Манжосов В.К. - Расчет статически неопределимой плоской рамы методом перемещений, страница 2

5, в), повернув эту связь на неизвестный пока угол z1. На линейное перемещение узлов 1и 2 наложим связь типа шарнирно-подвижной опоры и зададим этой опоре неизвестное пока линейное перемещение z2. В результате мы получим основнуюсистему (рис. 5, в).Неизвестные перемещения z1 и z2 должны быть такими, чтобы в основнойсистеме моменты и силы во введенных связях были равны нулю:R1 = 0, R2 = 0,где R1 , R2 – реакции введенных связей (для схемы на рис. 5 R1 – реакция связив виде момента, R2 – реакция связи в виде силы).Основная система представляет совокупность однопролетной статическинеопределимой балки 0-1 с опорами типа «жесткая заделка», однопролетнойстатически неопределимой балки 1-2 с опорой типа «жесткая заделка» и шарнирно-неподвижной опорой, однопролетной статически неопределимой балки3-2 с опорой типа «жесткая заделка» и шарнирно-подвижной опорой.Рассмотрим возможные схемы нагружения однопролетных статически неопределимых балок, возникающие при этом опорные реакции и изгибающиемоменты в поперечных сечениях балки.1.3.

Схемы нагружения однопролетных статически неопределимыхбалокДостоинством метода перемещений является то, что при представлении основной системы в виде совокупности однопролетных статически неопределимых балок для каждой из этих балок можно воспользоваться имеющимися табличными данными для определения опорных реакций и построенными ужеэпюрами изгибающих моментов в поперечных сечениях балки.Эти сведения получены путем решения простейших схем нагружения однопролетных статически неопределимых балок на основе использования методасил. Покажем процедуру получения таких данных на примере расчета однопролетной статически неопределимой балки с жестким защемлением и шарнирнойопорой, загруженной моментом.Схема однопролетной статически неопределимой балки с жестким защемлением и шарнирной опорой, загруженной моментом, представлена на рис.

6.8а)б)Рис. 6. Схема однопролетной статически неопределимой балки с жестким защемлениеми шарнирной опорой, загруженной моментом: а) балка с шарнирно-подвижнойопорой; б) балка с шарнирно-неподвижной опоройОднопролетная статически неопределимая балка, представленная на рис. 6,а, имеет одну лишнюю связь; а балка, представленная на рис. 6, б, имеет двелишних связи. По методу сил лишние связи отбрасываются, а их действие заменяется неизвестными реакциями связей, число которых равно числу лишнихсвязей.Схемы однопролетных балок с заменой лишних связей соответствующимиреакциями представлены на рис.

7.а)б)Рис. 7. Схемы однопролетных балок с заменой лишних связей соответствующими реакциями:а) схема балки с заменой шарнирно-подвижной опоры реакцией Х1; б) схема балки сзаменой шарнирно-неподвижной опоры реакцией Х1 и Х2Так как мы пренебрегаем продольными деформациями по сравнению с изгибными, то реакцию Х2 для балки, представленной на рис. 7, б, можно не учитывать. В дальнейшем для балок с жестким защемлением и шарнирной опоройбудем ограничиваться учетом только вертикальной составляющей реакции –реакцией Х1.Так как в сечении В имелась связь в виде шарнирно-подвижной опоры, тозначение реакции Х1 должно быть таким, чтобы перемещение точки приложения силы Х1 в направлении действия этой силы было равно нулю:∆1 = δ11 ⋅ Х 1 + ∆1 р = 0,(1.2)где δ11 ⋅ Х 1 – перемещение точки В от действия силы Х1; δ 11 – перемещениеточки В от действия единичной силы, приложенной к балке (рис.

8, а); ∆1 р –перемещение точки В от действия заданных сил, приложенных к балке (в нашем случае от действия момента М, рис. 8, б).Из равенства δ11 ⋅ Х 1 + ∆1 р = 0 следует, чтоХ1 = −∆1 рδ11.9Значения δ 11 и ∆1 р определим, построив эпюры изгибающих моментов длясхем нагружения балок (эпюры представлены на рис.

8, в, г).а)б)в)г)Рис. 8. Схемы нагружения балки: а) схема нагружения балки единичной силой; б) схеманагружения балки моментом М; в) эпюра изгибающего момента М 1 от действия на балку единичной силы; г) эпюра изгибающего момента от действия на балку момента МДля определения δ 11 и ∆1 р вычислим соответствующие интегралы Мора:EJ δ 11 = ∫ M 1 ⋅ M 1dx ;lEJ ∆1 р = ∫ M р ⋅ M 1dx ,(1.3)lгде EJ – изгибная жесткость поперечных сечений балки, Е – модуль упругости1-го рода материала балки, J – главный осевой момент инерции поперечногосечения.Используя способ Верещагина для вычисления интегралов Мора, находим121l + vlEJ δ11 = l ⋅ l ⋅ l = l 3 ;EJ ∆1 р = M ⋅ ul ⋅.2332∆1 рl + vl 33 Mu (1 + v)= – M ⋅ ul ⋅.

Учитывая, что u = 1 − v ,Тогда Х 1 = −⋅ 3 = ⋅2 lδ112l3 M (1 − v 2 )⋅. Так как X 1 = RB, то можно записать, что2l3 M (1 − v 2 )RB = ⋅.2lОпределим теперь опорную реакцию RА и изгибающие моменты в поперечных сечениях для балки, схема нагружения которой представлена на рис.

9.получим X 1 =а)б)Рис. 9. Схема нагружения балки и возникающие при этом опорные реакции и изгибающиемоменты в поперечных сечениях10Из условия равновесия вида ∑ Yi = 0, следует3 M (1 − v 2 )RB – RА = 0, откуда RА = RB = ⋅.2lНа участке балки 0 ≤ x ≤ ul изгибающий момент M z равен3 M (1 − v 2 )M z = RB ⋅ (l − x) − M = ⋅⋅ (l − x) − M , 0 ≤ x ≤ ul ;2l3Mпри х = 0;M z = МА = ⋅ M (1 − v 2 ) − M = (1 − 3v 2 )222МM z = М С′ = RB ⋅ vl − M = 3 ⋅ M (1 − v ) ⋅ vl − M =[3v(1 − v 2 ) − 2] при х = ul .22lНа участке балки ul ≤ x ≤ l изгибающий момент M z равен3 M (1 − v 2 )M z = RB ⋅ (l − x) = ⋅⋅ (l − x) ,ul ≤ x ≤ l ;2l23M z = М С′′ = RB ⋅ vl = 3 ⋅ M (1 − v ) ⋅ vl = Mv(1 − v 2 ) при х = ul ;22lM z = 0 при х = l.Возникающие опорные реакции и изгибающие моменты в поперечных сечениях балки показаны на рис.

9, б.Аналогично определяются опорные реакции и изгибающие моменты в поперечных сечениях балок, испытывающих другие виды нагружения. Схемынагружения однопролетных статически неопределимых балок и возникающиепри этом опорные реакции и изгибающие моменты в поперечных сеченияхприведены в таблице 1.Таблица 1Схемы нагружения однопролетных статически неопределимых балок и возникающиепри этом опорные реакции и изгибающие моменты в поперечных сеченияхСхемы нагруженияОпорные реакции и эпюрыизгибающих моментовРасчетные формулыMA = Pl·u v2;MB = Pl·u2 v;MС = 2Pl·u2v2;RA = Pv2· (1 + 2u);1RB = Pu2· (1 + 2v);MA = –(Pl/2)·v(1 – v2);MС = (Pl/2)·uv(3 – u);RA = (Pv/2)· (3 – v2);RB = (Pu2/2)· (3 – u);211MA = MB = ql2/12;RA = RB = ql/23MA = ql2/8;RA = 5ql/8;4RB = 3ql/8MA = Mv(2 –3u);MB = Mu(2 –3u);M C′ = M[1 – u(6v2 + 3u – 2)];5M C′′ = M u(6v2 + 3u – 2);MRA = RB = 6v⋅ulMA = M (1 − 3v 2 ) ;232M C′ = M [1 − v(1 − v 2 )] ;3Мv(1 − v 2 ) ;23RA = RB = М (1 − v 2 ) / l2M C′′ =6MA = Pl·u v2;MB = Pl·u2 v;MС = 2Pl·u2v2;RA = Pv2· (1 + 2u);7RB = Pu2· (1 + 2v);MA = –(Pl/2)·v(1 – v2);MС = (Pl/2)·uv(3 – u);RA = (Pv/2)· (3 – v2);8RB = (Pu2/2)· (3 – u);MA = MB = ql2/12;RA = RB = ql/2912MA = ql2/8;RA = 5ql/8;RB = 3ql/810MA = Mv(2 –3u);MB = Mu(2 –3u);M C′ = M[1 – u(6v2 + 3u – 2)];11M C′′ = M u(6v2 + 3u – 2);Mv⋅uRA = RB = 6lMA = M (1 − 3v 2 ) ;232M C′ = M [1 − v(1 − v 2 )] ;3Мv(1 − v 2 ) ;23RA = RB = М (1 − v 2 ) / l2M C′′ =121 2 2ql u [1 + v(5 − 3u )] ;121 2 3MB =ql u (4 − 3u ) ;121 2 3 2МС =ql u (6v + 3v − 1) ;121RA = ql[2 − u 2 (2 − u )] ;21RB = qlu 3 (2 − u )]2MA =131 2 2ql v [1 + u (5 − 3v)] ;121 2 3MА =ql v (4 − 3v) ;121 2 3МС =ql v (6u 2 + 3u − 1) ;121RВ = ql[2 − v 2 (2 − v)] ;21RА = qlv 3 (2 − v)]2MВ =14131 2 2ql u (4v + u 2 ) ;81МС = ql 2 u 3 v(4 − u ) ;81RА = ql[8 − u 2 (4 − u )] ;81RВ = qlu 3 (4 − u )8MА =1516MА= 1 ql 2 v 2 [3v(3u + 1) − 4 u + 1] ;8v3RВ = qlv 2 (4uv + v 2 )81МС = RB ⋅ l − q(vl ) 22RА = ql − RBОпорные реакции и изгибающие моменты в поперечных сечениях балкимогут возникнуть не только в результате нагружения балки внешними силами,но из-за угловых и линейных перемещений опор балки.

Покажем это на конкретном примере балки, схема которой изображена на рис. 10, а.а)б)Рис. 10. Схема однопролетной балки с жестким защемлением и шарнирной опорой: а) схемабалки; б) схема перемещения шарнирно-подвижной опорыОтбросим лишнюю связь и ее действие заменим неизвестной реакцией связи Х1 (рис. 11, а).а)б)Рис. 11. Схема перемещения опоры балки и эпюра изгибающего момента: а) схема однопролетной балки с заменой лишней связи реакцией Х1; б) эпюра изгибающего моментаМ 1 от действия на балку единичной силыПеремещение точки В от действия заданных сил, приложенных к балке,равно нулю ( ∆1 р = 0), так как заданные силы отсутствуют.

Значение реакции Х1должно быть таким, чтобы перемещение точки В от действия силы Х1 былоравно ∆ В , т. е. ∆1 (Х1) = ∆ В . Но ∆1 (Х1) = δ11 ⋅ Х 1 . Тогда имеем равенствоδ11 ⋅ Х 1 = ∆ В , откуда Х1 = ∆ В / δ11 ,14где δ11 ⋅ Х 1 – перемещение точки В от действия силы Х1; δ11 – перемещение точки В от действия единичной силы, приложенной к балке (рис. 11, б).Для определения δ 11 вычислим соответствующий интеграл Мора:EJ δ11 = ∫ M 1 ⋅ M 1dx ,lгде EJ – изгибная жесткость поперечных сечений балки, Е – модуль упругости1-го рода материала балки, J – главный осевой момент инерции поперечногосечения.Используя способ Верещагина для вычисления интеграла Мора, находим1211 3δ11 =EJ δ 11 = l ⋅ l ⋅ l = l 3 ;l .2333EJТак как Х1 = ∆ В / δ11 , то3EJ3EJХ1 = 3 ⋅ ∆ B , RB = Х1 = 3 ⋅ ∆ B .llРеакция R А в опоре А (из условия равновесия в виде ∑ Рi y = 0 ) равна RB :3EJ⋅ ∆B .l3Момент МА в опоре А (из условия равновесия в виде ∑ M A ( Pi ) = 0 ) равен3EJМА = RB ⋅ l = 2 ⋅ ∆ B .lЕсли перемещение ∆ В = 1, то имеем соответствующие значения реакцийR′А , RB′ и М ′А (рис.

12, а) от единичного перемещения:3EJ3EJR′А = RB′ = 3 , М ′А = 2 .llR А = RB = Х1 =а)б)Рис. 12. Схема перемещения опоры балки и возникающие при этом опорные реакцииизгибающие моменты в поперечных сеченияхИзгибающий момент в поперечных сечениях при единичном перемещении∆ В = 1 определяется какx3EJ0≤ x≤l.M ′z = – М ′А + R′А ⋅ х = – 2 (1 – ),llЭпюра изгибающего момента M ′z в поперечных сечениях при единичном перемещении представлена на рис. 12, б.Значения опорных реакций и момента от действительного перемещения∆ В равныR А = R′А ⋅ ∆ B ,RB = RB′ ⋅ ∆ B , МА = М ′А ⋅ ∆ B .15Изгибающий момент в поперечных сечениях от действительного перемещения ∆ В определяется какx3EJ0≤ x≤l.M z = M z′ ⋅ ∆ B = – 2 (1 – ) ⋅ ∆ B ,llСхемы единичных перемещений опор однопролетных статически неопределимых балок и возникающие при этом опорные реакции и изгибающие моменты в поперечных сечениях приведены в таблице 2.Таблица 2Схемы единичных перемещений опор однопролетных статически неопределимых балок и возникающие при этом опорные реакции и изгибающие моменты в поперечныхсеченияхСхемы единичныхперемещений опорОпорные реакции и эпюрыизгибающих моментовРасчетные формулы,М ′А = 3EJ2lR′А = RB′ = 3EJ3l1М ′А = М В′ = 6 EJ ,l22R′А = RB′ = 12 EJ3lМ ′А = 3EJ ,l3R′А = RB′ = 3EJ2lМ ′А = 4 EJ ,lМ В′ = 2 EJl4,R′А = RB′ = 6 EJ2l,М ′А = 3EJ2lR′А = RB′ = 3EJ3l516М ′А = М В′ = 6 EJ ,l2R′А = RB′ = 12 EJ3l6М В′ = 3EJ ,lR′А = RB′ = 3EJ27lМ В′ = 4 EJl2EJМ ′А =l,,R′А = RB′ = 6 EJ28l1.4.