Себешев В.Г. - Расчёт стержневых систем на устойчивость методом перемещений, страница 8

Поскольку использовалась несовершенная основнаясистема, то требуется дополнительное исследование скрытыхформ потери устойчивости. В рассматриваемой задаче единственная скрытая форма связана с локальной потерей устойчивости стойки ВD. Рассматривая этот стержень изолированно отдругих (рис. 3.7), находим по формуле (1.19) критическое значение продольной силы, соответствующее местной потере устойчивости элемента BD (коэффициент приведения| N3 | = 2Fдлины для элемента 4-го типа μ 3* = 1):N cr* ,3 = ξ 3 Fcr* ,3 =D3EIl3 = 4 мBРис.

3.7Fcr* ,1откудаFcr* ,3=π 2 EI 3π 2 EI== 0,617 EI ,( μ 3*l 3 ) 2 (1 ⋅ 4) 2N cr* ,3ξ3=0,617 EI2= 0,308 EI .Выполняя аналогичные расчеты остальныхэлементов (хотя в этом нет необходимости, таккак несомненно, что местная потеря устойчивости для них невозможна), можно найтиπ 2 EI 1π 2 EI=== 0,806 EI ,ξ1 ( μ1*l1 ) 2 1 ⋅ (0,7 ⋅ 5) 2Fcr* , 2 =π 2 EI 2π 2 3EI== 2,193 EI ,ξ 2 ( μ 2*l 2 ) 2 1,5 ⋅ (0,5 ⋅ 6) 2Fcr* , 4 =π 2 EI 4π 2 EI== 0,617 EI .1 ⋅ ( 2 ⋅ 2) 2ξ 4 ( μ 4*l 4 ) 243Определяем истинное значение критического параметранагрузки Fсr = min ( F cr , Fcr* , j ) = F cr = 0,274 EI – следовательно,происходит общая потеря устойчивости.Для выявления формы потери устойчивости вычисляем собственный вектор перемещений βZ.

Принимаем основное неизвестное Z1 в качестве ведущего, тогда βZ = [Z1/ Z1 Z2/ Z1 Z3/ Z1 ]T == [ 1 βZ2 βZ3 ]T . Сформировав матрицу r при ν = νcr , получаемсистему уравнений⎡ 7,584 4,387 1,124 ⎤ ⎡ 1 ⎤⎢ 4,387 2,974 1,372 ⎥ ⋅ ⎢ β Z 2 ⎥ = 0.⎢⎣ 1,124 1,372 1,361 ⎥⎦ ⎢⎣ β Z 3 ⎥⎦Представив систему в форме (1.23) и отбросив последнееуравнение, имеем⎡ 4,387 1,124 ⎤ ⎡ β Z 2 ⎤ ⎡ 7,584 ⎤⎢ 2,974 1,372 ⎥ ⋅ ⎢ β ⎥ + ⎢ 4,387 ⎥ = 0,⎣⎦ ⎣ Z3 ⎦ ⎣⎦откуда βZ2 = –2,046, βZ3 = 1,236.Отметим, что βZ3 имеет размерность длины (в данном при-мере измеряется в метрах) потому, что перемещения Z3 и Z1 разнотипные (одно линейное, другое угловое), и коэффициент, связывающий их по (1.24), не может быть безразмерным.Знак « – » у βZ2 указывает на то, что поворот узла D на уголZ2 происходит против часовой стрелки (т.е. в направлении, противоположном принятому за положительное при составлении основной системы).С учетом найденных соотношений Z2 = –2,046 Z1 и Z3 == 1,236 м .

Z1 может быть изображено – с точностью до неопределенного множителя Z1 – деформированное состояние системыпосле потери устойчивости при F = Fcr (рис. 3.8).Вспомогательное построение, выполненное около узла С,позволяет графически выразить линейное перемещение Z3 черезугол поворота Z1 с учетом коэффициента βZ3 . При этом отрезокab = βZ3 = 1,236 м должен изображаться строго в том же масштабе, что и сама система. Угол Z2 показан на чертеже равным2,046 Z1 .44Z3 = bg = ab ⋅ tg Z1b g≈ βZ3 Z1FcrZ1βZ3 = 1,236 маZ3LZ3FcrFcr1,5 Fcr1,5 FcrCDZ1Z2 = –2,046 Z1ABРис. 3.8В заключение расчета вычисляются коэффициенты приведения длины& μj = π / νj,cr = π / (ψj νcr ) и приведенные дли& ны всехсжатых элементов системы l0,j = μj lj :μ1 =μ3 =π0,8839 ⋅ 2,96π= 1,201;= 1,061;1 ⋅ 2,96l0,1 = 1,201 .

5 м = 6,00 м;l0,3 = 1,061 . 4 м = 4,24 м;μ2 =μ4 =π0,75 ⋅ 2,96= 1,415;π= 3,002;0,3535 ⋅ 2,96l0,2 = 1,415 . 6 м = 8,49 м;l0,1 = 3,002 . 2 м = 6,00 м.Полезно обратить внимание на то, что полученные значениякоэффициентов μj , учитывающие совместность работы стержнейв выявленной общей потере устойчивости, сильно отличаются оттех, которые используются в расчетах одиночных сжатых стержней с соответствующими закреплениями концов.

Например, μ4для консоли DL в 1,5 раза больше, чем для консольного стержня снеподвижным опорным защемлением. То, что для стойки BD сшарнирами на обоих концах получен μ3 = 1,061 > 1, свидетельствует об отсутствии местной потери устойчивости этого элемента.453.3. Компьютерный расчет рамыПри подготовке к расчету на ЭВМ рамы, рассмотреннойвыше в безмашинном варианте, упругую линейную связь в узле Сусловно заменяем элементом 5-го типа, длину которого l5 дляудобства назначаем равной 1 м. Жесткость его сечения при растяжении-сжатии ЕА5 определяется из условия равенства абсолютных удлинений упругой связи и этого стержня при одной итой же реакции R: Δc = Δl5 , откуда по закону ГукаR R l5=⇒ EA5 = c0 l5 = 0,5 м –2 EI.c0 EA5Следуя схеме подготовки исходных данных, изложенной вп.2.2, и учитывая, что выбор основной системы, нумерация основных неизвестных и элементов ОСМП с указанием их типов,определение продольных сил в стержнях, выражение погонныхжесткостей элементов через общий параметр i0 , формированиематрицы а уже выполнено в п.

2.2, приводим запись исходныхданных, которую удобно использовать при вводе в компьютерв порядке, предусмотренном программой STELF (см. рис. 2.2):nk = 3m=5Типы элементов = [ 2Характеристики продольных сил Bj = – Nj /F = [ 1,0Относительные погонные жесткости Сj = ij / i0 = [ 0,8Длины элементов lj = [ 5,0Матрица смещенийконцевых сеченийэлементовв единичныхсостояниях ОСМП⎡1⎢0⎢1a = ⎢ 00⎢⎢0⎢ 00⎣461435 ]1,5 2,0 1,0 0,0 ]2,0 1,0 2,0 2,0 ]6,0 4,0 2,0 1,0 ]000 1,25000 − 0,7510011001⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦Ниже приводится полная распечатка результатов компьютерного расчета.Считал: ИВАНОВГруппа 321ДЛЯ КОНТРОЛЯ:ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ЗАДАЧИЧИСЛО НЕИЗВЕСТНЫХ N= 3ПРИЗНАКИТИПОВ ЭЛ-ТОВ21435ЧИСЛО ЭЛЕМЕНТОВ М= 5ПРОДОЛЬНЫЕСИЛЫ/F1.00001.50002.00001.00000.0000ОТНОШЕНИЯЖЕСТКОСТЕЙ0.80002.00001.00002.00002.0000ДЛИНЫЭЛ-ТОВ5.0006.0004.0002.0001.000СМЕЩЕНИЯ КОНЦЕВЫХ СЕЧЕНИЙ В ЕДИНИЧНЫХ СОСТОЯНИЯХ1.00000.00001.00000.00000.00000.00000.00000.0000* КАФЕДРА0.00000.00000.00000.00001.00000.00001.00000.00000.00001.25000.0000– 0.75000.00001.00000.00001.0000СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ Н Г А С У** * * * * *==========================================РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА СИСТЕМЫ НА УСТОЙЧИВОСТЬ---------------------------------------------------------------------------------Считал: ИВАНОВГруппа 321ИНФОРМАЦИЯ О ХОДЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ :1.

ВЫЧИСЛЕН КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ2. ОПРЕДЕЛЕН СОБСТВЕННЫЙ ВЕКТОР ПЕРЕМЕЩЕНИЙ3. ИССЛЕДОВАНЫ СКРЫТЫЕ ФОРМЫ ПОТЕРИ УСТ-ТИ47ЗНАЧЕНИЯ ЛЕВОЙ ЧАСТИ УРАВНЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИВ ЗАВИСИМОСТИ ОТ ПАРАМЕТРА VVDET ( R )0.000.200.400.600.801.001.201.401.601.802.002.202.402.602.803.000.150600E+030.149630E+030.146741E+030.141968E+030.135393E+030.127111E+030.117258E+030.105998E+030.935277E+020.800805E+020.659277E+020.513857E+020.368220E+020.226701E+020.945107E+01– 0.218599E+01П Р И М Е Ч А Н И Е : В КАЧЕСТВЕ ВЕДУЩЕГО ПАРАМЕТРА VПРИНЯТ КОЭФФИЦИЕНТ ПРОДОЛЬНОЙ СИЛЫ 3-ГО ЭЛЕМЕНТА:V = MAX [ V ( J ) ] = V ( 3 ) = L ( 3 ) ∗ [– N ( 3 ) / E I ( 3 ) ∗ ∗ 0.5 ;V ( 1 ) = 0.8839 ∗ V,V ( 4 ) = 0.3536 ∗ V,V ( 2 ) = 0.7500 ∗ V,V ( 5 ) = 0.0000 ∗ VV ( 3 ) = 1.0000 ∗ V,КРИТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПАРАМЕТРА V:VCR = 2.9596МАТРИЦА ЕДИНИЧНЫХ РЕАКЦИЙ ПРИ V = VCR!!!7.5854.3871.1244.3872.9731.3721.1241.3721.362СОБСТВЕННЫЙ ВЕКТОР ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В , ГДЕ B ( I ) = Z ( I ) / Z ( 1 )B ( 1 ) = 1.000B ( 2 ) = – 2.046B ( 3 ) = 1.23648ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТОВN ЭЛЕМЕНТА(J)КРИТИЧЕСКОЕЗНАЧЕНИЕVCR ( J )КОЭФФИЦИЕНТПРИВЕДЕНИЯ ДЛИНЫM(J)=П/V(J)ПРИВЕДЕННАЯДЛИНАLO(J)=M(J)*L(J)123452.61592.21972.95961.04641.20091.41531.06153.00246.00478.49194.24606.0074НЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ (ЭЛЕМЕНТ НЕ ИСПЫТЫВАЕТ СЖАТИЯ)РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯСКРЫТЫХ ФОРМ ПОТЕРИ УСТЙЧИВОСТИ :СКРЫТЫЕ ФОРМЫ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ ОТСУТСТВУЮТ--------------------------------------------------------------------------------------------------Результаты компьютерного и безмашинного расчетов совпадают с точностью до 3 – 4 значащих цифр.3.4.

Расчет рамы на устойчивость с учетом симметрииПервый из основных способов учета симметрии системыоcнован на использовании групповых основных неизвестных,когда осуществляется переход от исходных неизвестных узловых~перемещений Z к новым – групповым – неизвестным Z , частьиз которых представляют собой симметричные обобщенные пе~ремещения Z s , а другая часть – это обратносимметричные(иначе – кососимметричные, антисимметричные) групповые пе~ремещения Z as :~~ ⎡Z ⎤Z = ⎢ ~s ⎥ = η ⋅ Z ,⎣ Z as ⎦где η – квадратная невырожденная ( Det (η ) ≠ 0 ) матрица линей~ного преобразования вектора Z в вектор Z .~После введения групповых неизвестных Z расчет выполняется так же, как с исходными неизвестными: система канонических~уравнений метода перемещений имеет вид r~ ⋅ Z = 0, а уравнениеустойчивости – Det ( ~r ) = 0.49Упрощение расчета состоит в том, что матрица единичныхr~s ,as ⎤реакций⎡ r~~r = ~ss⎢⎣ ras , s ~ras ,as ⎥⎦ ,компоненты которой представляют собой обобщенные (групповые) силовые факторы по направлениям групповых неизвестных~Z , имеет нулевые блоки ~rs ,as = ~rs ,as – матрица симrasT, s = 0 (здесь ~метричных составляющих реакций введенных связей от обратно~симметричных единичных смещений Z as = 1; ~ras , s – матрица обратносимметричных составляющих реакций введенных связей от~симметричных единичных смещений Z s = 1).

Вследствие этого~полная система уравнений ~r ⋅ Z = 0 распадается на независимые~~части ~rss ⋅ Z s = 0 и ~ras ,as ⋅ Z as = 0 , первая из которых описываетсимметричные формы потери устойчивости, а вторая – обратносимметричные. Вследствие этого уравнение устойчивости~r 0Det ( ~r ) = ss ~0 ras , as= 0 также распадается на два независимых –Det ( ~rss ) = 0 и Det ( r~as ,as ) = 0 , дающих два значения критическогопараметра нагрузки – Fcr , s и Fcr ,as для симметричной и обратносимметричной форм соответственно.FFEI1EI2hFFEI1hEI1EI1EI2lEI2EI2l/2l/2Рис.

3.950lДля рамной системы, обладающей симметрией геометрии,структуры, упругих свойств и нагрузок, схема которой приведена на рис. 3.9, основная система с негрупповыми неизвестнымиZ = [ Z1 . . . Z6 ]T представлена на рис. 3.10, а, а с групповыми не~~~ ~ ~~ ~ ~известными Z s = [ Z 1 Z 2 Z 3 ]T и Z as = [ Z 4 Z 5 Z 6 ]T – на рис. 3.10, б.а)Z2Z1FFF~~ Z5Z2Z3Z5F Z6~~ Z4Z1Z4~Z6б)FF~Z3FF~Z5~Z2~Z4~Z1Рис. 3.10Отметим, что основная система совершенная (локальныеформы потери устойчивости невозможны).Матрица преобразования имеет вид⎡⎢η = ⎢⎢⎢⎢⎣0,5000,50000 − 0,5 00,5 − 0,5 0000 0100 0,5 00,5 0,5 0000 000⎤0⎥0⎥.0⎥0⎥1 ⎥⎦На рис.

3.11 показаны два из шести единичных состоянийосновной системы – одно симметричное и одно обратносимметричное, а также соответствующие эпюры изгибающих моментов.Эпюры криволинейны только на вертикальных сжатоизогнутых элементах, а в пределах горизонтальных стержней, гдеN 0j = 0 , эпюры линейные. Особенностью единичных состоянийявляется то, что реакции по направлениям групповых неизвестных – это обобщенные силы (в рассматриваемом случае – пары51F~r22r~21 / 2~r31FF~r~r56256 // 255F~~r21 / 2F r22F~r11 / 2~r11 / 2r~4644 / 2k=12i2ϕ 3 (ν )3i14i2ϕ 2 ( 2ν )М144ii22ϕϕ23 ((νν))2 22i1FF~r55/25656 /~r~/2r464446 / 2k=66i2h2i2ϕ 3 (ν )~r66ϕ 4 (ν )М63i14i2ϕ 2 (ν2ν) )6i2hϕ 4 (ν )2i2ϕ 3 ( 2ν )Рис. 3.11моментов ~rik /2 ).