Себешев В.Г. - Расчёт стержневых систем на устойчивость методом перемещений, страница 11

Точка бифуркации А1 в первом случаепринадлежит области устойчивости, а во втором – неустойчивости (области неустойчивости на рисунках отмечены крестиками).Однако, исходя из того, что при небольших отклонениях Δ обаграфика практически горизонтальны, считают, что при F = Fcrначальная форма перестает быть устойчивой, и любое малое возмущение переводит систему в новое – безразличное состояниеравновесия.Далее рассмотрим признаки идеальной системы.Идеальной системой, как следует из ее определения, является такая, для которой можно обнаружить как минимум одну форму равновесия, альтернативную исходной, с качественно инымистатическими и кинематическими характеристиками (видом деформированного состояния). Очевидно, что при этом должныучитываться одновременно и структурно-геометрические характеристики системы (в том числе жесткостные), и воздействия нанее.Например, если плоская стержневая система произвольнозагружена в своей плоскости, то ее элементы изначально находятся в условиях сжатия (растяжения) с изгибом, т.е.

имеет местообщий случай сложной деформации в плоскости. Альтернативойможет быть только пространственная деформация – при этомпринципиально новыми, отсутствующими в исходном состоянии,видами деформации являются кручение и изгиб из плоскостисистемы. Однако если плоская система и ее загружение симмет-68ричны, то альтернативой исходному симметричному деформированию может быть возникновение обратносимметричных перемещений в той же плоскости. При этом возможность боковоговыпучивания тоже существует, как и в вышеупомянутом общемслучае, поэтому исследованию подлежат уже два варианта потери устойчивости.Важным для расчетов строительных конструкций случаемявляется безмоментное исходное состояние системы – с осевымсжатием и растяжением стержневых элементов – прямых (фермы,рамы) или криволинейных (арки с рациональным очертанием оси– например, параболическая арка при равномерно распределенной вертикальной нагрузке).

При этом альтернативными формами являются: 1) деформирование в плоскости с продольнопоперечным изгибом элементов; 2) выпучивание из плоскости спространственным продольно-поперечным изгибом и кручением.Упомянем также некоторые примеры бифуркационных задачрасчета устойчивости более сложных, чем стержневые, пластинчато-оболочечных систем с безмоментным исходным состоянием: сферическая или круговая цилиндрическая оболочка подвнешним равномерным гидростатическим давлением; плоскоенапряженное состояние пластинки, загруженной в срединнойплоскости.Можно сформулировать правило получения идеализированной расчетной схемы: если структурно-геометрические параметры системы заданы, то воздействия должны «подбираться»под них из условия равенства Идеализированная система, к сожалению, неполучается столь просто, как в приведеннулю соответствующих ста- всегданых выше примерах.

Более того, иногда этоне удается сделать. Так, в общем случаетико-кинематических харак- вообщедля арок и оболочек строгую безызгибностьтеристик возможных альтер- исходного состояния обеспечить невозможно.нативных форм равновесия (пример – условие безмоментности).Воздействия, удовлетворяющие указанному условию, в исследовании альтернативного равновесного состояния играютроль исходных параметров системы, наряду с ее структурными,геометрическими и жесткостными характеристиками. Поэтомутакие воздействия (в том числе силовые, т.е. нагрузки) называются параметрическими .Математическим признаком параметрического воздействия является то, что его характеристика присутствует в опе-69раторе (дифференциальном или матричном) уравнений, описывающих возмущенное состояние системы, иначе говоря, входит вкоэффициенты при неизвестных в этих уравнениях.Общей математической особенностью решения задач потериустойчивости первого рода является однородность уравнений,которыми описывается альтернативное равновесное состояние.Следовательно, в бифуркационных задачах устойчивости всевоздействия – только параметрические.Если не ставить задачу исследования качества равновесияидеальной системы в закритических состояниях, ограничиваясьтолько отысканием критической нагрузки Fcr ,то можно в решении пренебрегать геометрической нелинейностью, то есть использовать линеаризованные (приближенные) выражения деформаций через перемещения.

Например, для первоначально прямолинейного стержня линеаризованное*) *)Вторая производная прогиба,выражение кривизны оси при искривчерез которую выражается крилении в плоскости ХОУ ρ z ≈ d 2 v / dx 2 визна, входит в приближеннуюформулу в п е р в о й с т е п е н и .получается из точного уравненияd 2v ⎡⎛ dv ⎞ρz = 2 ⋅ ⎢1+ ⎜ ⎟dx⎢⎣ ⎝ dx ⎠2⎤⎥⎥⎦−32приdvdx<< 1.Таким образом строится расчетная модель идеальной геометрически линейной системы , равновесные состояния которой описываются графиком, приведенным на рис. П.3. Этамодель является основой линейнойFтеории устойчивости , принципиальными особенностями которой являются:Bx1) бифуркационная постановкаA1 xзадачи устойчивости , и как следстCвие этого – однородность уравнений , Fcrкоторыми описывается возмущенноеΔсостояние системы (результат идеализа0ции системы);Рис.

П.З2) линейность уравнений (причина –использование линеаризованных геометрических соотношений).70Применение линейной теории во многих случаях оказывается практически оправданным, так как удается сравнительно просто получить приемлемое по точности решение основных задачрасчета сооружения на устойчивость.Основными задачами расчета системы на устойчивостьявляются:1) определение критического параметра воздействия;2) выявление формы потери устойчивости, т.е. вида деформированной системы в критическом состоянии (в случаебифуркации – в альтернативном равновесии);3) нахождение коэффициентов приведения длины μ и приведенных (эффективных, расчетных) длин l0 = μ l элементов с учетом их совместной работы в составе системы.Решение первой задачи позволяет оценить запас устойчивости сооружения (конструкции) при заданной нагрузке – проектной или реально действующей.Знание формы потери устойчивости помогает в выборе наиболее эффективных конструктивных мер повышения устойчивости системы (так, усиление элементов или введение дополнительных связей целесообразно выполнять в тех ее частях, где перемещения и деформации наибольшие).И, наконец, с помощью найденных коэффициентов приведения длины μ и расчетных длин l0 оказывается возможным выполнять поэлементную проверку стержней на устойчивость по нормативной методике «Строительных норм и правил» (СНиП) с использованием коэффициента продольного изгиба ϕ , зависящегоот гибкости стержня λ = l0 / r (здесь r – радиус инерции сечения).Комментарий относительно практической значимости результатов расчета на устойчивость дан на стр.

24.Свойства идеальных систем могут заметно отличаться отсвойств реальных сооружений. Последние всегда имеют ряд несовершенств (в первую очередь геометрических), нагрузки могутбыть достаточно сложными (в частности, для рамных систем необеспечивается безмоментность исходного равновесия), а достижение предельной несущей способности сопровождается развитием пластических деформаций. В силу этого потеря устойчиво-71сти первого рода в принципе невозможна для реальных сооружений. Им свойственна потеря устойчивости второго рода .Типичный график равновесных состояний системы (рис. П.4, а)с геометрическими несовершенствами (начальная погибь стойкисо cтрелой f0 ) и с неузловой нагрузкой (e0 – смещение нагрузкиот узла) показан нa pиc.

П.4, б*).*) Эту систему можно рассматривать какВершине графика – точке А2 ,характерную модель, где в зависимости отзначений е0 и f0 , могут получаться вариназываемой предельной точкойанты идеализированные и неидеализироили критической точкойванные по геометрии и нагрузкам.второго рода – отвечает наибольшая нагрузка Fult, которую может выдержать система. Онаназывается предельной нагрузкой или критической нагрузкой второго рода , определяемой из условияdF/d Δ = 0.а)б)e0FFΔПредельная точка(критическая точка2-го рода)xxA2f0xCFult0ΔРис.

П.4В заключение подчеркнем, что не следует путать устойчивость и прочность – это принципиально разные свойства сооружений. Именно поэтому соответствующие расчеты существенноразличны, причем в случае использования единой расчетной схемы исследование устойчивости обычно оказывается более сложным **). Тем не менее, **) Для понимания этого достаточно сопоставить преддействующими нормами писываемые СНиП проверки центрально сжатогона прочность и устойчивость – соответственпроектирования строи- стержняно по формулам |N| /A ≤ Rc и |N| /A ≤ ϕ Rc . Для опретельныхконструкций деления входящего во вторую из них коэффициента(СНиП) исчерпание проч- продольного изгиба ϕ нужно использовать коэффициент приведения длины μ, который в общем случаености и потеря устойчи- находится дополнительным расчетом сжатого стержнявости относятся к одному на устойчивость.72и тому же расчетному предельному состоянию – по несущей способности.

Это можно объяснить тем, что последствия обоих указанных явлений могут быть одинаково фатальными. Правда, теоретически возможна потеря устойчивости с сохранением прочности (и это иногда используется в современных конструкциях, гденекоторые элементы могут работать в закритической стадии) инаоборот – потери устойчивости может не быть, а прочность ужеисчерпана (пример – разрушение центрально растянутого стержня из хрупкого материала). Практически же, как правило, потеряустойчивости сопровождается возникновением значительных перемещений, и, в конце концов, происходит исчерпание прочностив закритической стадии деформирования.Но и само явление разрушения конструктивного элемента может быть истолковано как потеря устойчивости процесса деформирования. Так, образование«шейки» на растягиваемом стержне из пластичного материала можно рассматривать как бифуркацию форм (на смену равномерному распределению деформацийпо длине элемента приходит равновесие с деформациями, локализованнымипреимущественно на некотором участке).