Ржаницын А.Р. - Строительная механика, страница 10

Из уравнений (2.7) при этом можно получить выражения уси­лийN1через внешние силы Р;:а; 1 Р 1 +a;~P 2 + ... +a;nPп+N 1 =0;а;,Р 1 +а; 1 Р 2 + ... +а;пРп+ N 2 =0;1....................а~ 1 Р 1 +а~,.Р 2 +· ..+а'ппРп + Nп =О,причем матрица А' коэффициентовaik являетсяa,k:(2.22)обратной по отно­шению к матрице А коэффициентовА'= А- 1 •=Точно так же уравнения (2.20) при nт можно решить относи­тельно и;, получив зависимости и; от Л; с матрицей коэффициентов,обратной А т. Известно, что матрицы, обратные двум взаимно трана­понированным квадратным матрицам, будут также взаимно транс­понированными. Поэтому величиныu1будут выражаться через Л1уравнениями+а;,Л2 +... +а~,Лп + и1 =О; Ja;'ilлi +~~~~ + ... + а~~~'Лп + и 2 =О;......

..... .. ... . ..а;,лia;пf..J(2.23)+ ~n~ + ... + а'пп'Лп + = 0.UnИз уравнений (2.22) видно, что если все внешние силы Р1 равнынулю, то и внутренние силы N1 в статически определимой системедолжны быть равны нулю. Они останутся нулевыми и в тех слу­чаях,когда будут искусственно вызваны деформации отдельныхэлементов, например,путем их нагрева или в случае осадки опор.Если же на систему действует нагрузка, то внутренние силы небудут изменяться от действия иных факторов, не связанных с этойнагрузкой.Из уравнения (2.23) вытекает другое свойство статически опреде­лимых систем,которое закпючается в том,=что при отсутствии де­формаций элементов Л1О все перемещения и; обращаются в нуль.т.

е. система является геометрически неизменяемой.52§ 10.Вырожденвые системыЕсли в статически определимой системе определитель уравне·ний равновесия равен нулюана12D= а21~2. , • aln~п =О,•••(2.24)то внутренние силы N1 могут иметь отличные от нуля значенияпри отсутствии нагрузки Р 1 • Примеры таких систем показаны нарис. 75, а также на рис. 31.В первой системе (рис.

75, а) узел С имеет две степени свободыи число стержней соответствует числу степеней свободы системы,однако при нагреве стержней в них возникает сжатие. В системе,показаиной на рис. 75, б, осадка средней опоры вызовет напряже­ния изгиба в балке, а в системе, показаиной на рис. 75, в, напря­женное состояние появится при сближении точек А и В.оа)___.соо--в-1,А_,АPvc.75Легко проверить, что во всех этих случаях число уравненийравновесия на единицу меньше числа неизвестных.

Так, в первойсистеме пропадает условие равенства нулю суммы проекций на вер­тикальную ось усилий, действующих на узел С, во второй- усло­вие равенства нулю моментов всех сил относительно точки О,а в третьей- то же, относительно точки В. Можно считать, чтонедостающими будут уравнения с нулевыми коэффициентами привсех неизвестных; тогда определитель полной системы уравненийравновесия будет равен нулю. Он будет равен нулю и при другихспособах составления полной системы уравнений равновесия дляданныхслучаев.В общем случае анализ работы системы с числом элементов,равным числу стеленей свободы, можно провести аналитически,используя определитель системы уравнений равновесия.

Еслиранг определителяствиинагрузкиD (2.24)можетравенn - 1,возникнутьто в системе при отсут­одно состояниесамонапряже­ния, при котором соотношения между внутренними силами оказыва­ютсярзвнымибЗгде А 11 -миноры определителядены для любой строки i, j = 1,равном n - k, возможнопряжения *.(2.24), которые могут быть най­2, ... , n. При ранге определителя,k линейно независимых состояний самона-_При наличии нагрузки усилияN1 определятся поN1= - DpJ/D = aj 1P 1 + aj 2 P2 + ... +а/пР п•формулегде DPJ -определитель, получаемый из определителя D заменойj-го столбца столбцом свободных членов Р; в уравнениях (2.7);aj1 - коэффициенты уравнений (2.22).

Если D = О, то значенияусилий N1 стремятся к бесконечности и лишь в частных случаяхравенства нулю DPI значение соответствующего усилия N1 можетостатьсяконечным.Определитель системы уравнений (2.7) имеет то же значение,что и определитель системы уравнений (2.20) (при nт), так какпри транспонировании квадратной матрицы значение ее определи­теля не меняется. Следовательно, в системе, у которой DО,==возможны отличные от нуля значения перемещенийствии деформаций элементов.Приранге определителя,равномn- 1,u1при отсут­система обращаетсяв механизм, а соотношения между этими перемещениями будутби1: би 2 :••• :бип = А11: А 21: ...

:AnJ•причем миноры А 11 могут быть взяты для любого столбцаj опреде­лителя D. При ранге определителя, меньшем n- 1, система полу­чает несколько степеней свободы при условии абсолютной жестко­сти элементов. По этой причине статически определимая система,у которой D = О, называется мгновенно изменяемой системой.Термин «мгновенно изменяемая система», на наш взгляд, не явля­ется удачным и вместо него лучше ввести термин «В ы р о ж д е н­н а яс и с т е м а» по аналогии с подобной терминологией в мате­матике.Изменяемость вырожденной системы сохраняется лишь с преде­лах малых по сравнению с основными размерами системы перемеще­ний.

При больших перемещениях значения коэффициентов а 11 мо­гут измениться и условие D = О нарушится. Тогда система восста­новит свою неизменяемостьистатическуюопределимость.Данные результаты можно распространить на статически неопре­делимые системы, у которых т> n,н на изменяемые системы,у которых т< n. Если ранг матрицы коэффициентов уравненийравновесия меньше n, то система приобретает дополнительныесвойства изменяемости без деформирования ее элементов. Одновре­менно появляется возможность возникновения в ней состояний са­монапряжений, т.

е. фактическая степень ее статической неопреде­лимости*повышается.Минор элементаiiравен оnределителю, nолученному из заданного оnре­делителя вычеркиванием i-й строки и j-го столбца и умноженному на (-J)I+J.Рангом оnределителя или матрицы называется нанбольший порядок,могут иметь их миноры,54не обращающиеся в нуль.который§ 11.Врис.Расчет вырожде!,fвой системыкачестве примера рассмотрим систему, показанную наа.

Методом вырезания узлов составим уравнения равно-76,а)Рис. 7/lвесияприотсутствиинагрузки:+- N 7 cos а+Nв =0;-N 7 sina+N2=0;N 8 cos ~- N 6 =О;N5 N 7 cosa= О;N 7 sina+N 1 =0;- N 5 - N 8 cos ~=О;-N 8 siп~+Nз=0.N 8 sin~+N~=0;Определитель этих уравнений00001о о о1оcosaОооsinсхОо о о о-1ооD= О О О 1ОООО О О ОООО ООо о о ооО ОО11О-siп ~1 - cos аО - sin а-1оООcos ~ООcos ~- sin~Разлагая его по элементам первого столбца, затем второго, третьегоичетвертого,получаемОD=о-ооcos аО-11 . 1 .

(- 1). 1ООО-cos~о-1оcos ~cos схоcos а - cos ~1 - cos схоОcosa -cos ~1 -cosa-1ооо1 -cosacos ~оо -1cos ~= О+ О+ О ·-О+ cos а cos ~ - cos а cos ~ =О.оСледовательно, система является вырожденной.=Найдем миноры, например, дляпервой строкй определителя:О О ОООsi11о о оа--1оо1оооАн= О О ОО1 - cosaО -- sin ао о1О ООо о оо-1ооооо1оО-- cos рsinрооcos р-- sin рsin а О=1(--1)·1·1 1--cosp О=sinacosp;1оcos р1о ооооsin ао о о -1оо-- cos ро о 1оооsin РА12=-- О О ОО1 --cos а оо о ооо -- sin аоо о оо --1оcos ро 1 оооо-sinpо1 -- cos а=--1(-1)(-1)(-1)О --sina О= - sin а cos Р:--1оcos рОдалее таким же образом:Аtз = - cos а sin р; А 14 =At 6 =-- cbs acos Р;cos а sin р; А 15 = cos а cos р;А1 7 = -cos Р: Ats=- cos а.Итак, в рассматриваемой системе возможно состояние самона­пряжения:N1 =Csinacosp; N2 =-Csinacosp; N3 =-Ccosasinp;N 4 =С cos asin р; N 6 =С cos acos р; N 6 =-С cos acos р;N 7 =-С cos р; N 8 =-С cos а,где С - произвольный множитель.Определяя миноры А;1 (лучше всего для последнего столбцаn), получим соотношения между перемещениями узлов при от­сутствии деформаций стержней.

Эrи перемещения по горизонталибудут одинаковые, а по вертикали равны нулю (рис. 76, 6).j=§ 12.Матрица внешней жеспости упруrой системыВ системе с•.-nстепенями свободы нагрузка может быть представ­лена п-мерным вектором с составляющими Р 1 , Р 2 , ... ,Pn,которыепредставляют собой вirешние силы, приложеиные по направлениямсоставляющих вектора перемещений и 1 , и 2 , ...

, Un.56Если система упругая и геометрически линейная, то междусилами Р; и перемещениями и; должны существовать зависимости:Рt=Гниt+г12и2+···+г1пUп;Р2 = Г21U1 + Г22U2 + · · · + Г2п1Jп;; n1(2.25)-=·Г~1~1 ~·Г~2l~2 ~ .••. ~·Г ~n~n~Каждый коэффициентru,этих зависимостей можно трактоватькак силу, приложеиную по направлениюiи вызывающую переме­щение по направлению k, равное единице.Как было установлено в§ 2 гл. 11, вектор внешних сил образуетпотенциальное векторное поле в пространстве переменных и 1 , и 2 , ...

,••• , Un· Поэтому должно бытьдР;/диkоткуда следует г;,.== дPkfдu;,гkl·Таким образом, матрица коэффициентов г 1 k является симмет­ричной относительно своей диагонали.Квадратная матрица коэффициентовГпГ12 • • • Г1пR=Г21Г22•••Г2ппредставляет собой матрицу внешней жесткости упругой системы,через которую выражается связь между вектором перемещенийи вектором внешних сил Р:P=Ru.§ 13.Матрица ввеmвей податJIИвости упругой системыУравненияи тогда(2.25)получимможно решить относительно и 1и.=бнР1+баР2+ ... +б1пРп;и~. ~1~~~:-./)~2~2.~·:·:-.б~п:~;Un = бnlPlКоэффициенты61k(i=1, 2, ... , n),зависимости:1( 2.26)+ бп2Р2 + ... + бnnP n·образуют матрицу внешней податливости системыL=бнб12 · · · б1пб21б22 ...

б2nбnlбn2 ••• бппкотораяявляетсяобратнойматрицейпо отношению к матрицеf;J7внешней жесткости системы:L=R- 1 •Коэффициенты 6ik представляют собой перемещения по направ­лениям k от единичных сил, приложеиных по направлениям i.Связь между коэффициентами 61k и r1k выражается известнойформулой, применяемой для решения систем алгебраических ли­нейных уравнений:гдеГнГ12 • • • Г1пIRI=Г21Г22 • • • Г2пГп1Гп2 • • • Гпп11-- определитель матрицы R, а Rk 1определитель матрицы,получаемой из матрицы R вычеркиванием k-й строки и i-го столбцас последующим умножением на (-1 )1+k.Так как ввиду симметрии матрицыRто(2.27)Следовательно, матрицавнешней податливости упругой системытоже симметричная.§ 14.Теоремы о взаимности перемещенийи взаимности реакций=Положим в уравнениях (2.26) силу Р 11, а остальные внеш­ние силы равными нулю.

Тогда перемещение иk по направлениюсилы Pk будет равно 6kl· Если же положить силу Pk1, а все=остальныевнешниесилыравныминулю,топеремещениеи1понаправлению силы Р 1 будет равно 61k. Ввиду симметрии матрицыкоэффициентов уравнений (2.26) 61k = 6k 1 и можно сделать следую­щий вывод, называемый в строительной механике т е о р е мойо в за и м н о с т и пер е м еще н и й: перемещение иk упругойсистемы под действием силы Р k равно перемещению и 1 под действиемсилы Pk1 п·о направлению силы Р 1 •Например, в неразрезной балке, показаиной на рис. 77, прогибу~ в точке А от единичной силы, приложенной в точке В, равен=прогибуYkв точке В от единичной силы, приложенной в точке А.Аналогично,в уравнениях(2.25)можно положить перемеще­ние и 1 равным единице, а все остальные перемещения равными нулю.Тогда сила Pk будет равна rki· Той же величине rki =сила Р 1 , еслиостальные58r;k будет равнаположить равным единице перемещение иk, а всеперемещенияравныминулю.Придав перемещениям заданные величины, следует закрепитьсистемужесткимисвязямиПри этом силы Р; иPkпонаnравлениям этихперемещений.можно будет рассматривать как реакциив связях, введенных по наnравлениям перемещен11й и; и~А ~1~В;-J;!!.#,вuk.~~АРис.

77Равенствоваетсяrki =вr;kт е о р е м о йостроительноймеханикев з а и м н о с т иобычноназы­р е а к ц и й.Для иллюстрации покажем JWa состояния двухпролетной балки(рис. 78). В первом состоянии (рис. 78, а) единичное перемещениепридано опоре А, во втором (рис. 78, б)- опоре В.