Ржаницын А.Р. - Строительная механика, страница 11

Реакция опоры Вв первом состоянии равна реакции опоры А во втором:Rk= R~.§ 15.Потенциальная энергия упругой системыи ее выражение через внешние CИJIЬJПри статическом нагружении упругой системы полная потен­циальная энергия ее остается nостоянной и лишь переходит изпотенциальной энергии внешних сил в потенциальную энергиювнутренних сил. Однако термином «потенциальная энергия системы»часто обозначают величину nотенциальной энергии внутреннихсил А или равную ей величину работы внешних сил -V:- V =А.Потенциальная энергия А(2.28)представляет собой функцию пере­мещений системы и, следовательно, не зависит от пути развитияперемещений от нуля до данного состояния равновесия. Вместе с темв упругой системе каждому вектору перемещений, согласно уравне­ниям (2.25), соответствует определенный вектор внешних сил.Поэтому потенциальная энергия системы не зависит также и отпути нагружения последней внешними силами.Таким образом, для того чтобы вычислить потенциальнуюэнергию упругой системы при нагружении ее силами Р 1 , Р2 , ••• , Pn.достаточно определить эту энергию nри каком-либо одном путинагружения.

В качестве такого пути можно взять пропорциональноеувеличениевсехвнешнихсилпо закону, P1=P1t; P2=P2t; ... ;Рп=Рпt,59где t- не который параметр (не обязательно время); р 1 , р 2 , ... , Рппостоянные величины. Тогда, согласно (2.26), получими;-= (бil Pt + б;2Р2 + ... + б;пРп) f;ndи; = (бilPi + 6;2Р2 +... + б;пРп) dt = ~ б;kpkdtk=lи полная работа внешних силn"intnA=-V=~ ~ Р;dи;=~ ~p 1 t~ б;kpkdt=i=\0i=IOk=lnntnnnn= ~ ~ б;kPtPk ~ tdt = ~ ~ 6;kp;tpД2 = 0,5 ~ ~ б;kPtPk.оi= 1 k=l1=1 k=lИз этого выражения с учетомдАдР;=i= 1 k=l(2.26)найдемn~~ 6/kpk =и;,(2.29)k=lчто представляет собой т е о р е м у К а с т и л ь я н о, согласнокоторой производная от работы внешних сил (или от потенциаль­ной энергии внутренних сил) по какой-либо действующей на системусиле, равна перемещению по направлению этой силы.

Данная тео­рема в таком виде справедлива только д л я л и н е й н о у п р у­г ихс и с т е м.§ 16. Обобщенвые внешние CIIJIЬI и обобщенвыеперемещеВИJIО б о б щ е н н ы м и с и л а м и называются линейные комби­нации простых сил, действующих на систему. Всего в системе с пстепенями свободы может быть п линейно независимых обобщен­ных сил, определенных по формулам:Qt = gнPt + g12P2 + ...

+ gtпРп;(2.30)=причем матрица О11 g;k 11 не должна быть вырожденной.С другой стороны, можно ввести обобщенные перемещения поформулам:Yt = hниt +h12и2+·· .+htпиn;)У2 = h21и1 +h22и2 + .. -+ h2пип;.................Уп = hп1и1 +hп2и2 +. •·+hппUnс невырожденной матрицей6011=1/ htkU.(2.31)Примерам обобщенной силы может служить внешний момент(пара сил), которому соответствует обобщенное перемещение q> угол поворота, являющийся комбинацией двух противоположнонаправленных смещений точек, удаленных друг от друга в направ­лении,перпендикулярном их смещениям.Решив уравнения(2.30)и(2.31)относительно Р 1 и и 1 , получим:Pl = g;IQl + g;iQ2 + ·•·+ g1пQn; J~2 :=.g~~~~-~ g•;2~2.

~ ·: ·.~ ~~n~~;Pn =g~IQl +g~Д2и(2.32}+. ·.+g~Qп+ ... + h;пУп; J+ + ... + h~пУп:.................Un = h~1Y1 + h~'IY2 + •··+ h~ ..Yn,= h;1Y1 + h;2Y2U2 = h~1Y1 h;2Y2U1гдеg{kи(2.33)коэффициенты обратных матрицhik -а-• = 11 g;kПредставим формулы11(2.32)и н-•и= hik11(2.33)11-в видеnnР; = ~ g/kQk иU;=k=l~ hiiYl1=1и подставим их в выражение работы внешних силV=~ 1 P,u, = ~ 1 (~1 glkQk) (~ 1 hi1Y1) ·Уничтожив скобки и изменив порядок суммирования, получимnnnnnV = ~ ~ ~ g{khiiQkYt = ~ ~ fk/Qkyl,k=ll=l i-1k=-11=1гдеnfkl = ~ gikhik·k=lПоставим теперь условие, чтобыnV = ~ QkYk·k=lДля этого необходимо выполнение равенствfkk= 1; fk1=0приk=t=lилиnn~ g{khi11 = 1; ~ gi11hil =О при k ~ l,i= 1(2.34)i=l61т. е. сумма произведений коэффициентов, стоящих в k-м столбцематрицыG- 1 ,на коэффициенты,стоящиев/-м столбце матрицыl =!= k и единице при l = k.транспонированной матрицР.Й (G- 1Y.

Тогдан-!' должна быть равна нулю приЗаменим матрицу а-]равенства (2.34) будут означать требование, чтобы сумма произве­дений коэффициентов k-й строки матрицы (G- 1 )т на коэффициенты[-го столбца матрицы н-] были равны нулю при l =!= k и единицепри l = k. Эrо значит, что произведение матрицы (G- 1 )т на матрицу1 должно быть равно единичной матрице Е:n-.о1о(G-l)т ff-1= Е= О. 1.о.о оУмножим правую и левую части этого равенства на((]-l)тff-1/f/f:= Elf.Отсюда следует(Q-l)тlf.=(2.35)Таким образом, системы отсчета составляющих вектора силQи вектора перемещений у могут быть различными, но должны по­лучатьсяиз основной ортогональной системы отсчетапутем преобразованийравенством (2.35).(2.30)и(2.31),координатматрицы которых связаныПример.

В раме, показаиной на рис. 79, а, если считать ее стержни нера­стяжимыми, имеется четыре степени свободы. Внеutние силы Р1 , Р2 , Р8 и Р• при-о).......{}~р5....0.4 /~Р4Qz'(}!~Рис.ложены по направлениям перемещений(рис. 79, б):79u1 ,~. Uз и и•. Введем обобщенные силыМатрица преобразовання усилий здесь будетоо-1ооо1оо о-1162"•а обратная и затем транспонированная матрица0,5о0,5(Q-l)т =Н= ~,5 ~0,5 ~ооСледовательно, обобщенные перемещения,лами Q1 , Q2 , Q3 и Q4 , равны:оо.-1сопряженныеу 1 =(и 1 +и 2 +и~j2; у 2 =(щ -и 2 +и~j2;§ 17.0,5!0,5Уа=из;собобщеннымиси­у4 =- и 4 •Обобщениы:е внутренние силы в обобщенныедеформацввАналогично можно выполнять и преобразования внутреннихсил. Введем обобщенные внутренние усилия М1 и обобщенныедеформацииv1по формулам:ттMJ = ~ g;kN k; Vj = ~ hil'Al,k=ll=lгде N1 и Л1 - основные внутренние силы и сопряженные с нимидеформации.

Для представления работы внутренних сил в видетА=-~ M1v1j=lследует установить соответствие между матрицами преобразованийа = jigik~ и н= ~hilllв виде§ 18.Теорема о взаимности работ (теорема Бетти)Т е о р е м а о в з а и м н о с т и р а б о т является обобще­нием теоремы о взаимности перемещений, выражающейся равен­ством б;kбki• на случай обобщенных сил и перемещений и форму­=лируется следующим образом: возможная работа сил первого рав­новесного состояния упругой системы на перемещениях второго со­стояния той же системы равна работе сил второго состоянияна перемещениях, вызванных силами первого состояния.Силы первого и второго состояний можно назвать обобщеннымии работу их на перемещениях, вызванных иными силами, можнопредставить в виде произведения силы на обобщенное перемещениепо направлению той же силы, вызванное иными силами.Далее ввиду относительности понятий обобщенных и основныхсил и перемещений уравнения (2.26) можно считать справедливымии для обобщенных величин.

Из этих уравнений следует, что пере­мещение по направлению обобщенной силы Р; от действия обобщен­»ОЙ силыPkравноbikPk,а перемещение по »аправлению обобщен-63ной силыPkот действия обобщенной силы Р 1 равно ~k;P 1 • Тогда тео­рема Бетти получает формулировку:P;б1kPk = Pkбk;P1.Очевидно, что это равенство выполняетсяд л яу п р у г и х61kс и с т е м, где справедливо условие симметрии коэффициентовматрицыподатливости.§ 19.Матрица внутренней податJIИВОствПредставим уравнение(2.26)в матричном видеu=LP.(2.36)Здесь Р означает п-мерный вектор внешних сил с составляющимиР1 , ап-мерный вектор перемещений с составляющими u1•Вектор Р выражается через внутренние силы N1 формуламиu-(2. 7),которые в матричной форме имеют видP=-AN,гдеN-а А-п-мерный вектор внутренних сил с составляющими N 1,в общем случае прямоугольная матрица;/ а11 а 12А=Выражениетогда(2.37)(2.37)•••a1mа21а22 ••• а2тдля Р можно подставить в формулу(2.36),получимu=L(- AN) = - LAN,где(2.38)LA -матрица, получаемая от перемножения матриц L и А.Возьмем теперь уравнения (2.20), которые в матричной формеимеют вид(2.39)гдеr- т-мерныйвектор деформаций с составляющими 'А/;ана21 ••• anlАт-=al2a2~...ап2матрица, взаимно транспонированная с матрицей А.Подставляя (2.38) в (2.39), получаем1=Ат LAN.АтLА64представляетсобойквадратную матрицу(2.40)рангат,т.

е.имеющую т строк и т столбцов. Обозначим коэффициенты этойматрицы ~;", а саму матрицу В:в= А т LA=J~11~12•••~lm~21~2s•••P2mPm1Pm11 • • • Pmmтогда связь между усилиями и деформациями· можно представитьв виде линейных соотношений:Л1 = ~нN• + ~12N2+·. -+~tmNm;А2= PziNt + ~22N2+• · -+P2mNm;Am=~miNl +~m2N2+•••+PmmNm•Матрицу В назовем матрицей внутренней податливости упругойсистемы.§ 20.Матрица ввутреииеi жесткостиОбратную зависимость вектора внутренних сил от векторадеформаций можно поJiучить путем решения ~истемы уравнений(2.40):N, = vнЛt +v12Л2 +. ~ -+VtmЛm:~ ~-У~• ~~-~ V~2~2.

~ ·: •.~ У_в~Л~;.J2N т= Vm1A1 + YmвAs(2.41)+•••+'Vn.mAm,причем матрица коэффициентов у1 "УнУ111• • • Y1mс = У~1~2~ :. : ~-~~Vmt'\'m2 • • • Ymmобратна матрице В ипредставляет собойматрицу внутреннейжесткости упругой системы.§ 21.Выражевиs ввутреввих сил через внешниев перемещевий через деформацииИз равенствN = c'i..; 'i..=- Атu; u= I.PполучаемN=-CATанзЗравенствА. Р. РжаницыиLP,(2.42).находимU=-LAC1..(2.43)LACМатрицы САтL ивзаимно транспонированные, посколькуматрицы С и L симметричные.1 22.

Выpa.zeiDUI матриц виеПIВеi по.-.тJПIIIОетвв виеПIВеi zесткоств через матрицу ввутреввеi zесткоствИз матричных равенствА=-АтuP=-AN; N=C1.;получаемР =ACA•u=Ru,откуда сле.и.уетR=ACA•(2 44)иL=R-1 =(АСА"(2.45))-1•Эти формулы очень полезны для расчетов, так как матрицывнешней податливости и внешней жесткости упругой системыопределить непосредственно бывает трудно, а матрицы внутрен­ней податливости или жесткости обычно удается получить безособых затруднений (см. приводимые в гл.с. 117 -122).1 23.IVпримеры расчета,Эверnш ввутре1111ВХ св.п yпpyroiстерzвевой еветемыПолная энергия внутренних сил стержневой системы равнасумме энергий, приходящихся на каждый стержень. Удельнойэнергией а по аналогии с удельным весом называется энергия,приходящаяся на единицу объема материала. При одноосномнапряженном состоянии, обычно имеющем место в стержнях, удель­ная энергия при бесконечно малом приращении деформации dsполучает приращениевеличины деФормацииodeи с начала деформирования до заданнойнакапливается до величины8а=~ ode.оЕсли материал подчиняется закону Гука, то г=0/E)do иаа= ) ~do ===о/Е;de =;Е а•.Чтобы опре.аелить энергию одного стержня, надо удельную знер·гию проинте1·рнровать по всему его объему.

Напvяжение в стер)Кне66определяется поизвестнойформулесопротивленияматериаловa=NtF+MztJ,z-где N - продольная сила; М - изгибающий момент;рассто­яние от центральной оси сечения стержня; F и J - площадь и мо­ментинерциисечения.Следовательно, удельная энергия стержня равнаа = dв (~+ !р )•.Проинтегрируем эту энергию сначала по площади nоперечногосечения. Получим погонную энергию стержня:Ао = dв>(~: + 2 NF~z + м;:~)dF.Учтем, что~ dF = F; ~ zdF -О; ~ z1 dF = J,FитогдаFnолучимАпl,F= N 2!(2EF) + M 1/(2EJ).Погонную энергию надо еще nроинтегрировать по длине стержнячтобы nолучить энергию всего стержня:lА=1 \ Nll2 ~ EFl1 \ м•dx + 2 ~ ЕТ dx.Энергия всей стержневой системы равна сумме энергий ее эле--ментов:А ~ : }; ( ~ :} dx + ~ :;~ dx)1(индексf(2.46)указывает на номер стержня в системе).§ 24.ВозможваJJ работа ввутре111111Х CII.JIупрутой стержневой системыПусть усилия N1 в системе вызваны нагрузкой Р 1 , а возмож·ные деформации 6Л!.