Ржаницын А.Р. - Строительная механика, страница 8

Пренебрегаяэтими моментами, nриходим к схеме шарнирно-стержневой системы,nодобно тому как это nроизводится и для nлоских ферм.Число стеnенейсвободышарнирно-стержневойуnруго-nодат­ливой системы равно числу узлов, умноженному на три, минусчисло жестких оnорных стерженьков. Стеnень изменяемости равначислу степеней свободы минус число уnруго-nодатливых стержнейи стерженьков. Отрицательная стеnень изменяемости равна по аб­солютной величине стеnенистатической неоnределимостисистемы.Таким образом,длясте­nени изменяемости шарнирно­стержневойной системымулу (1.4б):nространствен­nолучаем фор­n=ЗУ-С.Рассмотримчастныйслучайпространствеиной шарнирно-стерж­невой системы, стержни которойявляются ребрами '_'многогранникаPIIC.

56с треугольными гранями (рис. 68). Умножая число граней этого многогранникана три, получаем удвоенное число ребер (поскольку каждое ребро ограничивает двесмежные грани). Следовательно, для данной стержневой системы можно написать:3Г-2Р=0,(1.13)где Г - число граней; Р - число ребер.С другой стороны, для любого многогранника справедлива теорема Эйлера,согласно которой(1.14)Г+.У-Р=2.Умножим равенство(1.14)на три и вычтем из него(1.13),получим3.У -Р=6.Число стержней,включаяОгсюда, согласно(1.14)шесть опорных стерженьков,С=Р+6.и(1.15),находимn=(1.15)О, т. е. система является неиз­меняемой и статически определимой.§ 31.Расчет статичесхи определимых шарвирво-стержневыхпространствеиных системПри расчете системы методом разрезов для отделенной частисоставляется шесть уравнений равновесия, а при методе вырезанияузлов -длякаждого узла триуравнения.41Если в узле сходятся только три стержня, не лежащих в однойплоскости (рис.

69), то внешняя сила, приложеиная к этому узлу,легко может быть разложена на направления стержней и такимобразом могут быть найдены усилия в последних. Если же этасила равна нулю, то усилия во всех трех стержнях будут отсут­ствовать.Если все сходящиеся в узле стержни, кроме одного (А, рис.70),лежат в одной плоскости, усилие в этом одном стержне будетравно нулю, когда внешняя сила, приложеиная к узлу, действуетв плоскости расположения остальных стержней.Рис.ЕслиРис.7071группа стержней лежит в одной плоскостинеизменяемуюстатическиопределимуюсистему,тои образуетэтасистемаможет быть рассчитана на часть нагрузки, действующую в пло­скости системы независимо от других стержней, как плоская ферма(рис.

71). На этом основан метод расчета путем разлqженияпространствеиной статически определимой системы на плоскиесистемы.Этииподобныеприемыоблегчаютрасчет пространствеинойстатически определимой системы, однако и в общем случае состав­ление системы уравнений равновесия по числу неизвестных усилийв стержнях не представляет принципиальных затруднений. Необ­ходиматолькопроверкатого,неявляетсялипространствеинаястатически определимая система вырожденной.Вырожденные системы получаются при ранге матрицы коэффи­циентов системы уравнений равновесия, меньшем числа этих урав­нений. В ряде случаев вырожденную шарнирно-стержневую про­странствеиную систему можно выявить с помощью простых призна­ков,42в частности следующих.1.

При рассечении пространствеиной шарнирно-стержневой си­стемы на две части рассеченные стержни можно пересечь однойпрямой.2.Часть рассеченных стержней можно пересечь одной прямой,остальные рассеченные стержни параллельны этой прямой.3.Все рассеченные стержни параллельны одной плоскости.ГЛАВА11ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАСЧЕТА УПРУГИХ СИСТЕМ§ 1.Потенциальное поле cИJIПервичным по отношению к понятию силы является понятиеполя сил.

По л е с и л возникает вследствие различных причин:наличия гравитационного объекта, обладающего свойством притя­Жения к себе, наличия магнита, движения электрического поляи т. п. При движении распределенных масс возникают также инер­ционные поля сил. Поле сил существует само по себе, как объектив­ная реальность, не проявляясь до тех пор, пока в этом поле не появ­ляется объект, подверженный действию данного поля. Тогда у этогообъекта возникает стремление двигаться в определенном направле­нии, определяемом характером поля, что мы и называем с и л ой,д е й с т в у ю щ е й н а о б ъ е к т. Способность объекта воспри­нимать поле сил можно назвать м а с с о й о б ъ е к т а в данномполе, представляющей собой количественную характеристику этойспособности.Рассмотрим потенциальное поле сил, с которым приходитсяиметь дело при статическом расчете упругих систем.

Потенциаль­ное поле сил может быть охарактеризовано скалярной функцией Ркоординат некоторого, например, трехмерного пространства х, у,Р=zР (х, у, z).При изменении координат функция Р получает приращениеdP = jf_ dxдх+ 3.!_ dy + 3.!_ dz.дудzВеличины dx, dy и dz следует считать произвольными. Частныепроизводные дР !дх, дР /ду и дР /дz образуют трехмерный вектор,который указывает, в каком направлении функция Р возрастаетинтенсивнее.Эrот вектор носит названиег р а д и е н т ап о т е н ц и а л ь­н о г о п о л я.

Определив градиент в каждой точке поля, получимвекторное поле, в каждой точке которого задан вектор с состав­ляющими(2.1)Из уравнений(2.1)следует, чтодРх/ду=д2Рjдхду=дРу/дх; дРу/дz=дРz/ду; дРzfдх= дРх/дZ.(2.2)4ЗЭти условия выполняются лишь при наличии скалярной функцииF,удовлетворяющей условиям (2.1 ). И наоборот, можно показать, чтокаждое векторное поле с компонентами векторов Fx, Fy, Fz, в кото­ром выполняются условия (2.2), имеет скалярную функцию F,которая называется п о т е н ц и а л о м п о л я и может быть оп­ределена с точностью до произвольной постоянной путем интегриро­вания выражений (2.1 ).Примером потенциального векторного поля является гравитационное полесил тяжести.

Вблизи поверхности земли это поле выражается формуламиF х == F у""" О; F x=g=const,гдеg-ускорение свободного nадения. Очевидно,ются условия(2.2),что в этом поле выполня­а nотенциальная функцияF=gz+C,z.где С - константа, зависящая от уровня отсчета координатыПотенциальное nоле может быть в nространстве многих nеременных.nример, для функции n перемениыхF=F(u 1 , и 2 ,На­••• , ип)ее производныеQ1 =дF fди 1 ;Q2 =дF fди 2 ; ••• ; Qn-= дF /дипможно считать составляющими п-мерного вектора, которыll образует nотенци­альное векторное поле. Отличительным nризнаком этого nоля являются равенствадQ,;диk= дQkfдu; = д2F /дщди;.§ 2.

ПотенциЗJiьиаи энергия масс и опредеп:еиие силыЕсли в потенциальном поле находятся объекты, обладающиесвойствами масс, то величинаV= 1: т 1 F 1(2.3)nредставляет собой потенциальную энергию масс, являющуюсяфункцией их координат. В формуле (2.3) F1 -значение функции Fв точке расположениямассы т 1 •Изменяя одну из координат какой-либо массы, например коор­динату х 1 массы т;, можно найти частную производную от потен­циальной энергии масс по координате Х;.

Эту производную, взятуюс обратным знаком, можно определить как силу, действующую намассу т 1 в направлении координаты х1 •Таким образом, сила Р х .• действующая на массу по направле-'нию х1 , равна уменьшению потенциальной энергии масс при перемещении массы т 1 на бесконечно малый единичный отрезок dx11:=Рх. = - дV jдх 11=-m;дF;/дх 1 •Массы образуют систему, если они не могут свободно переме­щаться во всех направлениях, а соединены между собой жесткимиили податливыми связями. В этом случае положение масс опреде­ляется координатами u 1 , u2 , ••• , Un, которые представляют собой не­зависимые перемещения системы (n - число степеней свободы си­стемы). Потенциальная энергия масс (2.3) при этом будет функциейтолько n параметров, а именно перемещений и 1 •44Производные от потенциальной энергии масс по каждому пара·метру щ, взятые с обратным знаком, представляют собой внешниесилы Р1, действующие в направлении перемещений и 1 (в дальней·шем такие силы иперемещения будем называтьс оп р я ж е н­н ы м и):Легко видеть, что должны выполняться равенствадР;/диk = дf>k/дU; = - д 2 V /дutдuk.Совокупностьвсехвнешнихсил,действующихнасистему,будем называть в е к т о р о м в н е ш н и х с и л Р; его состав­ляющие в координатах и 1 , и 2 ,Un...

,равны Р 1 , Р 2 ,... ,Pn:(2.4)Потенциальную энергию масс, входящих в систему, в дальнейшембудемименоватьп о т е н ц и а л ь н о йэ н е р г и е йв н е ш н и хс и л.§ 3.Возможная работа внешних свлПусть система получила малые перемещения би 1 , бu 2 , ••• , бип.Потенциальная энергия внешних сил при этом получит приращениеavavavбV =-аби1 +-аби2+·· -+-абип=- Р16и1- P26u2-···-Pn6Un.ll1U2UnЭто приращение можно трактовать как взятую с обратным знакомработу внешних сил, произведенную ими на перемещениях би,.Поскольку данные перемещения могут иметь любые малые значе­ния,то величинуn- c5V=~ P;6Ut(2.5)i=lназывают возможной работой внешних сил на возможных беско­нечно малыхперемещениях.В линейно деформируемой системе бесконечно малые переме­щения можно заменить конечными,б о т ав н е ш н и хс и ли тогдав о з м о ж н а яр а­выразится формулойn- v= ~(2.6)P;U;.i=l§ 4.Вектор внутренних свл иeroсвязьс вектором внешних свлВ каждом элементе системы при деформировании последнеймогут возникнуть внутренние силы.