Себешев В.Г. - Расчёт стержневых систем на устойчивость методом перемещений (1061802), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В «Приложении» дана таблицаэпюр внутренних силовых факторов Сведения о продольно деформии реакций концевых связей типовых руемом элементе 5-го типа привесжато-изогнутых элементов основной дены в п. 2.1.системы метода перемещений от смещений концевых сечений.Все эпюры изгибающих моментов и поперечных сил имеют криволинейное очертание.
Характерные ординаты эпюр выраженычерез специальные функции ϕ1(νj ), ϕ2(νj ) и т. д., аргументом которых является коэффициент продольной силы данного элементаν j = lj− NjEI j,(1.10)j – номер элемента; lj – длина стержня; EIj – жесткостьпоперечного сечения при изгибе; Nj – продольная сила(положительная – растягивающая).Специальные функции характеризуют влияние продольнойсилы на распределение внутренних усилий М и Q. Легко заметить, что постоянные множители в выражениях характерных ординат эпюр для сжато-изогнутых элементов точно такие же, как встандартных эпюрах метода перемещений при расчетах на прочность.
Если элемент не испытывает сжатия или растяжения отзаданной нагрузки ( Nj = 0), то νj = 0, при этом ϕ1(0) = ϕ2(0) =…== η3(0) = 1, и эпюры, приведенные в табл. 1 «Приложения», вырождаются в прямолинейные, фигурирующие в расчетах на прочность.Обратим внимание на то, что в матрицах жесткости элементов 1-го, 2-го и 4-го типов (табл.
1) в качестве концевых усилий,соответствующих концевым смещениям, перепендикулярным кпродольной оси стержня в исходном состоянии, выступают реакции концевых связей (в общем случае они не равны концевым погде13перечным силам – это следствие расчета по деформированномусостоянию; указанные силы совпадают, только если концевоесечение не поворачивается).Аналитические выражения функций ϕ1(ν ), ϕ2(ν ) и др., данные в «Приложении», получены с учётом только деформаций изгиба при условии постоянства сечения элемента – для этого использовано решение методом начальных параметров дифференциального уравнения продольно-поперечного изгиба первоначально прямолинейного сжатого стержня.
Если нужно учестьвлияние деформации сдвига, то вместо изгибной жесткости сечения элемента EIj в расчет вводится приведенная жесткость при~изгибе со сдвигом EI j = EI j (1 + γ~ j N j ) , где γ~ j – «единичный»сдвиг (обобщенный угол сдвига на уровне продольной оси j-гостержня от поперечной силы Qj = 1). В отличие от EIj , являющей~ся характеристикой только самого элемента, EI j зависит также отпродольной силы в стержне и, следовательно, в конечном счете –от заданной нагрузки. Это вызывает некоторое усложнение расчета – подробнее об этом сказано в [ 9 ].Заметим, что при растягивающей продольной силе тригонометрические функции в выражениях ϕ1(ν ), ϕ2(ν ) и др.
должныбыть заменены одноименными гиперболическими функциями(это дает возможность отказаться еще от одной рабочей гипотезыметода – см. п. 1.1).Определяя реакции rik статическим способом, все уравненияравновесия следует записывать обязательно для деформированного состояния системы , с учетом перемещений, вызванных единичными смещениями связей, и заданных узловых нагрузок. При этом нужно иметь в виду особенность поведения шарнирно закрепленного по концам сжатого стержня (элемента 4-готипа): при взаимном смещении концов элемента по нормали к егооси он не испытывает изгиба, но возникают реакции, перпендикулярные к направлению оси стержня в исходном состоянии (см.«Приложение»).Очевидно, что реакции rik в общем случае являются функциями с аргументами ν1 , ν2 ,…,νm , поскольку представляют собойлинейные комбинации специальных функций указанных аргу-14ментов.
Но коэффициенты νj не являются независимыми – их отношения выражаются через отношения длин, жесткостей сеченийи продольных сил, известных из исходных данных:l j N j EI jlνj== j ⋅ν j +1 l j +1 N j +1 EI j +1 l j +1ξ j EI j +1⋅.ξ j +1 EI j(1.11)Следовательно, все νj могут быть выражены через один общий (ведущий) параметр ν0 :νj = ψj ⋅ν 0 ( j = 1, m ),(1.12)причем числовые коэффициенты ψj вычисляются по формулеψj =ljld⋅ξ j EI d⋅,ξ d EI j(1.13)где d – номер элемента, принятого за «ведущий».В качестве ведущего параметра ν0 целесообразно приниматьнаибольший из коэффициентов νj :ν0 = max νj = νd = ldξd FEI d(1.14)(объяснение этой рекомендации будет дано позднее).С учетом (1.12) любую реакцию rik можно представить какфункцию одного аргумента ν0 , а поскольку ν0 зависит от параметра нагрузки F , то в конечном счете F входит в матрицу внешней жесткости как одна из характеристик рассчитываемой системы (т.е.
параметрически, как уже отмечалось выше).1.3. Уравнение у стойчивостии определение критического параметра нагрузкиВозможны два решения системы (1.6):1) Z ≠ 0 – нетривиальное ; 2) Z = 0 – тривиальное .Нетривиальное решение, когда все или хотя бы часть компонентов вектора узловых перемещений Z ненулевые, описываетизгибную форму равновесия (по сути, неравенство Z ≠ 0 выражает условие существования альтернативной формы равновесия, качественно отличной от исходной).15Если основная система получена введением только минимально необходимых связей *), то нетривиальное решение характеризует общу ю потерю у стойчивости , признаком которойявляется одновременное взаимоза- *) Здесь и далее термин «необходимыевисимое искривление нескольких связи» относится к связям, вводимымобеспечения кинематической опре(двух и более) или всех элементов.
дляделимости основной системы только вЕсли же число введенных связей в «естественные» расчетные узлы, безназначения дополнительных узлов восновной системе превышает ми- произвольных сечениях элементов.нимально необходимое, то нетривиальное решение может описывать либо общую потерю устойчивости (в случае, когда отличны от нуля перемещения по направлениям необходимых связей), либо местную (локальную)потерю устойчивости какого-либо элемента в отдельности(при этом не равны нулю перемещения по направлению избыточных, т.е. введенных сверх необходимых, связей, а перемещенияузлов заданной системы нулевые).
Заметим, что возможна местная потеря устойчивости одновременно нескольких стержней, но,в отличие от общей потери устойчивости, искривления элементовпри этом будут независимыми. Математически это выражается внеопределенности отношения соответствующих перемещений.Условием получения отличного от нуля решения системылинейных однородных алгебраических уравнений, как известно,является обращение в нуль определителя, составленного из коэффициентов при неизвестных:r11 r12 ... r1k ... r1nr21 r22 ... r2 k ... r2 nDet (r ) = .............................
= 0.ri1 ri 2 ... rik ... rin.............................rn1 rn 2 ... rnk ... rnn(1.15)Равенство (1.15), называемое уравнением устойчивости ,выражает условие существования изгибной (альтернативной поотношению к исходной) формы равновесия системы. С математической точки зрения (1.15) является характеристическимуравнением задачи. Анализ уравнения и способов его решениябудет дан ниже.16Нужно уточнить, что общепринятый термин «уравнение устойчивости» несогласуется с физическим смыслом характеризуемого им явления, так как этоуравнение отнюдь не описывает условия, выполнение которых обеспечиваетустойчивость равновесия системы. Напротив, оно обусловливает возможностьсуществования новых (как минимум одного) равновесных состояний послетого, как исходная форма равновесия становится неустойчивой. Следовательно, правильнее было бы название уравнение потери устойчивости илиуравнение бифуркации.
В дальнейшем указанный термин будет использоваться с учетом сделанной оговорки.С помощью уравнения устойчивости находится критическийпараметр нагрузки, а затем определяется новая форма равновесиясистемы (о ней принято говорить также как о форме потериустойчивости ).
Форма потери устойчивости, выявляемая нетривиальным решением задачи, называется явной .Тривиальное решение Z = 0 относится к такой форме равновесия системы, которая характеризуется отсутствием перемещений узлов. Первое и наиболее очевидное физическое истолкование тривиального решения: оно описывает исходную безызгибную форму равновесия системы. Этот случай не представляетинтереса с точки зрения расчета на устойчивость.
Но есть и второе объяснение, справедливое для ряда систем: тривиальному решению отвечает некоторая особая форма потери устойчивости.F1а)KEBAF2 б) Z2Z1LCDF1F2MKB = MBKKEBMAF2F1ALZ4Z3CDKB MBKF1 г)в)HLF2CHCDMCLF2д)F2Рис. 1.3Например, если для расчета системы, представленной на рис. 1.3,а, выбрать основную систему только с необходимыми связями(рис. 1.3, б), то возможное искривление стоек нижнего этажа неподдается описанию с помощью выбранных основных неизвестных Z1,…, Z4.17Если локальная потеря устойчивости стержней реализуетсяраньше общей (при меньшем значении параметра нагрузки), например, при «слабых» – очень гибких – стойках нижнего этажа(см. рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
