Манжосов В.К. - Расчет статически неопределимой плоской рамы методом перемещений, страница 6

29. Эпюры изгибающего момента и опорные реакции: а) эпюры изгибающего момента иопорные реакции при единичном угловом перемещении узла 1 ( z1 =1); б) эпюры изгибающего момента и опорные реакции при единичном линейном перемещении узла 2( z 2 =1); в) эпюры изгибающего момента и опорные реакции при действии нагрузкиОпорные реакции для рассматриваемой схемы нагружения плоской рамы(рис. 28, б) ранее в разделе 1.5.2 нами были уже определены:при единичном угловом перемещении узла 1 ( z1 =1) по формулам (1.19), (1.20),(1.22) и (1.23)( H 0 )1 = 6 EJ ,( М 0 )1 = 2 EJ ,ll( V0 )1 = – ( V2 )1 = – 3EJ,2с2( V2 )1 = 3EJ,2сr11 = 4 EJ + 3EJ ,lсr21 = – 6 EJ ;l235при единичном линейном перемещении узла 2 ( z 2 =1) по формулам (1.24),(1.25), и (1.26)( М 0 )2 = 6 EJ,2l( H 0 )2 = 12 EJ,3r22 = 12 EJ,3lr12 = – 6 EJ;2llпри действии на плоскую раму нагрузки по формулам (1.27), (1.28), (1.29) и(1.30)М0р = Pl·u v2,H 0 р = = Pv2· (1 + 2u),V2 p = 3qс/8,V0 p = 5qс/8,1R1p = Pl ⋅ v ⋅ u 2 − q ⋅ c 2 .8R2р = – Pu2· (1 + 2v),Для рассматриваемой схемы нагружения плоской рамы по формулам (1.31)определяем действительное угловое перемещение узла 1 и действительное линейное перемещение узла 2:z1 =r22 ⋅ R1p − r12 ⋅ R2 pr122 − r11 ⋅ r22,z2 =r11 ⋅ R2 p − r12 ⋅ R1pr122 − r11 ⋅ r22.Действительные значения опорных реакций при угловом перемещении узла 1, равным z1 , определяются как( М 0 )1 ⋅ z1 = 2 EJ ⋅ z1 , ( H 0 )1 ⋅ z1 = 6 EJ ⋅ z1 , r21 ⋅ z1 = – 6 EJ ⋅ z1 ,22l( V2 )1 ⋅ z1 = 3EJ⋅ z1 ,2сll( V0 )1 ⋅ z1 = – 3EJ⋅ z1 ,2сr11 ⋅ z1 = ( 4 EJ + 3EJ ) ⋅ z1 .lсДействительные значения опорных реакций при линейном перемещенииузла 2, равным z 2 , определяются как( М 0 )2 ⋅ z 2 = 6 EJ⋅ z2 ,2l12EJr22 ⋅ z 2 =⋅ z2 ,l3( H 0 )2 ⋅ z 2 = 12 EJ⋅ z2 ,3lr12 ⋅ z 2 = – 6 EJ⋅ z2 .l2На рис.

30, а представим заданную расчетную схему плоской рамы.На рис. 30, б изобразим нагрузку и опорные реакции в узлах 0 и 2.а)б)Рис. 30. Схемы плоской рамы: а) заданная схема; б) заданная схема с опорными реакциями36Действительные значения опорных реакций складываются из опорных реакций, возникающих при угловом перемещении узла 1 равным z1 , из опорныхреакций, возникающих при линейном перемещении узла 2 равным z 2 , и опорных реакций от действующей нагрузки. При сложении учитываем направленияопорных реакций от единичных перемещений z1 и z 2 , а также от действующейнагрузки (рис. 31). За положительное направление для каждой реакции примемнаправление соответствующей опорной реакции от действующей нагрузки.а)б)в)Рис.

31. Схемы опорных реакций в узлах рамы при различных нагружениях: а) схема опорных реакций при единичном угловом перемещении узла 1; б) схема опорных реакций приединичном линейном перемещении узла 2; в) схема опорных реакций от нагрузкиДействительные значения опорных реакций для схемы нагружения плоской рамы, представленной на рис. 30, б, могут быть найдены из выраженийМ0 = М0р – ( М 0 )1 ⋅ z1 + ( М 0 )2 ⋅ z 2 ,V0 = V0 p + ( V0 )1 ⋅ z1 ,H 0 = H 0 р – ( H 0 )1 ⋅ z1 + ( H 0 )2 ⋅ z 2 ,V2 = V2 p + ( V2 )1 ⋅ z1 .Зная заданную нагрузку и опорные реакции, традиционным способом определяем внутренние силовые факторы в поперечных сечениях стержневыхучастков плоской рамы, схема нагружения которой изображена на рис.

30, б.Продольная сила в поперечных сечениях плоской рамы определяется какN = – V0 ,0 ≤ x1 ≤ a ;N = – V0 ,0 ≤ x2 ≤ b ; N = 0,0 ≤ x3 ≤ c ,где х1, х2, х3 – координаты поперечных сечений на участках a, b и c (положение сечения определяется от начала соответствующего участка).Поперечная сила в поперечных сечениях плоской рамы определяется какQ y = Н0, 0 ≤ x1 ≤ a ;Q y = Н0 – Р, 0 ≤ x2 ≤ b ; Q y = V0 – q ⋅ x3 , 0 ≤ x3 ≤ c .Изгибающий момент в поперечных сечениях плоской рамы определяетсякакM z = − M 0 + H 0 ⋅ x1 , 0 ≤ x1 ≤ a ; M z = − M 0 + H 0 ⋅ (a + x2 ) − P ⋅ x2 , 0 ≤ x2 ≤ b ,1M z = V2 ⋅ (c − x3 ) − q(c − x3 ) 2 , 0 ≤ x3 ≤ c .237Изгибающий момент в поперечных сечениях плоской рамы можно такжеопределить, складывая значенияM z = M 1 ⋅ z1 + M 2 ⋅ z 2 + M p .2.ПРИМЕР РАСЧЕТА СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙПЛОСКОЙ РАМЫ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙТехническое заданиеДля заданной статически неопределимойплоской рамы, схема нагружения которой приведена на рис.

32, требуется:1. Определить степень кинематической неопределимости заданной системы.2. Построить основную систему.Рис. 32. Заданная система3. Определить опорные реакции при единичных перемещениях дополнительно введенных в узлы связей.4. Определить опорные реакции от нагрузки.5. Определить действительные перемещения узлов, на которые были наложены дополнительные связи.6. Определить действительные значения опорных реакций в заданной стержневой системе.7. Определить внутренние силовые факторы (продольные силы, поперечныесилы, изгибающие моменты) в поперечных сечениях стержневых участков плоской рамы и построить их эпюры.8. Произвести проверку решения.Исходные данные: сила Р = 20 кН, интенсивность распределенных силq = 20 кН/м, длина участков а = 1м, b = 1м, с = 2 м.Решение2.1.

Определение степени кинематической неопределимостиРассмотрим, плоскую раму, схема которой изображена на рис. 32. Рамаимеет один жесткий узел 1 и шарнирно-подвижную опору (узел 2). Жесткийузел 1 может иметь угловое и линейное перемещения. Узел 2 может иметь лишьлинейное перемещение, равное линейному перемещению узла 1.Число неизвестных угловых перемещений nу = 1. Так как линейные перемещения узла возникают из-за изгибных деформаций в стержневой системе, то,пренебрегая продольными деформациями, можно считать, что линейные перемещения узлов 1 и 2 одинаковы, т. е.

неизвестных линейных перемещений узлов nл = 1.Степень кинематической неопределимости стержневой системы равнаn = nу + nл = 1 + 1 = 2.382.2. Построение основной системыНа жесткий узел 1 наложим дополнительнуюсвязь типа жесткого защемления (рис. 33), повернувэту связь на неизвестный пока угол z1. В узел 2 введем дополнительную связь, ограничивающую линейные перемещения узлов 1 и 2. Дадим этой связинеизвестное пока линейное перемещение z 2 . В результате получим основную систему метода переРис. 33.

Основная системамещений (рис. 33), состоящую из двух однопролетных балок. Балка 0 – 1 представляет однопролетную балку с жесткими заделками, балка 1 – 2 представляет однопролетную балку с жесткой заделкой и шарнирной опорой.2.3. Определение опорных реакций и изгибающего момента приединичном угловом перемещении дополнительной связи в узле 1и единичном линейном перемещении дополнительной связи в узле 2Для построения эпюры изгибающего момента и определения опорных реакций при единичном угловом перемещении дополнительной связи в узле 1(рис.

34, а) воспользуемся схемой 8 для балки 0 – 1 и схемой 3 для балки 1 – 2из таблицы 2.На рис. 34, б представлена эпюра изгибающего момента М 1 при единичном угловом перемещении дополнительной связи в узле 1 ( z1 = 1). Здесь же насхеме изображены опорные реакции в жесткой заделке (узел 0) и в шарнирнойопоре (узел 2) при единичном перемещении узла 1 ( z1 = 1), в том числе и опорные реакции r11 и r21 в дополнительных связях в узле 1 и в узле 2.а)б)Рис. 34. Основная схема и эпюра изгибающего момента приz1 =1:z1 =1; б) эпюра изгибающегомомента и опорные реакции при z1 =1а) схема поворота связи в узле 1 на уголПроцедура определения опорных реакций для рассматриваемой схемынагружения плоской рамы (рис. 34, а) ранее в разделе 1.5.2 подробно описана.39При единичном угловом перемещении узла 1 ( z1 =1) по формулам (1.19),(1.20), (1.22) и (1.23) с учетом, что по исходным данным l = a + b = 2 м, c = 2м, имеем( М 0 )1 = 2 EJ = EJ,l( H 0 )1 = 6 EJ = 1,5EJ;l2( V2 )1 = 3EJ= 0,75EJ;2сr11 = 4 EJ + 3EJ = 3,5EJ;( V0 )1 = – 3EJ= – 0,75EJ;2сlсr21 = – 6 EJ = – 1,5EJ.l2Для построения эпюры изгибающего момента и определения опорных реакций при единичном линейном перемещении дополнительной связи в узле 2(рис.

35, а) воспользуемся схемой 2 для балки 0 – 1 из таблицы 2.а)Рис. 35. Основная схема и эпюра изгибающего момента приб)z 2 =1: а) схема линейного пере-z 2 =1; б) эпюра изгибающегомомента и опорные реакции при единичном линейном перемещении узлов 2 и 1 ( z 2 =1)мещения узлов 2 и 1 при перемещении дополнительной связиНа рис. 35, б представлена эпюра изгибающего момента М 2 при единичном линейном перемещении дополнительной связи в узле 2 ( z 2 = 1). Здесь жена схеме изображены опорные реакции в жесткой заделке (узел 0) и в шарнирной опоре (узел 2) при z 2 = 1, в том числе и опорные реакции r12 и r22 в дополнительных связях в узле 1 и в узле 2.Процедура определения опорных реакций для рассматриваемой схемы нагружения плоской рамы (рис.