Ржаницын А.Р. - Строительная механика, страница 14

Сами эти формулы беэ труда выводятся элементарнымиметодами.Таблица,,Га~МиJ~~t!ЗП рОООЛЖРНUР maf>л..'lТаблица4!(6аоротноплораболи~~{tJftJCLМаоротноншipoiJaлaMut=J::"H8ailpomнoяЛ(!ро5алоМи~И6~мн r:==г-=-.tLм~мlь12.Расчленениеэпюрначасти.Например,эпюру моментов, изображенную на рис.89,параболическуюа, можно расчленитьна три простые эпюры, как показано на рисунке. Если эту парабо­лическую эпюру надо умножить на трапецеидальную эпюру,браженную на рис.суммы трехэпюр,89,авторую- ввиде двухM1=MJ.' +М 1' +MJ.'";80изо­б, то можно представить первую эпюру в видепростыхМ 2 =М 11 ' +М~".эпюр:Теперь производим формальные действия:=++М1х М2= (MI'' +MI" +М!"') х <Mi"М22 ') =Ml'' >< м~''+ м." хМ:{+ Ml2 ' х мг м;•· хм г+м;з' хм~··+ М'1 "' хм~··+и далее к каждому слагаемому можно применить формулы табл.3.Расчленение эпюр с ортогонализаuиейих.В3.предыдущемпримере можно разложить эпюры иным способом, используя сим­метрию стержня.

Это разложение показано на рис.90,а, б. Сим­метричные и обратносимметричные эпюры являются взаимно орто-о)о)а)oJРис.Рис.вg§0гональными, т. е. произведение их равно нулю. Учитывая это об­стоятельство,получаемМ1х М2 =(м: +м:• +М: 11 )х(М~+ М~ 1 )== м:хм~+М: 1 хМ~ 1 +М: 11 хМ~ 11 •поскольку эnюры М! 1 и Мр взаимно ортагональны с эпюрамим:.

М~ и м: 11 , как обратносимметричные с симметричными.4. Сnособ Верещагина. Эrот сnособ nрименяется в тех случаях.когда одна из перемножаемых эпюр прямолинейная, а другая мо­жет быть какая угодно, По сnособу Верещагина определяется nло­щадь Q криволинейной эnюры и положение ее центра тяжестина оси стержня. Далее в точке, где находится центр тяжести кри­волинейной эnюры С, оnределяется ордината М~ второй, прямоли­нейной эпюры (рис.

91) и эта ордината умножается на Q. Результа­том является веЛичина произведения эпюр. Для доказательстваположимТогда111М1 х М2= ~ f(x) (ах+Ь) dx = Ь ~ f (х) dx+a~ xf (х) dx,ооо81но величинаrP<x)dx=Qопредставляетасобойnлощадькриволинейнойэпюрымоментов,величина'~ xf(x) dx=S-статический момент площади этой эпюры относительно левогоконца стержня. Следовательно,М 1 хМ 2= bQ+aS = Q (b+aS!Q).Величина S /!1 представляет собой ординату центра тяжести кри­волинейной эпюры, а ЬaS /Q значение М 2 при хS/Q.Способ Верещагина пригоден так­+=Lже в тех случаях, когда одна из эпюрне криволинейная, а ломаная.5.Применеине формулы Симлео­на.

Эrот обычный метод численногоинтегрированиятрапеций иLво всехнарядусметодамипрямоугольников удобенслучаях,втом числе, когдастержень криволинейный, когда обеэпюры криволинейные и.ли ломаные,.Puc.9tкогдастерженьимеетпеременвоесечение. Длина стержня разбиваетсяна равныеl/2.l/2участкиинаграницах ихопределяются значения подынтеграль­ной функции М 1 М2 • Величинатеграла выражается формулойlf MxMad~ш 1111111111111111111/llillМzАМ2сРис.§2.М2вEJ~~(М1оМво+ 4 М11М11EJoElxх,....., 3+ 2 M11M2z+ 4 M1sM1a+EJaЕJз•••ин­+++ Mx.вn-2Mz,zn-2+4 Мх.вп-хМt.вn-1+EJn-2EJn-1+ MlпMtn)EJn •Вторые индексы здесь означают номера сечений; 2n - числоинтегралов, каждый из которых имеет длину Л.

В случае, когдаодна эпюра моментов параболическая в виде квадратной параболы,а другая линейная, при постоянной жесткости EJ разбиение уже.82только на два интервала длиной Линтеграла (рис. 92):l) MtMs dx ==l/2дает точное выражение~ (MtAM2A + 4MtcM2c + М1вМ2в).Определение поперечвых в продот.вых CВJJ1 5.в стерж:в.их рамыПо эпюре моментов легко находятся поперечные силы как тан­генсы углов наклона эпюры моментов. Продольные силы можнонайти при помощи вырезания узлов, если в последних сходятсятолько два стержня. Для этого надо составить два уравнения рав­новесия узла в направлениях осейхиу~Е.~:- N1:cos а.1 + N, cos ~- Q1 sin а.1х++Q2sin сх2+ Рх= О;N 1 sin сх1 - N 9 sin ~ -Q1 COSCXJ +Q2 cos ~ р у= о,++где Рх и Ри -внешние силы, при­ложеиные непосредственноПоперечныесилыQ1икузлу.Q2здесьPvc.9Jдолжны быть уже известны.Если в ряде узлов сходятся три или более стержней, то методвырезания узлов применяется, начиная с узла с двумя стержнями,последовательнымпереходомк тем узлам,вкоторых остаетсянеболее двух неизвестных продольных сил.В общем случае можно строить эпюры поперечных и продоль­ных сил от единичных неизвестных усилий и от единичных нагру­зок в основной системе, что не представляет затруднений, так какосновнаясистемаэти эпюры,статическиопределима,изатемсуммироватьумноженные предварительно на значения неизвестныхусилий Х 1 , Х 2 , ••• и на интенсивности нагрузок.

При этом можно незнать величины изгибающих моментов в раме.§ 6.Пример расчета рамы методом CВJJРассчитаем методом сил раму, показанную на рис. 94. Из этойчетыре раза статически неопределимой системы можно получитьстатически определимую основную систему отбрасыванием четырехсвязей и заменой их неизве<_:тными nока усилиями. Отбрасываяразличные связи, можно получить разные основные системы, неко­торые из них показаны на рис. 95, а--д.Возьмем для расчета основную систему, изображенную нарис. 95, а.

Построим эпюры изгибающих моментов от каждого неиз­вестногоусилия,приравненного единиuе,атакже эпюрыотна­грузок, действующих на основную систему. Целесообразно при этомсуммарнуюнагрузкурасчленитьнапростыесоставляющие.83Согласно обычно принимаемым упрощениям в расчете рам учи­тываем лншь изгибающие моменты, а влиянием продольных и попе­речных сил на деформации основной системы пренебрегаем. Поэ­тому эпюрыпродольныхипоперечных силна этомэтапенам не понадобятся.расчетаoilКоэффициенты канонических уравнений метода сил(3.2),.а также свободные члены 61q н 6 1 Р получим интегрированием nроиз­ведений ординат _соответствующих эпюр от единичных неизвест­ных и от нагрузок.

Всего получается четыре уравнения, причемвсе коэффициенты при неизвестных будут отличны от нуля.Здесь ввиду симметрии системы можно ввести упрощение в рас­qет путем группировки неизвестных В качестве новых, групповыхq=tкН/мвввннн1ншв~Рис.95Рис.9Чнеизвестных возьмем суммы и разности основных неизвестных Х 1и Х 3 , а также Х 2 и Х 4 • При этом получим симметричные и обратно­симметричные эпюры моментов, показанные на рис.вые неизвестные обозначим У 1 , У 2 , У 3 и У 4 :У1=Х1+Хз;Уз=ХI-Хз;У2=Х2+Х.,;У .. =Х2-Х ...96,а-к.

Но­Система четырех канонических уравнений при nереходе к этимнеизвестным распадается на две системы, каждая с двумя неизвест­ными, nричем в одной системе будут только симметричные неизвест­ные У 1 и У2 , а в другой-обратносимметричные Уа и У 4 • Это по­лучается nотому, что, как легко видеть, nобочные коэффициенты.013 , б 14 , 623 и б 24 обращаются в нуль.Для си:-.1метричных неизвестных получаем систему уравненийбнУ 1 +б12У 2 + б1q + б1р =О;б21 у 1 + б22 у 2 + б2q + б2р = о,а для обратносимметричных-бз 3 У:.+бз4У4 +бзq +бзр =О;б .. 3 У 3 +б,~ У 1+ б4q + б,р =О.Для определения коэффициентов канонических уравнений ис­nользуем способы, указанные в§ 4гл.III.Модуль упругости имомент инерции сечения стоек везде сокращаем и принимаемEJ= 1e)r!l~4и)7tltРис.9Вдля стоек и EJформулы табл.1'111= 2 для3наклонных ригелей. В основном используеми способ Верещагина.

Получаем+ 2 ~3 (7 + 4 + 7 · 4) 1· 2 = 197 ,67;5 1б12 = б21 = 2 6 (2. 4. 7 + 4. 4). 2 = 60;= [4 ~22б22 = (5/2) (4 2 /3). 2 = 26,67;= 1'1 11 7 · 14 2 /3 = 197,67 457,33 = 655;бз 4 = б~ 3 = l\12 + (7 · 14/2) · 8 = 60 + 392 = 452;l\41 = l\22+ 7. 8. 8 = 26,67 + 448 = 474,67.+б 33+Для определения нагрузочных членов б 11 и б 29 применяем пра­вило Верещагина.Площадь параболической эпюры моментов отнагрузки q = 1 на каждой стороне рамы равна 8 · 5/3 = 13,33';центр тяжести этой эпюры находится на расстоянии 8 / 4 длиныстержня от вершины параболы, следовательно,бlq31 4 ) . 2q= 83,33q;= 21 13,33 ( 4-.7+ 4.б2q13= 2 13,334 4.

2q= 40q.Далее находим:tJ1p1 5= 'i б (2 · 3 · 7 + 3 · 4) Р =1 5ЗtJ2p= 263р3· 4Р =7= 6 1 Р+б (2 · 3-14-4 · 14) Р64 р = б 2 р+ 7 -3-42- 8Р =•22,5Р,10Р;=22,5Р+32,67Р= 55,17 Р;10Р- 28Р = -18Р;бзq=бч=О.Итак,получаемканоническиеуравнениядлясимметричныхнеизвестных:197 ,67У 1 + 60У 2 + 83,33q + 22,5Р =60У 1 +26,67Y 2 +40q+ 10Р =ОО;и для обратносимметричных655У 3 +452У4 +55,17Р=0;452У 3 +474,67У 4 -18Р =О.Решив эти уравнения, получаем:У1= 0,1060q;У2= -1,738q-0,375P;У 3 = -0,3219Р;У 4 =0,3445Р,q = 1 кН/м, Р = 1 кНу2 = -2,113;уз= -0,3219;у4 = 0,3445.единичные эпюры, показанные на рис.

96, умно­а при заданных нагрузкахyl = 0,1060;Далее следуетжить на найденные значения неизвестных величин У 1 , У 2 , У 3 , У 4и заданные значения нагрузок q и Р (рис. 97, а- е) и сложить этиэпюры друг с другом. Получим окончательную эпюру моментов,показанную на рис. 98, где значения моментов даны в кН/м.Для нахождения поперечных сил определяем тангенсы угловнаклона эпюры моментов на различных ее участках.На участке0-1Q = 0,864/4 = 0,216.На участке1-2. Линия опорных моментов даетQon =- (2,415+0,864)/5 = -0,656.Сюда надо добавить местную эпюру Q от равномернойв пролете (рис. 99), причемQA =На участкеплюс влияние!1COS Cl= 2q~ = 1,6q= 1,6; . Q8 = -1,6,2-3Qоп =- (1 ,712 -1,165)/5 =-0,109местной нагрузки (рис.