢ 0−−−−−−−−− ⎥⎢001 ⎥⎢− − − − − − − − − ⎥⎢010 ⎥⎢− − − − − − − − − ⎥⎢001 ⎥⎦⎣ототθ b1Δ be,(1)a(1) 1θ b2Δ be,(2) a(2) 2θ e2Δ be,(3) a(3) 3θ b4a(4) 4Δlca(5) усотZ1 = 1 Z 2 = 1 Z 3 = 1Составляем уравнение устойчивости:r11 r12 r13Ф(ν ) = Det (r ) = r = r21 r22 r23 =r31 r32 r33= r11 r22 r33 + 2r12 r23 r13 − r11 r232 − r22 r132 − r33 r122 = 0.(3.3)Корень уравнения устойчивости отыскивается способом последовательных приближений: задавая значения ведущего параметра ν с некоторым начальным шагом Δν, определяют соответствующие значения левой части Ф(ν ) уравнения устойчивости дотех пор, пока не произойдет изменение знака Ф(ν ).

После этогопроизводится поиск корня в том интервале Δν , на концах которого получены разнозначные значения Ф(ν ). Интервал поиска постепенно сужается, и в конце может быть применена аналитическая или графическая интерполяция.Задаем ν = 0, тогда ν1 = ν2 = ν3 = ν4 = 0, ϕ1(0) = 1,…, η3(0) = 1,ν4 tgν4 = 0, r11 = 10,4 i0 , r12 = 4 i0 , r13 = 0,9 i0 , r22 = 8 i0 , r23 = 1,5 i0 ,r33 = 2,525 i0 , Ф( 0 ) = 150,6 i03 . Назначаем начальный шаг поискаΔν = 0,6.

При ν = 0,6 получаем ν1 = 0,5304, ν2 = 0,45, ν3 = 0,6,41ν4 = 0,2121. По табл. 2 «Приложения», применяя интерполяцию,находим значения специальных функций, необходимые для определения единичных ре акций: ϕ1(0,5304) = 0,9809, ϕ2(0,45) == 0,9932, ϕ3(0,45) = 1,0035, ϕ4(0,45) = 0,9966, η1(0,5304) = 0,8865,η2(0,45) = 0,9795, 0,2121.

tg 0,2121 = 0,0468 (можно вычислятьϕ1(0,5304) … η2(0,45) непосредственно по формулам из табл. 1«Приложения»). Затем рассчитываем rik и Ф( 0,6 ). Увеличив νна Δν = 0,6, вычисляем Ф( 1,2 ) и т.д. Для получения приемлемой точности все расчеты следует выполнять не менее чем с тремя десятичными знаками после запятой.Значения rik и Ф(ν ) представлены в таблице 3.1.Таблица 3.1νr11 i0r12 i0 r13 i0 r22 i0 r23 i0 r33 i0 Ф(ν ) / i0300,61,21,82,43,02,9а)10,410,29969,99519,46268,66067,49147,71804,04,01404,05524,12884,24004,39924,36840,90,90640,92620,96341,02611,13321,11098,07,85437,39846,56065,17152,76043,27423Ф (ν ) / i 01,51,49491,47961,45381,41711,36861,37762,5252,47782,33662,09991,76571,32871,4091150,60141,93117,2580,0936,83–2,173,40График функции Ф(ν ) показанна рис.

3.6, а. Корень уравненияустойчивости определяется ли120нейной интерполяцией в интерва80ле от 2,9 до 3,0 (рис. 3.6, б):3 − 2,940ν cr = 2,9 +=Ф (3)ν−10 0,6 1,2 1,8 2,4 3,0Ф ( 2,9)б)ν cr0,1Ф(2,9)= 2,96.= 2,9 +3,0− 2,171−2,9Ф(3,0)3,40ν crДля контроля: Ф(2,96) = –0,02 ≈ 0.Рис. 3.616042Вычисляем F cr по формуле (1.16), где ввиду того, что принято ν = ν3 (т.е. d = 3), имеем ld = l3 = 4 м, EId = EI3 = EI,2,96 2 ⋅ EIξd = ξ3 = –2, тогда F cr == 0,274 EI . (Заметим, что ко2 ⋅ 42эффициент 0,274 здесь – в м –2 ).Тот же результат можно получить непосредственно из соотношения ν3 = 4 2 ⋅ F /( EI ) .Нагрузка F cr соответствует общей потере устойчивостисистемы.