Себешев В.Г. - Расчёт стержневых систем на устойчивость методом перемещений, страница 2

сохраняющие первоначальное « м е р т в ы м и » , см. например:Болотин В.В. Неконсервативные задачинаправление при отклонениях си- теории упругой устойчивости / В.В. Болотин. – М.: Физматгиз, 1961. – 340 с.стемы от исходного равновесногосостояния. Нагружение – простое (пропорциональное), при котором все нагрузки задаются с точностью до общего параметра F:Ft = αt F, t = 1,2,…, u ( αt – известные числовые коэффициенты,u – число узловых нагрузок), следовательно, в любой момент нагружения, вплоть до критического состояния (0 < F ≤ Fcr), отношение нагрузок остается неизменным: F1 : F2 : … : Ft : … : Fu == α1 : α2 : … : αt : … : αu. Значения коэффициентов α1, α2 , … , αuтаковы, что в исходном состоянии стержни не испытывают изгиба и кручения – имеет место лишь осевое сжатие или растяжение, причем продольные силы в элементах из условий равновесияузлов выражаются через параметр нагрузки: N 0j = ξ j F , j = 1,2,…,m (m – число стержней, ξ1, ξ2,…, ξm – числовые коэффициенты,определяемые как линейные комбинации известных коэффициентов α1, α2,…, αu ).Если состояние реальной системы при заданных нагрузкахне является безмоментным, как, например, в раме (рис.

1.1, а), тодля перехода к идеализированным нагрузкам выполняется обычный расчет системы (результат – эпюры М и N, представленныена рис. 1.1, б, в), после чего в узлы рамы прикладываются сосреа)б)в)F1 г) F1qFhEI1MCMCql /23MC /(2h)F2Fa1EI2 EI2MMC /2lMC=ql6FF2a2NMC /22F⎛ EI h ⎞⋅ ⎜⎜ 2 + 1 ⋅ ⎟⎟⎝ EI 2 l ⎠Рис.

1.17ql /2+FF1 = ql /2F2 = 3MC /(2h)доточенные силы, равные найденным продольным силам встержнях, примыкающих к соответствующим узлам (рис. 1.1, г).Направления узловых нагрузок назначаются согласно знакампродольных сил. Соотношение q и F должно быть известно, тогдаопределению подлежит критическое значение одного из них – qcrили Fcr . Заметим, что точки а1 и а2 , где приложены силы F, следует включить в число расчетных узлов при формировании основной системы метода перемещений.Допущения 3 и 4 – обычные для метода перемещений. Также как в расчетах на прочность, они вносят весьма малые погрешности в результаты исследования устойчивости, обеспечиваяв то же время значительное упрощение решения задачи.

Введение условия l ′j ≈ lj означает пренебрежение сближением концовизгибаемого стержня как величиной столь же малой в сравнениис прогибами, как прогибы по отношению к длине стержня.Рабочие гипотезы 5 и 6 не носят принципиального характера– следствием их является некоторое упрощение математическойстороны решения. При необходимости от них отказываются (например, в тех случаях, когда нельзя пренебрегать деформациейсдвига – для элементов сквозного сечения, тонкостенных или изготовленных из материалов с низким модулем сдвига; или приналичии в системе растянутых стержней целесообразно учесть ихблагоприятное влияние на устойчивость сооружения). Отказ отэтих предпосылок не изменяет, в основном, ни последовательности расчета, ни структуры основных уравнений.Самыми сильными из всех допущений являются первые два,представляющие собой общие предпосылки линейной теорииустойчивости .

Свойства, которыми они наделяют расчетнуюсхему, могут заметно отличаться от свойств реального сооружения. Но зато радикально упрощается процедура расчета, которыйвыполняется в бифуркационной постановке.В заключение отметим, что из всех допущений только отрицание сближения концов стержня при его изгибе и требованиеузлового загружения являются специфическими для решения задач устойчивости методом перемещений.81.2.

Основная система и канонические уравненияметода перемещений в расчетах на устойчивостьДля отыскания критического состояния системы, исходноеравновесие которой обозначено штриховыми линиями на рис.1.2, а, в соответствии с принципом малых возмущений задаетсяотклонение некоторым малым воздействием (на рис. 1.2, а – силой Т). Возмущенное состояние системы характеризуется искривлением первоначально прямых стержней и возникновением в общем случае поворотов и линейных смещений узлов (рис. 1.2, a).Эти линейные и угловые перемещения узлов принимаются за основные неизвестные в расчете на устойчивость методом перемещений.а)б)ZiF2ZkF1Z1Z2ZiFt = αt F ZkTZn–1FuF2Ft n –1 Zn–1F1FukZ2i2Zn1Z1nZnTРис.

1.2Основная система метода перемещений (ОСМП) получаетсяпутем наложения на узлы заданной системы линейных и угловыхсвязей, устраняющих возможность перемещений узлов (рис. 1.2,б). Полученная таким образом основная система кинематическиопределима и имеет минимально необходимое число введенныхсвязей. Количество связей может быть больше минимально необходимого, если в число основных неизвестных дополнительновключать перемещения некоторых промежуточных сечений элементов.Особенностью основной системы метода перемещений врасчете на устойчивость является то, что связи накладываются на9загруженную систему , когда нагрузка уравновешена силамиупругости исходной формы равновесия – продольными силамиN 0j = ξ j F (j = 1,2,…, m).

Следовательно, введенные связи неучаствуют в восприятии заданных воздействий, и поэтому нагрузка является неотъемлемым компонентом основнойсистемы. В теории устойчивости такую нагрузку называют параметрической, то есть входящей в число параметров, характеризующих рассматриваемую систему, наряду с такими привычнымиисходными данными, как геометрические размеры, жесткостисечений элементов, типы связей.Если введенным связям основной системы задать смещения,равные соответствующим угловым и линейным перемещениямузлов заданной системы в возмущенном состоянии (с учетом Т),то напряженно-деформированные состояния обеих систем окажутся одинаковыми.

При этом реакции введенных связей в основной системе должны быть равны нулю, поскольку в заданнойсистеме эти связи отсутствуют:Ri = 0, i = 1, 2,…, n.(1.1)В процессе перехода системы от первоначальной формыравновесия к новой (изгибной) форме элементы системы испытывают продольно-поперечный изгиб. Продольные силы встержнях остаются при этом практически неизменными, что является следствием одного из принятых выше допущений ( ΔN j <<N 0j ). Из курса сопротивления материалов известно, что сжатоили растянуто-изогнутый элемент, деформируемый в поперечномнаправлении при фиксированной продольной силе, работает каклинейно упругий, если перемещения малы и напряжения в материале не превышают предела пропорциональности.

Для системы,целиком состоящей из линейно деформируемых элементов, справедлив принцип суперпозиции (независимости воздействий), поэтому полная реакция i-ой связи может рассматриваться как суммареакций, возникающих в этой связи от смещений Z1, Z2 ,.., Zn (каждого в отдельности), а также от возмущающего воздействия T :nRi = RiZ + RiT =∑Rk =1ik+ RiT = Ri1 +Ri2 +…+Rik +…+Rin + RiT. (1.2)10Следует обратить внимание на то, что в выражение Ri не вошло слагаемое RiF (реакция i-ой связи от заданной нагрузки), поскольку, как уже отмечалось, введенные связи не участвуют ввосприятии нагрузки при отсутствии смещений узлов. Последнийчлен в (1.2) отражает влияние возмущения Т, роль которого состоит в том, чтобы отклонить систему от исходного равновесия,после чего воздействие Т «снимается», и далее изучается поведение загруженной силами F1 , F2 ,…, Ft ,…, Fu системы уже безфактора Т.

Формально устранение Т описывается как Т = 0, тогдаи RiT = 0.Еще раз используя свойство линейности системы, реакциюRik от перемещения Zk можно записать в следующем виде:Rik = rik Zk ,(1.3)где rik – реакция i-ой связи от единичного смещения k-ой связи(от Zk = 1).Объединяя выражения (1.1), (1.2) и (1.3) и учитывая, чтоRiT = 0, получаем систему канонических уравнений метода перемещений для расчета на устойчивость:n∑rk =1ik Z k= 0,i = 1, 2,…, n.(1.4)или в развернутом виде:r11 Z 1 + r12 Z 2 + ... + r1k Z k + ...

+ r1n Z n = 0, ⎫r21 Z 1 + r22 Z 2 + ... + r2 k Z k + ... + r2 n Z n = 0,⎪⎪........................................................ri1 Z 1 + ri 2 Z 2 + ... + rik Z k + ... + rin Z n = 0, ⎬⎪........................................................rn1 Z 1 + rn12 Z 2 + ... + rnk Z k + ... + rnn Z n = 0. ⎪⎭Матричная форма записи канонических уравнений:r ⋅ Z = 0,⎡r11 r12 ... r1k ...

r1n ⎤⎢r21 r22 ... r2 k ... r2 n ⎥⎢...................... ⎥– матрица внешнейгде r = ⎢ri1 ri 2 ... rik ... rin ⎥( n×n )⎢...................... ⎥ жесткости⎢⎣rn1 rn 2 ... rnk ... rnn ⎥⎦ основной системы;11(1.5)(1.6)⎡Z1 ⎤⎢Z 2 ⎥⎢M ⎥Z = ⎢ ⎥.Zk⎢M ⎥⎢⎣ Z n ⎥⎦Канонические уравнения описывают возмущенное состояниесистемы, качественно альтернативное исходному. Они линейныотносительно основных неизвестных Z и однородны (не имеютсвободных членов) – это следствие использования предпосылоклинейной теории устойчивости.Компоненты rik матрицы внешней жесткости представляютсобой реакции введенных связей в единичных состояниях основной системы (от единичных смещений этих связей).

Для определения rik можно использовать те же способы, что при расчетах напрочность:- статический – с составлением уравнений равновесия узлов иотсеченных частей основной системы;- перемножением эпюр:mNmMiM kNi N krik = ∑ ∫j =1 l jmQ+ ∑ ∫ kτj =1 l jEIds + ∑ ∫Qi QkGAj =1 l jmRds + ∑j =1EAds +R j ,i R j , kCj(1.7),где второй член относится только к элементам типа затяжек,вант и т.п., работающим в основном на растяжение или сжатие;третий позволяет учитывать деформации сдвига (отсюда видно,что от одной из рабочих гипотез метода – см.

п. 1.1 – можно отказаться); последнее слагаемое учитывает влияние упругоподатливых связей системы ( Сj – жесткость j-ой связи);- кинематический – по теореме об определении реакций связейчерез возможную работу WkiK концевых усилий в единичных состояниях:rik = WkiK = aiT ⋅ S k ,(1.8)где ai и Sk – векторы смещений концевых сечений элементови концевых усилий соответственно в i-ом (от Zi = 1) и k-ом (отZk = 1) единичных состояниях основной системы (Sk можно определять через матрицу K внутренней жесткости основной системыи вектор концевых смещений ak в k-ом состоянии: Sk = K ⋅ a k ).Используя матрицы смещений концевых сечений и концевыхусилий во всех единичных состояниях (матрицы a = [а1… ai ... an]12и S0 = K ⋅ a = [S1… Sk…Sn] ), можно вычислять матрицу внешнейжесткости:r = a T ⋅ S0 = a T ⋅ K ⋅ a.(1.9)Способ перемножения эпюр в практических расчетах нерационален из-за трудоемкости вычисления интегралов для элементов, испытывающих изгиб со сжатием, поскольку единичныеэпюры моментов в сжато-изогнутых стержнях описываютсятрансцендентными функциями.