Ржаницын А.Р. - Строительная механика, страница 13

Остается только nотенциальная энергия внут­ренних сил,которая достигает минимумаnринулевых значенияхэтих nеремещений. Отсюда следует, что обратносимметричные де­формации и nеремещения при симметричной нагрузке, nрило­женной к симметричной конструкции, должны быть равны нулю,Аналогичное доказательство nолучаем для случая обратн< сим­метричного нагружен'Ия симметричной конструкции.Принциn симметрии является частным случаем более общегоnринциnа,также вытекающегоизусловияминимумаnотенциаль­ной энергии системы. Этот nринциn можно -сформулировать сле­дующим образом: если работа нагрузки на некотором деформира­ванном состоянии А системы равна нулю, то это деформированное73-состояние и связанное с ним. распредемние внутренних сил при дан­ной нагрузке не возникает, а возникает деформированное состояниеВ, ортогональное к состоянию А (т. е. работа внутренних силдеформированного состояния В на деформациях состояния А должнаравняться нулю).ГЛАВА ШКЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА сrАТИЧЕСКИНЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ§ 1.Общие пpiDIЦJIПЬI расчетаОсновные методы расчета упругих статически неопределимыхсистем разрабатывались в домашинный период вычислительнойматематики.

Главное, к чему тогда стремились, это уменьшениечисла совместно решаемых уравнений и числа неизвестных в них.Для этой цели из сложной системы выделялась более простая <<ОС­новная система», расчет которой являлся достаточно простым.Основная система отличается от заданной отсутствием некоторыхсвязей или, наоборот, введением в нее новых абсолютно жесткихсвязей.

Отброшенные связи заменяются в основной системе внеш­ними,вначале неизвестнымисилами,приложеинымипонаправле­ниям отброшенных связей, причем значения этих сил подбираютсяиз условий отсутствия перемещений по направлениям отброшенныхсвязей. Полученная таким образом система уравнений называетсясистемойканоническихуравненийметодас и л.Если основная система получается из заданной путем введе­ния новых жестких связей, то неизвестными являются перемещенияпо направлениям этих связей, а условиями для составления урав­нений - условия отсутствия реактивных сил во введенных связях.Таким путем получаютк а н о н и ч е с к и еу р а в н е н и ям е т о д а п е р е м е щ е н и й.Применяется также смешанный метод, в котором основная си­стема получается из заданной исключением одних жестких связейи введением других.Неизвестными в канонических уравненияхсмешанного метода являются усилия в отброшенных связях и пере­мещения по направлениям введенных связей, а условиями состав­ления уравнений - отсутствие перемещений в основной системепо направлениям отброшенных связей и отсутствие реакций в вве­денных связях.Таким способом достигается эквивалентность заданной и основ­ной систем как в отношении внутренних сил, так и в отношении пе­ремещений узлов, а следовательно, и деформаций.Недостатком введения основной системы является необходимостьпроизводить расчет ее несколько раз: на действие заданной нагрузкии на действие каждого неизвестного усилия в отброшенных связях74или на действие каждого неизвестного перемещения по направ­лениям введенных связей.

Существенные затруднения возникаюттакже при вычислениях коэффициентов канонических уравнений,а также их свободных членов.С развитием машинно-вычислительной техники на первое местовыдвинулись требования автоматизации расчета и максимальногоупрощения составления исходных данных для машины. С этой точкизрения некоторые из классических методов расчета статически не­определимых систем оказались недостаточно удобными. Однако,ввиду еще большого удельного веса ручного труда в расчетнойпрактике, а также нецелесообразности использования сложныхэлектронно-вычислительныхмашинвэлементарныхслучаяхрас­чета простых систем, классические методы нельзя считать потеряв­шимисвое значение дляинженеров-проектировщиков.Метод си.п§ 2.В методе сил в качестве основной системы выбирается обычностатически определимая система, получаемая из заданной n разстатически неопределимой системы отбрасыванием n жестких свя­зей.

Этими жесткими связями могут яв­ляться жесткиеопорыилисвязи,соеди­няющие одну часть стержня с другой.Удал я я последние, получаем разрезанныестержниилистержнишарнирами (рис.86).с введеннымиУсилияа).f\\1Жlв нихвзамен от­брошенных связей прикладываются в местеразрезаиливведенногошарнираввидепродольных сил или изгибающих моментов,действующих на оба конца разрезанногостержня,как показано на рис.86,а, б.Можно также удалять связи, препятствую­щие взаимному сдвигу сечений, как пока­зано на рис. 86, в, заменяя их попереч­ными силами. Число отброшенных связейв случае статически определимой основнойсистемы будет равняться степени стати­ческой неопределяемости рассчитываемой·системы.Примеры образования статически опре­делимыхосновныхстатическисистемнеопределимыхиззаданныхсистемпока­заны на рис. 87.Обычно расчет статически определимойсистемы на действие внешней нагрузки ина действие усилий,Рис.8бзаменяющих отброшенные связи,не вызы­вает больших затруднений.

В этом расчете требуется определитьперемещения по направлениям отброшенных связей как функциинеизвестных усилий в отброшенных связях Хн Х 2 , ••• , Xn. При-75равнивая эти перемещения нулю, получаем системусnnуравненийнеизвестными.Поскольку обычно приходится рассчитывать линейно деформи­руемые упругие системы, то в расчете перемещений можно приме­нить принцип независимости действия сил. Для определения пере­мещения6;в основной системе по направлению i-й отброшеннойсвязи можно найти сначала перемещение 6;р, возникающее от дей­ствия одной только нагрузки, а затем - п~ремещения от действиякаждого усилия в отброшенных связях, а поскольку эти усилия поканеизвестны, определить перемещения от действия единичного уси­лия в связи и умножить на ее значение Х1(j=1, 2, ...

,п).3l"" 1"'' ~~flOcнo~n~u~lРис.87Таким образом, полное перемещение по направлению отброшен­нойi- йсвязи(i=1, 2, ... , n),(3.1)где {)ik - перемещение в основной системе по направлению отбро­Шенной i-й связи от действия единичного усилия Xk = 1 (k = 1,2, ... , n); 6;р- перемещение в основной системе по направлениюотброшенной i-й связи от действия нагрузки.Приравнивая все {)1 нулю, получаем n линейных алгебраиче­ских уравнений сn неизвестными Х 1 , Х 2 , ••• , Xn.

Система канониче­ских уравнений метода сил здесь имеет вид:бнХ1 +б12Х2+-.. + б1пХп +бlр =О;б21Х 1+ б22Х 2+ ... + б2пХп + б2р =О;бп1Х1 + бп2Х2 +·Из теоремы о взаимности перемещений76(3. 2). . +бппХп +бпр= Ок основной системе, следует, что(jik1= бki•(§ 14 гл. 11), применеинойРешить систему уравнений (3.2) не представляет затруднений.Получив значения неизвестных, мы можем заменить дальнейшийрасчет заданной статически определимой системы расчетом стати­чески определимой основной системы, нагруженной той же нагруз­кой с дополнением усилий Х 1 , Х 2 , ••• , Хп. заменяющих действие о-r­брошенных связей.Опреде.леиие коэффициентов канонических§ 3.уравнений метода силДля определениякоэффициентов б 1 k и свободных членов б 1 Рканонических уравнений (3.2) в методе сил применяют формулуМора, выражающую перемещения через внутренние силы в стержне­вой системе.

Для вывода этой формулы рассмотрим два состоянияа)о}Pzptfсистемы (рис. 88): одно, возникающее под действием заданной на­грузки (а), второе - под действием единичной силы, приложен­ной по направлению искомого перемещения (6). Определим возмож­ную работу как внешних, так и внутренних сил второго состоянияна перемещениях и деформациях первого состояния.Работа внешней силыбV =1 · б 1 р,(3.3)rде б 1 r - перемещение по направлению этой силы в первом состо­янии, вызванном нагрузкой Р.Работа внутренних сил, согласно1бА=- ..;;;.."\"1 \•nгдеMf)1(МРМ 1(2.47),i_J1 1 +NPN')iF 1 dx,1и N~- усилия в первом состоянии'равна(3.4)системы; М 11 и N~1усилия во втором состоянии.

(Работой касательных напряженийпренебрегаем.) Приравнивая, согласно (2.28), выражения (3.3) и(3.4), получаем(3.5)71Если в качестве нагрузки взять единичную силу,приложеи­ную по направлению k-й отброшенной связи, то, обозначив м~и N~ получаемые при этом усилия системы, придем к выражениюдля коэффициента ~~~~б;"=! J~(MkMI11 +о11N11 N 1)(3.6)i.F 1 dx,1 .представляющего собой перемещение по направлению отброшенной=k-й связи от единичного усилия Х 11, приложеиного по направле­нию i·й отброшенной связи.Из структуры формулы (3.6) видно, чтоб,"= бkt•В отатически неопределимых фермах изгибающие моменты вездеравнынулю,апродольныесилыпостоянныстержня.

Поэтому для ферм формулы(3.5)ипо(3.6)длинекаждогополучают видВ рамах обычно пренебрегают вторыми членами в формулахи (3.6), поскольку эти члены мало влияют на величины пе­ремещений, и получают, что(3.5)Продольные силы вместе с изгибающими моментами учитываютсяв расчете систем, элементы которых испытывают значительные осе­вые деформации, сравнимые о деформациями от изгибающих момен­тов,напримерв арках,а также приотдельных элементов системы,сжатие илирастяжение,§ 4.учете влиянияработающихнапримерподатливостипреимущественно назатяжек в рамахи арках.ВычиСJiеиие ивтеrралов от произведениймоментовПри вычислении коэффициентов и свободных_ членов канониче­ских уравнений метода сил кроме непосредственного интегрирова­нияприменяют различные упрощенные приемы вычисленияинте­гралов. Особенно обстоятельно они разработаны для рам с пря­молинейными стержнями постоянного сечения.

Жесткость EJ приэтом выносится за знак интеграла, а под интегралом остаетсяизведение двух функций: М 1 и78Mkпро­(или М 1 и МР), из которых, какправило, одна или обе являются линейными. Операция интегриро­вания эдесь часто называетсяп е р е м н о ж е н и е мэ п ю р, имы ее будем изображать символически следующим обраэом1r~ MIMgdx=M 1 XMs.оМожно рекомендовать следующие приемы перемножения эпюр.1. Применеине готовых формул. Часть таких формул приведенав табл. 3 и 4.