Себешев В.Г. - Расчёт стержневых систем на устойчивость методом перемещений, страница 4

1.3), то в этом случае Z = 0, что соответствует тривиальному решению. Таким образом, нулевому вектору Z отвечает нетолько исходная форма равновесия системы, но и скрытые (т.е.не обнаруживаемые решением при Z ≠ 0) формы потери устойчивости. Принципиально важно то, что скрытыми могутбыть только локальные формы.Возможность существования скрытых форм обусловлена,во-первых, структурой заданной системы, и, во-вторых, выборомосновной системы.

В системах, где невозможна местная потеряустойчивости, скрытые формы отсутствуют. Не может быть местной, а следовательно, и скрытой потери устойчивости у техэлементов, которые, искривляясь, передают в узлы воздействия(силы и моменты), вызывающие искривление других стержней.Например, в раме, изображенной на рис.

1.3, а, невозможна местная потеря устойчивости стойки CL, так как при ее продольномизгибе (рис. 1.3, д) в узел С передается момент МCL , а в узел L –горизонтальное усилие Н, которые не могут быть воспринятыдругими стержнями системы без их изгиба. При этом обязательновозникают смещения узлов (Z ≠ 0), а это – признак общей потериустойчивости. Заметим, что для стойки АВ, имеющей, подобностойке CL, шарнир на одном конце и защемление на другом, локальная потеря устойчивости может иметь место, поскольку возникающий при искривлении стержня АВ момент МА воспринимается опорным защемлением, а в узел В со стойки АВ передаетсятолько горизонтальная сила, заставляющая элемент ВЕ работатьна сжатие. Изгиба же других стержней, а значит и смещения узлов при этом не возникает (Z = 0).

Если бы шарнир стойки АВбыл расположен не вверху, а внизу, то местной потери устойчивости быть не могло бы, так как изгиб стойки в этом случае невозможен без поворота узла В. При продольном изгибе элементов, имеющих шарниры на обоих концах (например, стойкаСD (рис. 1.3, г), в узлы системы на передается никаких возмущений, поэтому местная потеря устойчивости таких стержней всегда возможна.18И, напротив, за редким исключением, не существует опасности локальной потери устойчивости стержней с двумя защемленными концами (рис. 1.3, в).Выполняя при составлении расчетной схемы сооруженияпредварительный анализ структуры, можно выявить стержни, длякоторых не исключена опасность местной потери устойчивости.Однако даже при наличии таких элементов можно избавиться отскрытых форм.

Для этого, очевидно, нужно перевести локальныеформы в категорию явных, поддающихся определению с помощью нетривиального решения. Цель будет достигнута, если вчисло основных неизвестных, кроме перемещений основных узлов системы, включить также перемещения, характеризующиеискривление стержней при их локальной потере устойчивости(целесообразно в качестве характерного перемещения приниматьугол поворота шарнирно закрепленного конца элемента). Приэтом увеличивается порядок системы канонических уравнений(1.6) и усложняется уравнение устойчивости (1.15), но зато с помощью последнего удается получить полное решение задачи.Введение дополнительных неизвестных приводит к появлению в основной системе избыточных связей (то есть связей, наложенных в дополнение к необходимым).Z2F1F2Z1Z4Z3CZ5DРис. 1.4Z6Z6Основная система, не допускающаявозникновения скрытых форм потериустойчивости, называется совершенной .

Заметим, что если в заданной системе невозможна местная потеря усустойчивости всех стержней, то дляполучения совершенной основной системы достаточно ввести лишь необходимые связи.Основная система, не устраняющая всех скрытых форм потери устойчивости, называется несовершенной .Пример несовершенной основной cистемы для рамы, изображенной на рис. 1.3, а, приведен на рис. 1.3, б, а совершеннаяосновная система для той же рамы показана на рис. 1.4.19Следует обратить внимание на то, что при продольном изгибе стойки CD с шарнирами на обоих концах перемещение Z6– групповое.Использование рассмотренных выше понятий позволяет датькорректное истолкование ряда вопросов теории и избежать некоторых ошибок, в том числе и такой опасной по практическим последствиям, как неполное выявление форм потери устойчивости.В частности, становится очевидным, что фермы не поддаютсярасчету на устойчивость методом перемещений, если применятьшарнирно-стержневую расчетную схему и при этом основнуюсистему выбирать так же, как в расчете на прочность, то естьвводя лишь необходимые связи (по две линейных связи в каждомузле плоской фермы).

Ведь для фермы с идеальными шарнирамихарактерна местная потеря устойчивости отдельных стержней.Но поскольку полученная указанным способом основная системаявляется несовершенной, то все локальные формы остаются неисследованными, а общая потеря устойчивости невозможна (случай бокового выпучивания фермы здесь не рассматривается).Следовательно, критическую нагрузку определить не удается.Для получения правильного результата нужно либо устранитьнесовершенство основной системы путем введения избыточныхсвязей, либо выполнить дополнительный анализ скрытых формпотери устойчивости (подробно об этом будет сказано ниже), либо, наконец, расчетную схему фермы составлять с учетом реального (жесткого или упругоподатливого) соединения в узлах.Обратимся теперь к вопросу решения уравнения устойчивости (1.15).

В п. 1.2 было показано, что все компоненты rik определителя в левой части (1.15) могут быть представлены как функции одного аргумента ν0 . В эти функции входят трансцендентныевыражения (через коэффициенты νj = ψj ⋅ν 0 ) усилий в концевыхсечениях элементов ОСМП (см. табл. 1 «Приложения»).Если раскрыть определитель При n>3 получение аналитического выраженияDet ( r ) , то получается функ- Ф(ν0) становится весьма трудоемкой задачей,ция Ф(ν0 ), которая также явля- но в этом нет необходимости, так как для решения уравнения устойчивости обычно примеется трансцендентной и может няются численные методы.быть достаточно сложной.20Примерный вид графика этой функции показан на рис.

1.5. Характерным является тo, чтоФ(0) > 0. Точкам пересечения графика с осьюν0 0ν0 отвечают значения0параметра ν0 являющиеνcr,1ся корнями уравненияνcr,2устойчивости Det ( r ) =Ф(ν0 ) = 0. Их называютνcr,3критическими значениями параметра ν0 и обоРис.1.5значают νcr,1, νcr,2 и т.д.– в порядке увеличения. Из формулы (1.14) видно, что параметрнагрузки пропорционален квадрату параметра ν0 . Тогда рядузначений νcr,1 , νcr,2 ,… соответствует совокупность Fcr,1 , Fcr,2 ,…,называемая с пе к т р о м кр и т и ч е с к их з на че н и й па ра м е т р а на г ру з ки . Поскольку трансцендентное уравнение устойчивости содержит периодические тригонометрические функции и вследствие этого имеет бесчисленное множество корней,спектр критических нагрузок бесконечен.

Но практическое значение имеет толькo низшая критическая нагрузка Fcr,1, отвечающая наименьшему корню уравнения устойчивости νcr,1 . Обозначим их F cr и ν cr , тогдаФ(ν0 )Асимптоты2ν cr EI dF cr =.ξ d l d2(1.16)Точное решение уравнения устойчивости удается получитьлишь в редких случаях для систем с достаточно простой структурой, поэтому обычно минимальный корень уравнения (1.15) определяют с помощью численных методов, легко поддающихсяалгоритмизации и эффективно реализуемых на ЭВМ. Построениепроцедуры поиска критического значения параметра ν0 облегчается тем, что область существования ν cr заведомо известна:0 <ν cr ≤ 2π(объяснение этому будет дано в конце параграфа).21В случае использования совершенной основной системы решение уравнения устойчивости дает истинное значение νcr , которому отвечает искомое критическое значение параметра нагрузкиFcr .

При этом в результате расчета всегда верно определяетсяформа потери устойчивости, какой бы она ни была – общей илиместной. Необходимо отметить, что если несовершенства основной системы устранены путем введения угловых связей на шарнирных концах элементов, потенциально опасных по местнойустойчивости, то единичное смещение некоторой из этих избыточных связей (или группы связей при групповом неизвестном Zi)не вызывает реакций во всех остальных связях. Это означает, чтоrki = 0 (k ≠ i , i – номер избыточной связи), поэтому в матрице ri-е строка и столбец содержат лишь один элемент rii , расположенный на главной диагонали.

Удобно сначала пронумероватьнеобходимые введенные связи в основной системе метода перемещений (с 1 по n0 ), а затем избыточные (с n0+1 до n = n0 + nd ,где nd – число избыточных связей), тогда матрица r приобретаетблочно-диагональную структуру:⎡r0⎤⎢0 ⎥⎥⎢ rn0 +1, n0 +1⎥ ,r =⎢rn0 + 2, n0 + 2⎢⎥( n×n )⎢⎥0O⎢⎥rnn ⎥⎦⎢⎣(1.17)⎡r11 r12 ... r1k ... r1n0 ⎤⎢⎥r21 r22 ... r2 k ...

r2 n0 ⎥⎢где r0 =⎢............................. ⎥ – матрица единичных реакций( n0 × n0 )⎢⎥ необходимых связей.⎢⎣rn0 1 rn0 2 ... rn0 k ... rn0 n0 ⎥⎦Определитель матрицы r (1.17) записывается в видеDet ( r ) = Det ( r0 ) ⋅n∏ rii .i = n0 +122(1.18)Очевидно, что результат определения ν cr из уравнения (1.17)будет таким же, как при решении независимых уравненийDet ( r0 ) = 0 и rii = 0 ( i = n 0 + 1, n ) с последующим выборомменьшего из найденных корней.Если скрытые формы в выбранной основной системе отсутствуют, то выражение (1.18) называется спектральнойфу нкцией S(ν0 ) , и уравнение устойчивости принимает видS(ν0 ) = 0.

Его минимальный корень ν cr = νcr дает по (1.16) искомую величину Fcr .В случае несовершенной основной системы значение F cr ,соответствующее наименьшему корню уравнения Det ( r ) = 0, необязательно является действительной критической нагрузкой, таккак потеря устойчивости системы может произойти по какойлибо из скрытых форм при нагрузке, меньшей, чем F cr (в этомслучае выбранная основная система называется ложной ).

Поэтой причине кроме решения уравнения (1.15) требуется дополнительное исследование, заключающееся в расчете на устойчивость тex стержней, для которых не исключена возможность существования скрытых форм. Поскольку, как отмечалось выше,скрытыми могут быть только локальные формы потери устойчивости, то при указанном дополнительном исследовании стержнирассматриваются как отдельные, независимые друг от друга элементы с соответствующим закреплением концов. Критическоезначение продольной силы для некоторого j-го стержня вычисляется по обобщенной формуле Эйлера, которая при этом можетрассматриваться как уравнение устойчивости для соответствующей локальной формы :π 2 EI j*N cr , j =,(1.19)2l 0*, j( )гдеl 0*, j = μ *j l j – приведенная длина j-го стержня в ОСМП;μ *j = π ν *j – коэффициент приведения длины, зависящий отспособа закрепления концов j-го элемента (для элемента1-го типа μ *j = 0,5, для 2-го типа – μ *j = 0,7, для 3-го типа –μ *j = 2, для 4-го типа – μ *j = 1).23По найденномуN cr* , j определяетсяFcr* , j = N cr* , jξj –значение параметра нагрузки при местной потере устойчивостиj-го стержня.