Ржаницын А.Р. - Строительная механика (1061800), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Положим, что всего в системеможет возникать т независимых внутренних сил (например, т продольных сил в ферме, составленной из т стержней). Каждую из45этих си.тi обозначим N1; (j = 1, 2, ... , т), а всю совокупность внутренних сил назовемв е к т о р о мв н у т р е н н и хс и лN=(Nl, N2, ... , Nт)·Составляющие N1 этого вектора являются функциями n координат, представляющих собой перемещения и 1 , и~, ... , Un системы.Следовательно, и векторNявляется функцией этих координат.При помощи уравнений равновесия можно связать составляющиеN1вектора внутренних сил с составляющими Р; вектора внешних сил (2.4). Например, вырезав мысленно часть системы, на которую действует внешняя сила Р;, и составив условие равновесиявырезанной части в направлении перемещения щ, сопряженногос Р; (как это делается, например, в способе вырезания узлов прирасчете ферм), получиманN 1+a; 2 N 2 + ... +a;mNm+P; =0.Таких уравнений можно составить n по числу независимых составляющих внешних сил.
Таким образом, связь между внутренними ивнешними силами выразится линейными уравнениями:анN1 +a12 N2 + .. .+a1mNm+P1 =0; )а~~~~~ ~2~~ 2 -:-.. ... ~.a~m~~ ~·Р·2 .?;(2.7)OnlNl +an2N2 + ... + anmNm + Pn =о,которые сокращенно можно представить в виде(2.8)гдеана12 ••• а1тА=-а21а22 •••a2m(2.9)матрица коэффициентов уравнений (2. 7).В статически определимых системах число уравнений(2. 7)равно числу неизвестных т.
При тnсистемы> n система будет статиче.ски неопределимой и уравнений (2. 7) будет недостаточно для определения всех внутренних сил N1 по заданным внешним силам Р;.§ 5.Связь между перемещениями систе:ntыи деформациями ее еJiемевтовВ податливых связях, соединяющих диски, блоки илипри перемещениях системы возникают деформации. Еслипредставляет собой стержень с шарнирами по концам, товозникают только деформации растяжения или сжатия; вузлы,связьв нейсвязив виде жестко прикрепленного упругого стержня могут возникать4Ьдеформации изгиба; в податливых связях в виде упругих шарнироввозникают взаимные углы поворота элементов. Наконен, в связяхввидетакназываемыхконечныхэлементоввозникаютсложныедеформированные состояния, которые могут быть описаны системой специальных параметров (см. гл.
XVI).При помощи простых геометрических соотношений можно выразить деформации связей через перемещения системы. В общемслучае деформация Л1 j-й связи выражается через перемещениясистемы некоторой функциейЛ1 =Лj(и 1 , U2 , ... , Un)(j= 1, 2, ... , т).Здесь т- число связей; n- число степенейНапример, если связь в видешарнирноприкрепленногоЛ= (ua- иь)cos Ч'аь- (va-свободы системы.гстержнясоединяет узлы а и Ь, то ее удлинение будет равно (рис. 72)Vь)ьsin Ч'аь(считается, что перемещения малЫпо сравнению с длиной связи). ЗдесьUa - иь - разность перемещений узлов а и Ь в направлении оси х; Va -vь- разность перемещений тех жеузловуголвнаправлениинаклонаосистержня ку;Ч'аь-координатной оси х.
В формуле (2.10) перемещения Ua, иь. Va и Vь обозначеныбуквойис индексами,определенном(2.10)идущимиРис.в72порядке.Уравнения (2.10) для линейно деформируемых систем становятсялинейными и их тогда можно представить в виде:Ьниl+ b12U2 +... + btnUn + Л1 = О;(2.11)Ьт1U1+ Ьт2U2 +... + ЬmnUn + Лm =О.Обычно значительная часть коэффициентов b;k этих уравнений,как и коэффициентов a;k уравнений равновесия (2.7), равна нулю.При т>т. е.
в статически неопределимых системах, деформации Л1 не могут принимать произвольные значения, а должныподчиняться этим уравнениям. Из уравнений (2.11) можно исключить n величин щ и получить таким образом т-п соотношений между деформациями. Эти соотношения называются у с л о в и я м ис о в м е с т н о с т и д е ф о р м а ц и й.n,=В статически определимых системах тn, т. е. число связейравно числу степеней свободы системы.
В этом случае условия совместности деформаций отсутствуют и последние могут приниматьлюбые значения.47При тможет<nиметьчисло связей является недостаточным и системаперемещенияприотсутствиидеформацийсвязей.Такая система представляет собой кинематическую цеnь и обладаетположительным числом степеней общей изменяемости.§ 6.Возможнаs работа внутренних силДеформированные связи и элементы упругой системы обладаюткакой-то величиной потенциальной энергии.
Роль масс здесь играютмолекулы,находящиесявnолемежмолекулярныхсил.Р а б о т о ·Й в н у т р е н н и х с и л называется потенциальная энергия А, накопленная всеми элементами и связями при ихдеформации. Для каждого элемента приращение потенциальнойэнергии при бесконечно малой деформации j-го элемента б'Л1бА 1 = N/JЛ 1 .Отсюда следует, что внутреннюю силу N1 можно определить как.
приращение энергии j-го элемента при единичной бесконечно малойдеформации этого элемента бЛ11.Полная возможная работа внутренних сил системы при малых=ее деформацияхтбА=~ N1 бЛ1 •(2.12),_,В случае линейно деформируемых систем ее можно представитьаналогично(2.6)формулойтА=~ N 1 Л1 •(2. 13)1=lЗдесь т- число элементов и связей, подвергшихся деформации.Из(2.13)следует, что§ 7. Првнцип возможных перемещеввйОбщая потенциальная энергия упругой системы и представляетсобой сумму потенциальной энергии внешних сил V и потенциальнойэнергии внутренних сил А:и=V+А.В состояниях равновесия достигается минимум полной потенциальной энергии, т.
е. имеем условия:и==min;диtди 1 = дV/д~ = .. . =дVfдun =О,и бесконечно малое приращение бU полной потенциальной энергии системы равно нулю:дUдUдUulu2Unби =-д 6u 1 +-д би 2 + ... +-д бип==О.Отсюда следуетСогласнов(2.5)<'>V+<'>A=O или -<'>V=&A.и (2.12), равенство (2.14) можно(2.14)представитьвидеnт~ Р iЬи; = ~ N16'A./=1{=1Мы получили, что работа внешних сил, действующихвесную систему, на любых возможных бесконечно малыхниях равна возможной работе внутренних сил на этих жениях.
Это положение наэываетсяп р и н ц и п ом вн ы х п е р е м е щ е н и й.на равноперемещеперемещео з м о ж·Для линейно деформируемых систем имеем равенствоnт~ Piuli=l§ 8.=~(2.15)NI'AI.i=lДвойствеивость статических в геометрическихуравненийСопоставим уравнения равновесия(2. 7)aнNt + aaN2+· .. +atтNm = - Р1;a21N 1 + ~2N 2 + ...
а2т N т= - Р 2;+J.. . .. . . . . ..... ......(2 .16,йп1N1 +an2N2+·· .+аптNт = - Pnс уравнениями совместности деформаций(2.11)Ьниt + Ь12и 2 + .. -+ ЬtпUп ~- Лt:ь~~~~-~ ь_22~~ ~. _- --~ ь_2п-и~ ~ ~-л~,ЬтtUlJ(2. 17)+ Ьт2U2 + ·•·+ ЬтпUп = - Am•Эти две системы уравнений связаны друг с другом условиемPtut+ Р2и2 + .. -+ Рпип-= 'AtNt + 'А,Д2 + ... + 'АтN т•(2.18)представляющим собой равенство (2.15) в развернутом виде.Подставим в левую часть равенства (2.18) значения Р 1 из уравнений (2.16), а в правую его часть -значения Л1 из уравнений(2.17).
Получим2+· ..- (анN t + a12N 2+ ... + йtтN т) и.- (~.N 1+ ~2N.. . +а2тNт) u2 - ... - (anlNl йп2N2+• .. +аптN т) Un == - (bнUt + b12U2 + ... + ЬtnUп) N t- (b21U1 + b22U2 + ...+... + b2nUп) N2 -.. •- (bтtUt + ЬтаU2 + .. -+ ЬтпUп) Nт•(2.19)Раскрыв скобки, заметим, что коэффициент при произведенииN1ui в левой части равенства (2.19) равен а11 , а в правой части 49Ь11 • Отсюда следует, что Ь1 ;представитьв=а;1 • Поэтому уравнения(2.17)можновиде:UнUlGt2Ul+ + ...
+ GnlUn + лl =О;+ ~2u2 + ... + a,.zUn + л2 =О;a:!1U2)(2.20)a~m~: ~ ~2~~2 :_ ••• •• ~ ~n~~n -~Л~ ~·о:Мы видим, что в уравнениях (2.16) и (2.20) коэффициенты одинаковые, но порядок индексов изменен. Кроме того, система уравнений (2.20) содержит т уравнений с n неизвестными, а система(2.16)- n урщшений с т неизвестными. Матрицы коэффициентовтаких систем уравнений называютсяв з а и м н о т р а н с п он и р о в а н н ы м и,причем одну из них можно получить из другой, заменив столбцы строками, а строки- столбцами.Таким образом, уравнения совместности деформацийпредставитьв следующемматричномможновиде:Атu +Х=О,(2.21)что соответствует матричному уравнению равновесия(2.8):AN+P=O.Здесь Ат -матрица, транспонированная с матрицей Аи- вектор перемещений;r- вектор(2.9);деформаций системы.Используя полученное правило двойственности статическихуравнений равновесия и геометрических уравнений совместностидеформаций, можно одни из этих уравнений получать из других,и наоборот.Пр и мер.
Рассмотрим систему, изображенную на рис. 73, а. Эта системаимеет nять стеnеней свободы: горизонтальные смещения узлов А, В и С и вер-Pilc. 7Jтикальные смещения узлов В и С. Обозначим эти смещения, какрнс.73,показанонаб.Абсолютная деформация удлинения стержняний узлов В и А вдоль длины стержня:Л1(и 1cos а- и 2 sinравна разности перемещеcos а.2 и остальных стержней:Л 2 =и 3 -и 1 ; Л 3 =- и, cos а-и.
sin а; Л 4 = - u&; л.... (из cos ~- и 4 sin ~)-U&COS ~; Л. 6 =- и 1 cos ~-и 2 sin ~Эти уравнения све.qем в таблицу (табл. 1).=а) -и~1Точно так же определяем удлинение стержня501ТаблицаUsи2и!11-cos аsin1о1о1cos ао111sin~ал~оЛtоЛs1л41sinо~1о1cos а1о-cos~о11sin11члены1о1о1-11оо11оиъ1о11cos ~U41ао1Свободные1cos ~ЛъоЛе1Составим теnерь уравнения равновесия внутренних сил с внешними. Вы·резав узел В (рис. 74, а) и спроектировав все силы на направления у 1 и у2 , nолучимдвауравнения:Р 1 =N 1Точно так же(рис. 74, б, в):Р 2 =-cos a-N 2 -N 6 cos ~;составляемуравненияN 1 sin a-N, sinравновесиядляВ.узловPa=N 2 -Na cos а+Nъ cos ~; Р 4 =- N 8 sin а-Nъ sinРъ=- N1 cos а-Nъ cos ~-N 4 •Полученные уравнения равновесия сведем в таблицу (табл.С-cos аsin а1N2 111о1-1о1оо1cos а1Nз1о111111оcos а1о11о1оо1N,111sin а1оооо1NъN411112).-cos ~sin1~cos ~2Свободныечленыcos ~pl~PssinА~;Таблица.
NlиоРзор4оРъ11Мы видим, что строки коэффициентов в табл. 2 совпадают со столбцамикоэффициентов в табл. 1, а столбцы- соответственно со строками.бJ§ 9.Двойственные уравнения в статическиопреде.пимых системахВ статически определимой системе число уравнений равновесия равно числу элементов, т. е. числу внутренних сил. Следовательно, матрицы А и А т уравнений (2. 7) и (2.20) будут квадратные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
