Ржаницын А.Р. - Строительная механика, страница 6

Необходимо лишь вычислить зна­внутреннихсилвдостаточномколичестветочекосистержня и построить искомый график или эпюру, используя вкачестве оси абсцисс ломаную или криволинейную ось стержня.а)о)UDIIIIIIШIIIIIIШШlЩШ11Шtgrx2 - igrx1 =РРис."t l11!1:1~3'1-/ХАPuc.J5®~Рис.J5Q>O'\_,/·/'\Q>OРис.J7Эпюру моментов принято откладывать со стороны тех во­локон стержня, которые изгибающий момент растягивает, т. е.,иначе говоря, с:со стороны растянутого волокна».При построении эпюр моментов полезно помнить ряд пра­вил, облегчающих это построение и проверку правильности.1. На прямолинейном иенагруженном участке стержня эпю­ра моментов прямолинейна.2.В точке приложения сосредоточенного внешнего моментаэпюра получает скачок на величину этого момента (рис.

34, а).3. В точке приложения сосредоточенной внешней силы Р,перпендикулярной оси стержня, эпюра моментов имеет пере­лом,направленныйостриемвсторонудействиясилы(рис. 34, б). Изменение тангенсов уrлов наклона эпюры в точ­ке ее перелома равно силе Р.274. На участке, где пряложена равномерно распределеннаянагрузка q, эпюра моментов очерчена по параболе второй сте­пени с выпуклостью в сторону действия нагрузки и со стрел­кой, равной qa 2 /8 (рис.в).'34,В точках, где нет сосредоточенной нагрузки, эnюра мо­ментов не имеет перелома (рис. 34, а, в).Эпюры поперечных сил можно строить непосредственно по5.вычисленнымихиспользоватьужезначениямв точкахпостроеннуюдлиныэпюрустержня,моментоваиможноизвестноесоотношениеQ=dM;ds,s- координата,гдеотсчитываемая вдоль длины стержня.Там, где моменты возрастают, поперечная сила положитель­наи ее следовало бы откладывать в сторону положительныхкоординат, т.

е. в горизонтальных балках вниз. Однако уста­новилосьсогласнодругоеправилокоторомупостроенияположительныеэпюртальных стержнях откладываются вверхняхиногонаправления- вкакую откладываютсяпоперечныхпоперечныесторону,силы(рис.35),всил,горизон­а в стерж­противоположную той,положительныеординатыэпюрывмомен­тов. Другими словами, там где моменты возрастают по абсо­лютнойстержня,величинеординатывсторонуэпюрположительногомоментовиваются в разные стороны (рис. 36).Вообще же для знака поперечной силыправило:поперечнаясилавотсчетапоперечныхсечениисилдлиныотклады­существует такоестержняположительна,если она стремится вращать разделенные данным. сечением.части стержня по часовой стрелке (рис.

37).Эпюры продольных сил целесообразно строить симметрич­но по отношению к оси стержня, обозначая знаком плюс рас­тягивающую,азнаком§ 20.минуссжимающуюпродольныесилы.Огибающие эпюрыОбычно конструкции проектируют не на один вид нагрузки,а на несколько. Каждый вид нагружения вызывает свое рас­пределение усилий, свои эпюры моментов, поперечных сили т. д. Может получиться, что в одном сечении максимальныймомент создает одна нагрузка, а в другом- другая.

Посколькудляпроектировщикашиеусилияглавныйнезависимоотинтерестого,какаяпредставляютнагрузкаихнаиболь­вызывает,часто в балках и рамах строят огибающие эпюры максималь­ных и минимальных моментов. Это построение не представ­ляет труда. На рис.38показана огибающая эпюра моментовв однопролетной балке, которая попеременно может нагру­жаться равномерно раснределенной нагрузкой н сосредоточен­ной силой.28Представляет интерес огибающая эпюра моментов в одно­пролетной балке при действии сосредоточенной силы Р и лю­бой точке пропета. Эта огибающая имеет вид параболы(рис. 39).Действительно, наибольшиймоментвсечениискоордина­той х возникает при располо­жениигрузанадэтимсече­нием и равенMmax= Px(l-x)/1.Это и есть уравнение огибаю­щейэпюрыдляданногослу­чая.Огибающие эпюры момен­тов особенно удобны для опре­деления необходимого сеченияарматуры в железобетонныхбалках.§ 21.~111111111111!11~~111V1Ливии вn:ИJIИиsПринципсилнезависимостирас­действияпозволяетчленить нагрузку на отдельныечастиивестирасчетпорозньна действие этих частей.

Про­стейшей элементарной нагруз­кой является единичная сосре­доточеннаясила,Рис.38рприложеинаяв определенной точке и по оп­ределенному направлению. Изсосредоточенныхполучитьлюбуюв том числе ипутемсилможнонагрузку,распределенную,предельногопереходакбесконечной сумме бесконечномалыхсосредоточенныхсил.Поэтому, имея расчет системына действие единичной сосре­точенной силы, приложенной в~"'любом месте и по любому на- · ·Рис.пправлению, мы сможем легко рассчитать системуи на любуюнагрузку.При перемещении точки приложения сосредоточенной силыусилие в Заданном элементе системы, естественно, изменяется.График изменения усилия в заданном ЭJlементе, возникающегоот действия единичной сосредоточенной силы, в зависимостиот координаты точки приложения этой силы называется л и н И·е йв л и я н и яТочнотакд а н н о г ожеможноу с и л и я.определитьлиниювлияниякакого·либо перемещения, например прогиба в определенной точке,от действия единичной сосредоточенной силы, приложенной вразличных местах системы.Линии влияния нашли применение главным образом в ба­лочныхсистемах,мещатьсявдольв которыхпролета,сосредоточеннаясохраняясвоесиламожет пере­направление.При помощи линий влияния легко рассчитать балки на под­вижнуюнагрузку,например,ввидепоездаилипотокаавто­машин на мостовом пролете.а.1t -ао}о}а1Нетрудно построить линии влияния усилий в простых статиче­ски определимых балках.

Например, линию влияния изгибающегомомента в сечении, расположенном на расстоянии а от левой опорыоднопролетной балки, изображает график функцииМ а= (l- а)xtlпри О< х <а;Ма =а (l-x)f/ при а<х< l,пролет балки (рис. 40).Действительно, опорные реакции балки при единичной сосредо­точенной силе, приложенной на расстоянии хот левой опоры, равны:гдеl-RA=(l-x)tl;Rв=X/l.Для сечений, расположенных слева от точки приложения сил(а< х), изгибающий момент Ма равен RAa, а для сечений, распо­ложенных справа от этой точки (ах), М аR 8 (l - а) Линиявлияния здесь имеет вид треугольника с вершиной в заданномсечении а.

Максимальная ордината линии влияния при ха>===~.-а)atl.Линия вли&ия изгибающего момента в консольной балкеMmaxдля сечения, находящегося на расстоянии а от свободного конца,выражается формулами:Ма=х-а при х<а;Ма=О(рис.3041).при х>аЛегко построить также линии влияния поперечной силы в про­извольной точке, находящейся на расстоянии а от левого концаоднопролетной или консольной балки. Эти линии влияния выража­клсяуравнениями:для однопролетной балки (рис.42,а)Qa = - Rв = -х/1 при х< а;Qa=RA=(l-x)/1 при х>а;для консольной балки (рис.Qa = 1Qa=O42, 6)при х <а;при х>а.При х = а линии влияния поперечных сил имекл разрыв на ве­личину,равнуюединице.Несколько сложнее построение линий влияния усилий в эле­ментах статически определимых форм, арок н других систем.

Ещеболее сложными методами строятся линии влияния в элементахстатически неопределимых систем. В общем случае ординаты линийвлияния можно вычислить по точкам, прялагая каждый раз еди­ничную силу в соответствующей точке и определяя рассматривае­мое усилие обычным расчетом. В § 12 гл. IV будет дан другой об­щий метод построения линий влияния, обладающий большой на­глядностью.Заметим, что линии влияния усилий в статически определимыхсистемах при движении груза по прямой изображаклся отрезкамипрямых линий, в то время как линии влияния усилий в статическинеопределимых системах, как правило, криволинейные.§ 22.Нахождение усJШИй по .ПIIIIIIJIM в.пиявияЕсли нагрузкагрузов Р 1 , Р 2 , ••• ,представляет собой систему(рис.

43), то усилиеnсосредоточенныхPnN=Pl!Jl+P2Y2+··-+PпYп=~ Р;у;,(1.5)1=1где у1 -ординаты линий влияния nод грузами.Для распределенной нагрузки q (х) сумма заменяетсяинте-гр аломьN = ~ q (х) у (х) dx,(1.6)агде а и Ь - координаты начальной и конечной точек нагрузки.Для равномерной нагрузки qconst=ьN = q ~у (х) dx= qQaь•агде Qаь - площадь, ограниченная линией влияния осью абсциссн ординатами ха и х = Ь (рис. 44).=31Линии влияния позР.оляют легко находить невыгоднейшее рас­положение нагрузки, вызывающее наибольшую внутреннюю силув рассматриваемом сечении.

~о нужно для расчета систем, под­вергающихся действию подвижной нагрузки, напримерконструк­ций мостов.Единичный груз вызывает наибольшее усилие, если он располо­жен в вершине линии влияния, т. е. там, rде ордината ее максималь­ная.Для нагрузки в виде системы связанных между собой сосредо­точенныхгрузов максимальное усилие можно найти,нулю производную от правой части формулыприравняв(1.5):flа:=1: P;yi= О.i=JЕсли вершина линии влияния заостренная, то один из грузов,как правило, должен находиться над ней.В общем случае нагрузки, выражаемой функциейO<t<cq=q(t);(рис. 45), помещаем начало нагрузки в точку с переменной коор•динатой ~- Тогда~+сq = q (х- ~); N = ~ q (х- ~)у (х) dж.Условие максимумаNадает'+'дN /д~=- ~ q' (х- ~)у (х) dx+q (с) у (~+с)- q (О) у(~)= О.(1.7)~В частном случаедNд[q=coпst,q'=О= q [у (~ +с) -у (~)] == О;у (~ +с)== у (~).т. е.

нагрузка должна располагаться так, чтобы ординаты линиивлияния в начале нагрузки хбыли одинаковы (рис.3246).== 'и в конце нагрузки х=~ +оПреобразуем формулучастям:*(1. 7)припомощиинтегрированияпо~-ч<х-<>У<х> 'Г+·~· ч<х-<> у' <х> dx++ q (с) у(~+ с)- q (О) у(~)=Е+с~ q (х- ~)у' (х) dx =О.(1.8)аМы получили, что при невыгоднейшем нагружении интеграл от про­изведениянагрузкинапервуюлроизводнуюотординатлиниивлияния по х должен быть равен нулю.§ 23.Связь между Jiиниями ВJJИявив моментови поперечиыхcRJIМомент в заданном сечении а балки выражается через нагрузку(1.6):и линию влияния этого момента формулойlМ (а) = ~ q (х) Уа (х) dx,огде Уа (х)-ординаты линии влияния моментов в сечении а;l -длина пролета балки.Полеречная сила является производной от моментов:Q= д~а(а)l= ~ q (х) у~ (х) dx.Здесь у~ (х) можно трактовать как ординаты линии влияния лоле­речной силы в сечении а.Таким образом, ординаты линии влияния поперечной силы яв­ляются производными по х от ординат линии влияния .моментав том же сечении,что и поперечная сила.·Применив полученный вывод к формуле(1.8)с заменойNна М,получим, что если нагрузка расположена так, что дает в рассматри­ваемомсечениимаксимальноезначениемомента,тололеречнаясила в этом сечении обращается в нуль:Q = дМ;да =дМ/д~= О,а значит момент будет максимальным не только для данного сече­ния, но и (при данном положении нагрузки) по пролету балки.§ 24.Линии ВJIИЯHRJI при уЗJiовой передаче нагрузкиЧасто нагрузка лередается на конструкцию не непосредственно,а через систему статически определимых балок (рис.

47). Тогдаесли единичный груз находится в начале пролета балки, в точке а(рис.48),то он целиком лередается на основную конструкцию ивызывает усилие, для которого построена линия влияния, численно2А.. Р. Ржаницын33равноеУа-ординате линии влияния, соответствующей а основнойконструкции. Если груз находится в конце пролета балки, то онтакжеполностьюпередаетсянаосновнуюусилие, численно равное Уь· где Уь-конструкцию,вызываяордината линии влияния в точ­ке Ь.