Себешев В.Г. - Расчёт стержневых систем на устойчивость методом перемещений (1061802), страница 12
Текст из файла (страница 12)
И далее, переходя на микроуровень,возможно и текучесть пластического материала, и разрушение описать с позицийустойчивости равновесия между силовыми воздействиями на материал и внутренними силами взаимодействия между его материальными частицами. Понятно,что это требует совсем иной – более «тонкой» – детализации расчетных моделей.Заметим также, что при углубленном подходе удается выявить дополнительные общие черты явлений потери устойчивости 1-го и 2-го рода, кроме тех принципиальных, которые были указаны выше. Определенное сходство математических процедур отыскания критических параметров воздействий в задачах этихдвух типов дает основание считать, что и потерю устойчивости второго рода можно трактовать с позиций бифуркации, исходя из возможности возникновения внеидеальных системах смежных форм равновесия (правда, не обладающих качественными отличиями от исходной формы).Этот комментарий приведен для того, чтобы обратить внимание читателя нанеобходимость более широкого взгляда на проблему устойчивости деформируемых систем.
Добавим, что кроме устойчивости равновесия сооружений, практическое значение имеет и устойчивость их движения (динамическая устойчивость),например при аэродинамических колебаниях высотных объектов и большепролетных мостов, но это – предмет особого изучения.Содержательное и глубокое изложение принципиальных вопросов теории устойчивости сооружений дано в учебнике [ 5 ].73Далее приводятся некоторые дополнительные сведения – в расчете на тех читателей,которые, осваивая начала теории устойчивости деформируемых систем, заинтересованы вболее глубоком, чем это предусмотрено учебными программами, ее понимании. Акцент сделанна роли различных видов нелинейностей в исследовании устойчивости, так как с этим связаноистолкование целого ряда специфических явлений и понятий – таких, как устойчивость «вбольшом» и «в малом», энергетические «барьер» и «яма», потеря устойчивости при фиксированной нагрузке и в условиях продолжающегося загружения (теории приведенно-модульнойнагрузки Ф.
Энгессера – Т. Кармана и касательно-модульной нагрузки Ф. Шенли) и др. Систематически и подробно обо всем этом сказано, в частности, в книге:Филин А.П. Прикладная механика твердого деформируемого тела.Сопротивление материалов с элементами теории сплошных среди строительной механики.
Т. III. – М.: Наука. Главная редакцияфизико-математической литературы, 1981. – 480 с.Строгое решение задачи исследования устойчивости сооружения в общем случае требует учета всех видов нелинейностей –конструктивной, физической и геометрической.Конструктивная нелиКонструктивная нелинейность обусловленанейность не случайно на- изменением расчетной схемы сооружения в прозвана первой – ее учет в цессе его деформации:а) структурными изменениями – включением илирасчетах на устойчивость выключением связей, изменением их положения;обязателен , так как, в б) изменением координат точек сооружения за счетперемещений, если необходимо выполнятьсоответствии с принципом ихрасчет «по деформированной схеме».малых возмущений, всеОбщим признаком конструктивной нелинейностиуравнения должны записы- является то, что при записи уравнений равновесияучитываются перемещения.
Перемещения могутваться для отклоненного либо непосредственно входить в статические уравсостояния, то есть «по де- нения (случай расчета по деформированной схеме),либо описывать условия, учитываемые при записиформированной схеме».этих уравнений (изменения связей).Это относится к задаЗаметим, что встречающееся иногда истолковачам устойчивости и 1-го, ние расчета по деформированной схеме как учетгеометрической нелинейности о ш и б о ч н о .и 2-го рода.Математическое описание явления потери устойчивости второго рода значительно сложнее, чем в случае бифуркации.Большие трудности создает учет физической и геометрическойнелинейностей.Если при аналитическом исследовании системы типа рамы,представленной на рис. П.4, а, пренебречь физической нелинейностью, то будет получен график, принципиально отличный отистинного (показанного на рис.
П.5 сплошной линией А0А2С ) –он не будет иметь нисходящей ветви; причем в случае учета гео-74FC’’xA2 x xA0Fult0АсимптотаC’CFaΔРис. П.5метрической нелинейности (при использовании точного выражения кривизны ρ z ) получается монотонно восходящий графикА0С’’ (штриховая линия на рис. П.5), не имеющий предельнойточки даже при больших перемещениях, следовательно, при таком решении задачи определить Fult не удается. В случае расчетав геометрически линейной постановке (по приближенной формуле для ρ z ) график зависимости F ~ Δ (пунктирная кривая А0С’)асимптотически стремится к горизонтали (F → Fa при Δ → ∞ ),и формально можно считать, что Fult0 = Fa .
Парадокс: более «грубое» (и, соответственно, простое) решение дает лучшее приближение к искомому Fult.Расхождение между Fa и FultFуменьшается с уменьшениемнесовершенств (на рис. П.6xA1 xC’штриховой линией показан график, отвечающий меньшим знаxчениям f0 и е0 ). В пределе приA2 x xf0 → 0 и е0 → 0 кривая ОА2СFcrCFultвырождается в ломаную ОА1С’.Приведенные выше сообраΔжения позволяют вместо слож0ной задачи определения критиРис. П.6ческой нагрузки второго рода Fultсформулировать и решить более простую бифуркационную задачу. Это упрощение достигается ценой потери точности, и полученное значение Fcr следует рассматривать как оценку сверху дляпредельной нагрузки Fult (см.
рис. П.6). При этом принципиально75возможно учесть в бифуркационном решении физическую нелинейность, хотя это существенно усложняет расчет. Однако чащевсего применяют линейную теорию устойчивости.Все рассмотренные варианты графиков демонстрируют нелинейность зависимостей F ~ Δ – от более сложных при учетеполного комплекса нелинейностей для неидеальных систем допростейших – билинейных (ОА1С и ОА1С’ на рис. П.3 и П.6).Подчеркнем, что последние, хотя и относятся к линейной теории,отражают конструктивную нелинейность – единственную обязательно учитываемую в теории устойчивости сооружений.Следует отметить, что определение напряженно-деформированного состояния неидеализированной системы при нагрузках,меньших, чем предельная, то есть в докритической стадии (участок ОА2 на рис.
П.6), может представлять самостоятельныйпрактический интерес. Для этого выполняется расчет системы подеформированному состоянию, но, как правило, без учета геометрической нелинейности. Подробнее об этом можно узнать из [ 8 ].7677Продолжение таблицы 1В и дс м е щ е н и яПоворот концевого сеченияна угол θВзаимное линейное смещениеконцевых сечений ΔljNj4-го типаEIj = сonstNjbjNjejlji j θ ν j tgν jMi jθi jθν 2jlj[ ]− NjEI jϕ 3 (ν j ) =l j cosν jQa( j ) = θ b j ;ν j = ljν 2j[K j = i j − ν j tgν j; ϕ 1 (ν j ) =3( tgν j − ν j )ν j (ν j − sin ν j )⎛ νj4 sin ν j ⎜ tg⎝η1 (ν j ) =2−νj ⎞ν 3j3( tgν j − ν j );ij ΔΔ be ,( j )lij Δbjν 2jl 2j; ϕ 2 (ν j ) =K j = i j ⎢−⎣⎛ νj⎝3 2νj2−νj ⎞η 3 (ν j ) = ϕ 4 (ν j )⎝2⎤⎥⎦−⎛ν j ⎞⎟;⎝2⎠= ϕ1 ⎜⎟2 ⎠νj⎛ νjl2j⎛ νj νj ⎞8 tgν j ⎜ tg−⎟⎝ 2 2⎠ν 2j tg24 ⎜ tgν 2jν j ( tgν j − ν j )12 ⎜ tgη 2 (ν j ) =ve jej⎡a ( j ) = [ Δ be ,( j ) ] ;ϕ 4 (ν j ) =78NjM=0Q=02jΔ be ,( j ) = v b j + v e j⎟2 ⎠;ν 2jvb j]ν 2j tgν jbj (ej ) EIj = сonstej (bj ) ΔЭлементЭлемент3-го типаθνj ⎞⎟2 ⎠⎛ν j ⎞⎟;⎝2⎠= η1 ⎜;Таблица 2Значения специальных функций метода перемещенийдля сжато-изогнутых стержнейνϕ1(ν)ϕ2(ν)ϕ3(ν)ϕ4(ν)η1(ν)η2(ν)ν tgν0,000,100,200,300,400,500,600,700,800,901,001,101,201,301,401,50π/21,601,701,801,902,002,042,082,122,162,202,242,282,322,361,00000,99930,99730,99400,98930,98320,97570,96690,95650,94470,93130,91640,89980,88140,86130,83930,82250,81520,78910,76060,72970,69610,68190,66730,65210,63640,62020,60340,586I0,56810,54961,00000,99970,99870,99700,99470,99160,98790,98360,97850,97270,96620,95900,95110,94240,93290,92270,91500,91160,89980,88710,87350,85900,85300,84680,84040,83390,82730,82040,81340,80630,79901,00001,00021,00071,00151,00271,00421,00611,00831,01091,01381,01721,02091,02511,02971,03481,04031,04451,04631,05291,06001,06761,07601,07951,08311,08681,09071,09461,09871,10301,10731,11181,00000,99980,99930,99850,99730,99580,99400,99180,98930,98640,98320,97970,97570,97150,96690,96190,95810,95650,95080,94470,93820,93130,92850,925б0,92260,91950,91640,91320,90990,90660,90321,00000,99600,98400,96400,93600,89990,85570,80350,74320,67470,59800,51310,41980,31810,20800,08930,0000-0,0381-0,1743-0,3194-0,4736-0,6372-0 7053-0,7749-0,8461-0,9188-0,9931-1,0691-1,1467-1,2260-1,30691,00000,99900,99600,99100,98400,97500,96400,95100,93600,91890,89990,87860,85570,83070,80350,77440,75250,74320,71000,67470,63740,59800,58170,56500,54800,53070,51310,49510,47670,45810,43910,00000,01000,04050,09280,16910,27320,41050,58960,82371,13411,55742,16123,08664,68278,117021,152±∞-54,772-13,084-7,7153-5,56I5-4,3701-4,0240-3,7255-3,4640-3,2316-3,0224-2,8320-2,6569-2,4943-2,342179νϕ1(ν)ϕ2(ν)ϕ3(ν)ϕ4(ν)η1(ν)η2(ν)ν tgν2,402,442,482,522,562,602,642,682,722,762,802,842,882,922,963,003,043,083,12π3,163,203,243,283,323,363,403,443,483,523,563,603,643,683,720,53040,51050,48990,46850,44640,42340,39960,37480,34910,32230,29440,26540,23520,20360,17060,13610,10000,06210,02230,0000-0,0195-0,0635-0,1100-0,1591-0,2110-0,2662-0,3248-0,3873-0,4542-0,5259-0,6030-0,6862-0,7764-0,8746-0,98190,79150,78380,77600,76790,75970,75130,74270,73390,72490,71580,70640,69670,68690,67690,66660,65600,64530,63430,62300,61690,61150,59970,58770,57530,56270,54980,53660,52300,50910,49490,48040,46550,45020,43450,41841,11641,12121,12611,13111,13631,14171,14731,15301,15891,16501,17121,17771,18441,19131,19841,20571,21331,22111,22921,23371,23761,24621,25511,26441,27391,28381,29401,30461,31561,32691,33671,35091,36351,37661,39020,89980,89630,89270,88900,88530,88140,87760,87360,86960,86550,86130,85710,85270,84830,84380,83930,83450,82990,82510,82250,82020,81520,81020,80500,79980,79450,78910,78350,77790,77230,70650,76060,75460,74850,7424-1,3896-1,4740-1,5603-1,6483-1,7381-1,8299-1,9236-2,0193-8,1171-2,2169-2,3189-2,4231-2,5296-2,6386-2,7499-2,8639-2,9806-3,1001-3,2225-3,2899-3,3480-3,4769-3,6092-3,7452-3,8852-4,0294-4,1781-4,3319-4,4910-4,6560-4,8275-5,0062-5,1930-5,3887-5,59470,41980,40010,38010,35980,33910,31810,29680,27510,25310,23070,20800,18490,16150,13780,11370,08930,06450,03940,01390,0000-0,0119-0,0381-0,0646-0,0915-0,1187-0,1468-0,1743-0,2026-0,2313-0,2603-0,2897-0,3194-0,3495-0,3800-0,4108-2,1984-2,0618-1,9311-1,8051-1,6831-1,5642-1,4477-1,3331-1,2199-1,1075-0,9955-0,9835-0,7711-0,6579-0,5435-0,4276-0,3099-0,1899-0,06740,00000,05820,18710,31990,45690,59870,74570,89671,05811,22481,39941,58301,77651,98102,19792,428880νϕ1(ν)ϕ2(ν)ϕ3(ν)ϕ4(ν)η1(ν)η2(ν)ν tgν3,763,803,843,883,923,964,004,044,084,124,164,204,224,244,264,284,304,324,344,364,384,404,424,444,464,484,504,524,544,564,584,604,624,644,66-1,0999-1,2303-1,3754-1,5379-1,7216-1,9311-2,1726-2,4546-2,7887-3,1916-3,6878-4,3156-4,6968-5,1370-5,6514-6,2609-6,9947-7,8961-9,0304-10,502-12,490-15,327-19,704-27,353-44,150-111,02227,9356,98332,79423,12917,92414,66912,44010,8169,57930,40190,38500,36760,34980,33150,31260,29330,27340,25290,23180,21010,18780,17630,16470,15290,14090,12870,11640,10380,09100,07800,06480,05140,03770,02380,0096-0,0048-0,0194-0,0344-0,0496-0,0651-0,0809-0,0969-0,1134-0,13011,44041,41911,43441,45021,46681,48401,50191,52051,54001,56031,58151,60371,61511,62691,63881,65111,66361,67651,68961,70311,71681,73101,74541,76021,77541,79101,80701,82341,84021,85741,87511,89331,91201,93121,95090,73610,72970,72320,71660,70990,70310,69610,68910,68190,67470,66730,65970,65590,65210,64820,64430,64040,63640,63240,62840,62430,62020,61600,61190,60770,60340,59910,59480,59050,58610,58170,57720,57270,56810,5636-5,8124-6,0436-6,2906-6,5561-6,8437-7,1583-7,5060-7,8952-8,3375-8,8497-9,4564-10,196-10,633-11,130-11,701-12,367-13,158-14,116-15,308-16,839-18,885-21,780-26,216-33,925-50,781-117,72221,1850,17325,92316,19810,9327,61605,32493,63922,3408-0,4420-0,4736-0,5056-0,5379-0,5706-0,6037-0,6372-0,6710-0,7053-0,7399-0,7749-0,8103-0,8281-0,8461-0,8641-0,8822-0,9005-0,9188-0,9372-0,9558-0,9744-0,9931-1,0120-1,0309-1,0500-1,0691-1,0884-1,1077-1,1272-1,1467-1,1664-1,1861-1,2060-1,2260-1,24612,67532,93953,22393,53153,86564,23054,63135,07445,56786,12166,74897,46677,86648,29798,76539,27389,829110,43911,11111,85612,68813,62414,68415,89517,29418,93020,86823,20426,07429,69134,39340,75749,86463,98688,86981νϕ1(ν)ϕ2(ν)ϕ3(ν)ϕ4(ν)η1(ν)η2(ν)ν tgν4,684,703π/24,724,744,764,784,804,824,844,864,884,904,924,944,964,985,005,045,085,125,165,205,245,285,325,365,405,445,485,525,565,605,645,688,60577,81867,40227,16866,62236,15635,75385,40235,09254,81714,57044,34804,14633,96233,79373,63843,49483,36153,12112,90972,72152,55232,39862,25802,12822,00751,89461,78841,68771,59181,50011,41181,32661,24381,1631-0,1471-0,1645-0,1755-0,1823-0,2005-0,2190-0,2379-0,2572-0,2770-0,2972-0,3179-0,3390-0,3607-0,3828-0,4056-0,4288-0,4527-0,4772-0,5281-0,5818-0,6387-0,6989-0,7629-0,8311-0,9039-0,9819-1,0658-1,1563-1,2544-1,3611-1,4779-1,6062-1,7481-1,9061-2,08331,97111,99202,00522,01342,03552,05822,08152,10562,13042,15602,18232,20952,23752,26652,29642,32732,35922,39232,46182,53642,61652,70282,79602,89693,00653,12573,25603,39893,55603,72973,92264,13794,37944,65234,96280,55890,55430,55140,54960,54490,54010,53520,53040,52550,52050,51550,51050,50540,50030,49510,48990,48460,47930,46850,45760,44640,43500,42340,41160,39960,38730,37480,36210,34910,33580,32230,30850,29440,28010,26541,30490,45530,0000-0,2575-0,8669-1,3962-1,8624-2,2777-2,6516-2,9915-3,3028-3,5901-3,8570-4,1065-4,3408-4,5621-4,7720-4,9719-5,3461-5,6925-6,0166-6,3229-6,6147-6,8946-7,1646-7,4266-7,68I9-7,9316-8,1768-8,4183-8,6567-8,8927-9,1268-9,3594-9,5910-1,2663-1,2865-1,2992-1,3069-1,3274-1,3481-1,3668-1,3896-1,4106-1,4316-1,4528-1,4740-1,4954-1,5169-1,5385-1,5603-1,5821-1,6040-1,6483-1,6930-1,7381-1,7838-1,8299-1,8765-1,9236-1,9712-2,0193-2,0679-2,1171-2,1667-2,2169-2,2676-2,3189-2,3707-2,4231144,44379,3582±∞-620,14-171,63-99,901-70,591-54,647-44,618-37,722-32,685-28,842-25,811-23,357-21,328-19,620-18,163-16903-14,830-13,191-11,858-10,748-9,8053-8,9924-8,2810-7,6506-7,0858-6,5747-6,1081-5,6785-5,2801-4,9079-4,5581-4,2272-3,9125νϕ1(ν)ϕ2(ν)ϕ3(ν)ϕ4(ν)η1(ν)η2(ν)ν tgν5,725,765,805,845,885,925,966,006,026,046,066,086,106,126,146,166,186,206,226,246,266,282π1,08421,00660,93020,85460,77950,70470,63000,55510,51750,47980,44190,40390,36560,32710,28830,24920,20980,17000,12990,08930,04820,00670,0000-2,2838-2,5129-2,7777-3,0876-3,4560-3,9022-4,4550-5,1594-5,5900-6,0900-6,6780-7,3801-8,2336-9,2941-16,648-12,439-14,920-18,590-24,578-36,101-67,488-492,895,31905,73136,21396,78587,47368,31629,370610,72711,56212,53513,68415,06016,73918,83221,51225,06429,99837,30849,25372,269135,01985,780,25040,23520,21950,20360,18730,17060,15350,13610,12720,11820,10910,10000,09070,08120,07170,06210,05230,04240,03240,02230,01210,00170,0000-9,8219-10,053-10,283-10,514-10,745-10,977-11,210-11,445-11,563-11,681-11,799-11,918-12,038-12,158-12,278-12,399-12,521-12,643-12,766-12,890-13,014-13,140-13,159-2,4761-2,5296-2,5838-2,6386-2,6939-2,7499-2,8066-2,8639-2,8928-2,9219-2,9512-2,9806-3,0102-3,0400-3,0699-3,1001-3,1304-3,1609-3,1916-3,2225-3,2536-3,2849-3,2899-3,6116-3,3224-3,0431-2,7721-2,5081-2,2499-1,9962-1,7460-1,6220-1,4985-1,3754-1,2527-1,1301-1,0077-0,8852-0,7627-0,6400-0,5169-0,3935-0,2696-0,1452-0,02000,0000−∞+∞83Учебное электронное изданиеВладимир Григорьевич СебешевРАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ НА УСТОЙЧИВОСТЬМЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙРедактор А.В.
ТренинаПодписано к выпуску 20.09.2004 г.Гарнитура Таймс.Объем 4,8 уч.-изд.л.; 3 Mb, 1 опт. компакт-диск (CD-ROM).Тираж 50 экз.Новосибирский государственныйархитектурно-строительный университет (Сибстрин)630008, Новосибирск, ул. Ленинградская, 113uungas@sibstrin.ruhttp://www.sibstrin.ru84.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
