Себешев В.Г. - Расчёт стержневых систем на устойчивость методом перемещений (1061802), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Истинное значение критической нагрузки Fcr длярассчитываемой системы отыскивается какFcr = min ( F cr , Fcr* ,1 ,…, Fcr* , j ,…, Fcr* , ml )(1.20)(здесь ml – число стержней, потенциально опасных по локальнойпотере устойчивости; иногда ml может совпадать с общим числомэлементов – например, для фермы при основной системе без избыточных связей).Таким образом, при использовании несовершенной основнойсистемы:Fcr = min ( F cr , min Fcr* , j ); νcr = min (ν cr , min ν *j / ψ j ).
(1.21)После отыскания νcr могут быть вычислены коэффициентыνj,cr = ψj νcr для всех сжатых элементов системы, а по ним – коэффициенты приведения длины& стержней μj = π /νj,cr , учитывающие их совместную работу в составе системы, и далее – приведенные дли& ны стержней l0, j = μ j l j .Следует отметить, что найденные бифуркационным расчетом наустойчивость в линейной постановке коэффициенты μj и приведенные(по терминологии СНиП – эффективные, расчетные) дли& ныl0, j являют-ся даже более важными с практической точки зрения результатами, чемзначение критического параметра нагрузки. Объясняется это тем, чтоесли реальное сооружение по конструктивному решению таково, что потеря устойчивости его сопровождается пластическими деформациямилибо имеет место потеря устойчивости второго рода, то вычисленнаякритическая нагрузка Fcr может сильно отличаться от действительной,причем, к сожалению, в сторону завышения.
Но при этом погрешность вопределенииμjиl0, j намногоменьше, и их можно использовать дляпоэлементной проверки устойчивости по нормативной методике с помощью коэффициента продольного изгиба, значения которого в нормахпроектирования строительных конструкций даны с учетом возможностипотери устойчивости за пределом упругости.24В заключение вернемся к приведенной выше двухстороннейоценке области существования критического значения ведущегопараметра 0 <ν cr ≤ 2π как коэффициента продольной силы сжатого однопролетного стержня. Используем обобщенную модельэлемента, работающего в составеcθ ,b jcθ ,e jдеформируемой стержневой системы (рис. 1.6, а).
Влияние на выNjа)c Δ ,b j jcΔ , e jделенный стержень других элементов смоделировано концевыми упругими линейными и углоNjб)выми связями, жесткости которыхcθ ,b j → 0зависят от свойств смежных (а вNjобщем случае и всех остальных)в)cΔ ,b j → 0элементов системы. Предельнымислучаями по условиям закрепления концов, дающими соответРис. 1.6ственно максимальное и мини-мальное значения критической продольной силы, являются:1) самое жесткое – полное защемление обоих концов( cθ , b j = ∞, c Δ , b j = ∞, cθ , e j = ∞, c Δ , e j = ∞) – рис. 1.6, б;2) самое податливое – упругое закрепление одного из концов(рис. 1.6, в) с исчезающе малыми жесткостями угловой и линейной связей ( cθ , b j → 0, c Δ , b j → 0, cθ , e j = 0, c Δ , e j = 0) .В случае 1 коэффициент приведения длины, как уже упоминалось выше, равен 0,5, тогда соответствующий ν *j = π μ *j == 2π . В случае 2 элемент утрачивает геометрическую неизменяемость и не способен воспринимать нагрузки, поэтому для негоN cr* , j = 0, тогда из (1.19) следует, что l 0*, j = ∞ и ν *j = 0 .
Следовательно, при произвольной комбинации условий закрепленияконцов элемента 0 < ν *j ≤ 2π . Если, как рекомендовано выше,выбирать в качестве ведущего ν0 какой-либо из коэффициентов νjэлементов системы (даже не обязательно наибольший), то очевидно, что для ν0 интервал возможных значений будет также ( 0; 2π ].25Теперь можно дать объяснение целесообразности приниматьν0 = max νj . Дело в том, что если наибольший и наименьший изкоэффициентов νj сильно отличаются, и в качестве ν0 назначеннаименьший коэффициент, то уже на первом же шаге итерационного процесса поиска корня уравнения устойчивости может бытьпропущено искомое значение ν cr .
Корень уравнения все же будет найден, но не наименьший, а относящийся к не имеющейпрактического значения форме потери устойчивости с более высокой (нереализуемой) критической нагрузкой. Например, еслипри max νj / min νj = 15 выбрать ν0 = min νj и назначить шаг итерационной процедуры Δν = 0,5 , то уже при первом отличном отнуля ν0 = 0,5 для max νj будет получено 7,5 >2π – больше верхнего предела возможных значений коэффициента продольной силы,и искомый корень уравнения устойчивости не будет определен.
Вслучае ν0 = max νj риск подобной ошибки минимален.1.4. Определение формы потери у стойчивостиПри известном параметре Fcr все единичные реакции rik могут быть вычислены, но матрица r при этом получается вырожденной, что следует из уравнения (1.15). Поэтому числовые значения основных неизвестных определить невозможно. Физический смысл неопределенности Z состоит в том, что, согласнопредпосылкам линейной теории устойчивости, равновесие системы в закритическом изгибном состоянии считается безразличным, и критическому значению параметра нагрузки Fcr соответствует бесчисленное множество значений характерных перемещений (горизонтальный участок графика на рис. П.3 и П.6 «Приложения», где в качестве Δ может выступать любое из перемещенийZ1,…, Zn ).Форма потери устойчивости выявляется с точностью до неопределенного параметра, то ecть могут быть найдены отношения основных неизвестных.
Для этого канонические уравненияделятся на некоторое Zk ≠ 0, в результате чего получается системауравненийr ⋅ β Z = 0,(1.22)26где βZ =ную:1⋅ Z = [ βZ1 βZ2 … βZi … βZ,k-1 1 βZ,k+1 … βZn ]T –Zkвектор отношений перемещений (по смысловой аналогии ссоответствующей задачей линейной алгебры будем называть βZ собственным вектором перемещений); βZi = Zi / Zk .Поскольку βZk = 1, система (1.22) превращается в неоднород-r ⋅ β Z + rk = 0,(1.23)⎡β Z1 ⎤⎡r11 r12 ... r1, k −1 r1, k +1 ...
r1n ⎤⎡r1k ⎤⎥⎢βZ2 ⎥⎥⎢⎢r ⎥⎢⎢r21 r22 ... r2, k −1 r2, k +1 ... r2 n ⎥⎢ 2k ⎥⎢ M ⎥⎢................................... ⎥⎢M ⎥⎥⎢⎥ ; β Z = ⎢ β Z ,k −1 ⎥ ; rk = ⎢ ⎥ .где r = ⎢[n× ( n −1) ] ⎢r r ... ri1 i 2i , k −1 ri , k +1 ... rin ⎥⎢rik ⎥⎥⎢β⎥⎢Zk,+1⎢M ⎥⎥⎢⎢................................... ⎥⎢ ⎥⎢ M ⎥⎢⎣rn1 rn 2 ... rn , k −1 rn , k +1 ... rnn ⎥⎦⎢⎣rnk ⎥⎦⎥⎢⎢⎣ β Zn ⎥⎦Вектор β Z отличается от βZ отсутствием βZk = 1.Так как уравнений (1.23) на единицу больше, чем неизвестных β Z , то любое из уравнений может быть отброшено, послечего из оставшейся системы (n – 1)-го порядка определяется собственный вектор β Z , компоненты которого позволяют выразитьвсе перемещения Z1,…, Zn через одно из них:Zi = β Zi ⋅ Z k .Если расчет на устойчивость выполнен с использованиемсовершенной основной системы, то по полученному собственному вектору перемещений можно оценить, какая форма потериустойчивости реализуется – общая или местная (в последнем*) С точностью до погрешности расчета.случае отличным от нуля*) будетлишь один компонент вектора βZ , соответствующий тому основному неизвестному, которое описывает выпучивание стержня,локально теряющего устойчивость).27При одновременной местной потере устойчивости нескольких элементов собственный вектор βZ вычислить невозможно,так как перемещения локальных форм независимы.Выявление формы потери устойчивости имеет практическоезначение: ее анализ позволяет принимать обоснованные инженерные решения по внесению эффективных изменений в проектконструкции или существующее сооружение с целью повышенияустойчивости.1.5.
Общий алгоритм расчета стержневых системна устойчивость методом перемещенийБлок-схема алгоритма приведена на рис. 1.7.Составление расчетной схемыВыбор основной системы МПНетИсследование скрытых формF cr = F cr*с определением Fcr , jФормирование системыканонических уравнений М П (1.6)ДаОсновная системасовершенная?*Составление уравненияустойчивости (1.15)Fcr = min ( F cr , F cr , j )j = 1, mи определение его корня ν crНетВычисление F cr (1.16)Fcr= F cr ?ДаВыявление формыпотери устойчивости(определение вектора βZ )Определение μj , l0,j для сжатых элементовKРис. 1.7282. ПРИМЕНЕНИЕ ЭВМ В РАСЧЕТАХСТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ НА УСТОЙЧИВОСТЬПрименение компьютеров в расчетах современных инженерных сооружений дает возможность рассматривать сложные исовершенные расчетные схемы, наиболее детально и точно описывающие поведение реальных конструкций.
Это особенно важно для выполнения исследования устойчивости сооружения, таккак даже в наиболее простой – бифуркационной – постановкеопределение критического параметра воздействия требует решения трансцендентного уравнения устойчивости, сложность которого возрастает «лавинообразно» с усложнением рассматриваемой системы (а в настоящее время уже осознана необходимостьперехода от практикуемых до сих пор упрощенных «поэлементных» расчетов к прямым расчетам на устойчивость систем в целом).
С помощью ЭВМ оказывается возможным выполнять расчет по точному (конечно, в рамках принятых предпосылок) уравнению устойчивости. Правда, решение уравнения отыскиваетсявсе-таки численными (итерационными) методами, но современные компьютеры с многоразрядными процессорами обеспечивают получение результатов, практически не отличающихся отточных даже для весьма сложных систем.Как уже отмечалось во «Введении», наиболее удобен длякомпьютерной реализации расчет на устойчивость методом перемещений. Этот метод – в матричной форме с конечно-элементным представлением рассчитываемой системы – положен в основу программы STELF (Stability of Elastic Frames), разработаннойна кафедре строительной механики НГАСУ (Сибстрин).2.1. Описание и возможности программы STELFВ программу заложен алгоритм расчета на устойчивость,приведенный на рис. 1.7, применительно к стержневым системамс первоначально прямолинейными сжатыми и растянутыми элементами при безызгибной исходной форме равновесия.По введенным пользователем сведениям (подробности – ниже) о выбранной основной системе метода перемещений и ееединичных состояниях автоматически формируется и решаетсяуравнение устойчивости (1.15).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
