Ржаницын А.Р. - Строительная механика, страница 12

таковы, что они могли бы быть вызваны другойкакой-то нагрузкои Рн. Тогда формулу (2.12) можно будет nред­ставить в видебА=-~ N}бЛ] 1 ,причем индексыданная1 и 11 указЫБают, от какой нагрузки возниклавеличина.В упругой шарнирно-стержневон системеб'Л} 1 = Njll1!EF1,67гдеN1 -продольнаясила в j-м элементе, и, следователt.но,т6А=-!i=lтчисло стержней в системе.-В рамной системе вектор внутренних сил вк.пючает кроме про­дольных сил N1 также изгибающие моменты М1 , а вектор деформа­ций кроме удлинений лj -искривления Xj, равныеM;IEJJ.Поэтомувозможная работа внутренних сил здесьт(6А=-!i=lN1N11~/1+М!М! 1 )~/11•(2.47)jПри этом считается, что на каждой длине 11 продольные силы N1и моменты М1 сохраняют постоянные значения.При переменных по длине стержня усилиях N1 и М1 стерженьможно разбить на большое число участков, в пределах которых уси­лияможно считатьпостоянными.Переходя к пределу при бесконечно большом числе участков,получим вместо (2.47) формулу, в которой суммы заменены инте­гралами:т11(N!N!IбА=-! ~i= 1§ 25.~/о1+ M}MJl)EJdx.(2.48)1Учет хасатеп:ьных вапряжевий при поперечномизгибе стерживИзменения изгибающих моментов по длине стержня сопровож­даются появлением поперечных силQ= dM/dxи вызываемых ими касательных напряжений.

Касательные напря­жения также вносят свой вклад в работу внутренних сил, но ихвлияние в обычных длинных стержнях из изотропного материаланевелико, и им в большинстве случаев можно пренебрегать. Каса­тельные напряжения могут иметь существенное значение при опре­делении работы внутренних сил в анизотропных элементах с малыммодулемсдвига,например,вотносительнокороткихдеревянныхбалках, а также в стержнях двутаврового сечения с малой толщинойстенки, где касательные напряжения достигают значительной ве­личины.Работа касательных напряжений может быть учтена по формулеЖуравского:т=гдеJ(2.49)-момент инерции сечения стержня относительно централь­ной оси инерции;68QS/(Jb),S-статический момент относительно той же осичасти сечения,расположенной ниже волокна,ляются касательные напряжения-r;рассматриваемого волокна.

Вывод формулысахсопротивленияв котором опреде­Ь -'Ширина сечения на уровне(2.49)приводит~я в кур·материалов.По аналогии с работой нормальных напряжений удельная энер·гия касательных напряжений в упругом материале-A~=(l/2G)-r 2 ,где(2.50)G-модуль сдвига.Погонную работу касательных напряжений, приходящуюся наединицу(2.50)длиныстержня,получим,проинтегрироваввыражениепо площади поперечного сечения,А~ = - 2~ ~ • 2dF.FПодставив сюда(2.49),получимА~=- 2 ~~~ ,..~;:(2.51)dF.Обозначим а безразмерную величину~~ ~;: dF=a,Fзависящую от формы поперечного сечения. Тогда формулуможно представить(2.51)в видеА~ =-Q2 a/(2GF).Коэффициент а учитывает неравномерность распределениятельных напряжений по высоте сечения.Для прямоугольного сечения (рис. 80)hа=bh\ (bu (h/2-u/2]2 Ьd(ьhэ 112)2 ~ь•иh= 1/~4 ~и,каса­=h(u(h-;u)J2du= ~~ ~ (h2u2-2hиз+u1)du= ~следовательно,('2 .52)Для двутаврового сечения с очень тонкой стенкой и компакт­ными поясами (рис.

81) распределение касательных напряженийпо высоте будет постоянным:QF 0 H/2Q-r= 2F 0 (H 2 !4)b0 = НЬс'Здесь Fn- площадь сечения пояса; Н- расстояние между цен­трами тяжести сечений поясов;. Ь~: - толщина стенки.69Касательные напряженияв поясах здесь можно считать рав­ными нулю. (Это не относится к широким поясам с малой толщинойлиста.)Погонная работа касательных напряжений в рассматриваемомстержне будет~IQIHАп = - 2 Н 1 Ь 1 GогдеFc =НЬс= -Ql2GF '(2.53)сплощадь сечения стенки балки.-_[«:::.~:::,'~-с:~..с:\FaРис. В!h.Pvc.

80Формулу(2.53)можно представить в виде [ер. с(2.52)]А~ = - Q2a./(2GF),где а= F IFc-отношение площади всего сечения к площади се­'lения стенки.Имея выражение погонной работы касательных напряжений,легко перейти к полной их работе и, добавив последнюю к работепродольных напряжений (2.47), получить выражение для работывсех внутренних напряжений в виде,,1 \ ( NjА=-2 ~ EF 1м1aQ1 )+ EJ1 + GF dx.Аналогично возможная работа внутренних сил с учетом каса­тельных напряжений выразится формулой1J:.A _v§ 26.'\1~ (N}N} 1+ М}МР- - "- ~---и-Elf+ aQ}QJI)dGГ х.Опредепевие перемещеввй по деформацввмПеремещения по заданным деформациям могут быть найденынепосредственно из уравнений (2.23).

При этом деформации могутбыть заданы произвольно лишь в n элементах, где n - число сте­пеней свободы упругой системы, поскольку т - n уравнений (2.11)70(при т> п)определениялой (2.43).являются следствием остальных п уравнений. Дляперемещений можно такжевоспользоваться форму­Более простой способ нахождения перемещений следующий.Составим условие равенства нулю возможных работ внутреннихи внешних сил:nт~ Р 1 и1 - ~ N/J...1 =0.1=1(2.54)j=lПоложим значение Pk = 1, а остальные внешние силы Р 1 (i =1= k)примем равными нулю. Обозначим внутренние силы, вызываемыетакой нагрузкой, N kJ· Тогда равенство (2.54) примет видтиk- ~ Nk/A1 =0./=1Эгот способ определения перемещений называется с п о с о б о мМор а и формулируется следующим образом: чтобы найти пере­.мещение иk по заданны.м деформациям элементов 'J.

. 1 (j1, 2, ... , т),надо придожить к системе единичную внешнюю силу Pk1, сов­падающую по направлению с перемещением иk, и определить внутрен­ние силы Nki• вызываемые этой силой в элементах системы. Послеsnwгo искомое перемещение находится по формуле==тиk= ~ Nkj'J...j.(2.55)/=1Если речь будет идти об определении обобщенного перемещ~нияYk•то единичное усилиеQkдолжно быть сопряженным сYk·Для балочных и рамных систем, в которых стержни работаютне только на сжатие и растяжение, но и на изгиб, возможная ра­бота внутренних сил выражается формулой (см.§ 23)li- ~~ (Mx+Ne)dx,огде х- искривление оси стержня; е- осевая деформация.

Еди­ничная внешняя сила,у,М1направленная вдоль искомого перемещениявызывает напряженное состояние с=(2.55)М 1 (х) и продольными силамиN1изгибающими=N1моментами(х). Поэтому вместобудет1}у=~~ (M 1 x+N 1e)dx.(2.56)о(Влиянием поперечных сил на перемещения обычно пренебрегают.)П р и мер ы. 1. В ферме, nоказанноil на рис. 82, ВСJiе.[lствие неточиости изго­ТОВJJения nаиели нижнего nояса оказались длиннее на 1 см.

OnpeiMHM возник­wее в результате этого nровисаиве у срелнего узла С.71Будем считать, что стержни нижнего пояса получили абсолютные удлине·ния Л1 см. Нагружая ферму единичной вертикальной силой в узле С, полу­=чаем усилия в стержнях АВ и: 3 = 1.По формуле(2.55)!1 =о.DE,равные0,5, а в стержнях ВС и CD 0,5·6:получаем5.

1+ 1 • 1 + 1 • 1 + о. 5 • 1 =2. В Г-образной раме, изображенной на рис.зонтальное смещение !! точки А.83,3 см.а, требуется найти гори­fЭпюры моментов и нормальных сил от заданной нагрузки q показаны нарис. 84, а, б, а от единичной горизонтальной силы Р1, приложенной по на­правлению искомого смещения (рис. 83, б), - на рис. 84, в, г. Кривизны х равнымоментам, деленным на изгибную жесткость EJ, а удлинения е - нормальным=а)8}1Рис.84силам, деленным на осевую жесткостьEF.Поэтому формула(2.56) приобретаетвидl.1 = ~ ~[M 1 M/(EJ) + N 1N!(EJ)] dx.(2 .

..>7)оЗдесьМ=(qll/2) (lx-xs); М 1 =Х-в ригеле;N = - ql/2; N 1 = 1- в стойке.Продольные· силы в ригеле и моменты в стойке учитывать не приходится,так как соответствующие произведения в (2.57) обращаются в нуль. Теперь по­лучаемНиже будут даны эффективные методы вычисления интегралов, подобныхдля нанболее nростых BII,!!.OB нагружения рамных и балочных систем.72.(2.57),Привцип симметрии§ 27.В конструкциях часто nриходится иметь дело со схемами, в ко­торыхстроениеконструкции,т.

е.сочетаниеееэлементов,имеетодну или несколько осей симметрии. Для случая, когда внешняянагрузка обладает той же симметрией, что и конструкция, все де­формации и nеремещения системы, так же как и расnределение вну­тренних сил, должны nодчиняться этому условию симметрии. В дру­гихслучаях,когданасиммет­ричную конструкцию действуетJи8аннаяобратносимметричная нагрузка(т.

е. такая, которая во взаимнонигрузкqсимметричныхточкахимеетодинаковуювеличину,ные знаки),деформации,nере­внутренниесилымещенияинораз­должны быть обратносимметрич­ными.Несмотря на nростоту и оче­видность этих двухони оказываютсяnринциnов,оченьnлодот­ворными в расчетах, особеннодля линейнодеформируемыхсистем, где сnраведлив nринциnнезависимости сил и любую наг­рузку можно nредставить в видесуммы двух слагаемых:симмет­OфamнocuммcmptNtlfJifричной и обратносимметричнойнагрузок,как,казана на рис.наnример,вывести·85.При;щиnы симметрииможнонагрузкиnо­излегкоусловиями­нимума nотенциальной энергиисистемы. Наnример, в случаесимметричногонагруженияботана 'обратносим­нагрузкиметричныхnеремещенияхра­Puc.35сис-темы равна нулю.