Манжосов В.К. - Расчет статически неопределимой плоской рамы методом перемещений, страница 4

16, б представлена схема плоской рамы с действующими на нее нагрузкой и опорными реакциями. Для определения опорной реакции V0 р воспользуемся уравнением равновесия для плоской системы сил в виде равенстванулю суммы проекций сил на вертикальную ось (полагаем, что это ось у):∑ Yi = 0, V2 р + V0 р – q ⋅ c = 0, откуда V0 р = q ⋅ c – V2 р = q ⋅ c – 3qс/8,V0 р =5q ⋅c.8(1.14)Для определения опорной реакции R1p во введенной дополнительной связина узел 1 можно рассмотреть либо условие равновесия плоской рамы, либо условие равновесия узла 1.22Из условия равновесия плоской рамы в виде равенства нулю суммы моментов сил относительно точки 0 следует1q ⋅ c 2 – R1p = 0,21откудаR1p = М 0 р – P ⋅ а + H 2 р ⋅ l + V2 р ⋅ с – q ⋅ c 2 .(1.15)2Подставляя соответствующие значения для М0р, Н2р и V2 p , получим31R1p = Pl·u v2 – P ⋅ а + Pu2· (1 + 2v) ⋅ l + qc ⋅ с – q ⋅ c 2 .82∑ M 0 ( Pi ) = 0, М 0 р – P ⋅ а + H 2 р ⋅ l + V2 р ⋅ с –Данное равенство можно представить в виде1 2qc .8Группируя и преобразовывая слагаемые u ⋅ v 2 + 2u 2 ⋅ v = uv(v + 2u ) = uv(1 + u )и − u + u 2 = – u (1 − u ) = – uv, получим11R1p = Pl· [uv(1 + u ) − uv] – qc 2 = Pl· v ⋅ u 2 – qc 2 .(1.16)88Более предпочтительным для определения R1p явR1p = Pl·( u ⋅ v 2 − u + u 2 + 2u 2 ⋅ v ) –ляется подход, связанный с рассмотрением условия равновесия узла 1.

Если рассмотреть равновесие узла 1, тонеобходимо вырезать этот узел и представить расчетнуюсхему узла с действующими моментами сил в прилегающих к узлу сечениях и опорной реакцией R1p во введенной дополнительной связи на узел 1 (рис. 17).При угловом перемещении узла условие его равноРис. 17. Моменты силвесия следует рассматривать в виде равенства нулюв узле 1 при действиисуммы моментов сил, действующих на узел. Так как внагрузкиприлегающих к узлу сечениях балок продольные и поперечные силы моментов не создают, то на рис. 17 продольные и поперечныесилы изображать не будем, чтобы не загромождать рисунок.Итак, из условия равновесия в виде равенства нулю суммы моментов сил,действующих на узел, следует22⎛a⎞ 12⎛a⎞ 1Pb⎜ ⎟ − q ⋅ c 2 – R1p = 0, откуда R1p = Pb⎜ ⎟ − q ⋅ c .⎝l⎠ 8⎝l⎠ 8Если учесть, что b = vl ,a= u , тоl1R1p = Pl ⋅ v ⋅ u 2 − q ⋅ c 2 .8(1.17)23Обратим внимание, что значения R1p , полученные по формулам (1.16) и(1.17), одинаковы.Для рассматриваемой плоской рамы каноническое уравнение метода перемещений имеет вид (1.7)r11 ⋅ z1 + R1р = 0.Из этого уравнения определяем угловое перемещение узла 1 и для рассматриваемой плоской рамыz1 = −R1pr111= – ( Pl ⋅ v ⋅ u 2 − q ⋅ c 2 )/( 4 EJ + 3EJ ).8сl(1.18)1.5.2.

Плоская рама, степень кинематической неопределимости которойравна двумРассмотрим, плоскую раму, схема которой изображена на рис. 18, а. Рамаимеет всего один жесткий узел 1 и шарнирно-подвижную опору. Число неизвестных угловых перемещений nу = 1. Так как линейные перемещения узла возникают из-за изгибных деформаций в стержневой системе, то, пренебрегая продольными деформациями, можно считать, что линейные перемещения узлов 1 и2 одинаковы, т.

е. неизвестных линейных перемещений узлов nл = 1.а)б)в)г)Рис. 18. Плоская рама, степень кинематической неопределимости которой равна двум:а) заданная система; б) основная система; в) схема единичного углового перемещения введенной дополнительной связи в узел 1; г) схема единичного угловогоперемещения введенной дополнительной связи в узел 2Степень кинематической неопределимости стержневой системы равнаn = nу + nл = 1 + 1 = 2.На жесткий узел наложим связь типа жесткого защемления (рис. 18, б), повернув эту связь на неизвестный пока угол z1. В узел 2 введем дополнительную24связь, ограничивающую линейные перемещения узлов 1 и 2.

Дадим этой связинеизвестное пока линейное перемещение z 2 . В результате получим основнуюсистему метода перемещений (рис. 18, б), состоящую из двух однопролетныхбалок. Балка 0 – 1 представляет однопролетную балку с жесткими заделками,балка 1 – 2 представляет однопролетную балку с жесткой заделкой и шарнирной опорой.Для построения эпюры изгибающего момента и определения опорных реакций при единичном перемещении узла 1 (рис. 18, в) воспользуемся схемой 8для балки 0 – 1 и схемой 3 для балки 1 – 2 из таблицы 2.а)б)Рис. 19. Эпюра изгибающего момента и опорные реакции при единичном перемещенииузла 1: а) эпюра изгибающего момента и опорные реакции; б) опорные реакцииНа рис.

19, а представлена эпюра изгибающего момента М 1 при единичном перемещении узла 1 ( z1 = 1). Здесь же на схеме изображены опорные реакции в жесткой заделке (узел 0) и в шарнирной опоре (узел 2) при единичномперемещении узла 1 ( z1 = 1).Заметим, что для балки 0 – 1 опорный момент ( М 0 )1 соответствует момен2 EJна схеме 8 таблицы 2 ( l = a + b ), опорная реакция ( H 0 )1 соответту М ′А =lствует реакции R′А =6 EJна схеме 8 таблицы 2.

Для опорных реакций ( М 0 )1,l2( H 0 )1 первый индекс обозначает узел, где возникает реакция. Второй индексобозначает, что опорная реакция вызвана единичным перемещением узла 1.Для балки 1 – 2 опорная реакция ( V2 )1 при длине пролета с соответствуетреакции RB′ = 3EJна схеме 3 таблицы 2.2сНа рис. 19, а изображена опорная реакция r11 во введенной дополнительной связи на узел 1 и опорная реакция r21 во введенной дополнительной связина узел 1.25Таким образом для схемы на рис.

19, а опорные реакции равны:( М 0 )1 = 2 EJ , ( H 0 )1 = 6 EJ , ( V2 )1 = 3EJ.2l2l(1.19)сНеизвестными опорными реакциями для схемы на рис. 19, а остались реакция ( V0 )1, опорная реакция r11 во введенной дополнительной связи на узел 1 иопорная реакция r21 во введенной дополнительной связи на узел 2.На рис. 19, б представлена схема плоской рамы с действующими на нееопорными реакциями при единичном угловом перемещении узла 1. Для определения опорной реакции ( V0 )1 воспользуемся уравнением равновесия для плоской системы сил в виде равенства нулю суммы проекций сил на вертикальнуюось (полагаем, что это ось у):∑ Yi = 0, ( V2 )1 + ( V0 )1 = 0, откуда ( V0 )1 = – ( V2 )1 = –3EJ .с2(1.20)Для определения опорной реакции r11 во введенной дополнительной связина узел 1 можно рассмотреть либо условие равновесия плоской рамы, либо условие равновесия узла 1.Из условия равновесия плоской рамы в виде равенства нулю суммы моментов сил относительно точки 1 следует∑ M ( Pi ) = 0,– ( М 0 )1 – r11 + ( H 0 )1 ⋅ l + ( V2 )1 ⋅ с = 0,откудаr11 = ( H 0 )1 ⋅ l + ( V2 )1 ⋅ с – ( М 0 )1 = 6 EJ ⋅ l + 3EJ⋅ с – 2 EJ ,2l2lсr11 = 4 EJ + 3EJ .(1.21)сlЕсли рассмотреть равновесие узла 1, то необходимовырезать этот узел и представить расчетную схему узла сдействующими моментами сил в прилегающих к узлу сечениях и опорной реакцией r11 во введенной дополнительной связи на узел 1 (рис.

20).Рис. 20. МоментыПри угловом перемещении узла условие его равновесил в узле 1 присия следует рассматривать в виде равенства нулю суммыz1 = 1моментов сил, действующих на узел. Так как в прилегающих к узлу сечениях балок продольные и поперечные силы моментов не создают, то на рис. 20 продольные и поперечные силы изображать не будем, чтобыне загромождать рисунок.

Итак, из условия равновесия в виде равенства нулюсуммы моментов сил, действующих на узел, следует4 EJ + 3EJ – r = 0, откуда11сlОбратим внимание, что значения(1.22), одинаковы.26r11 = 4 EJ + 3EJ .lс(1.22)r11 , полученные по формулам (1.21) иДля определения опорной реакции r21 во введенной дополнительной связина узел 2 воспользуемся уравнением равновесия для плоской системы сил в виде равенства нулю суммы проекций сил на горизонтальную ось (полагаем, чтоэто ось х):∑ Х i = 0, r21 + ( H 0 )1 = 0,r21 = – ( H 0 )1 = – 6 EJ,2откудаlr21 = – 6 EJ.2(1.23)lДля построения эпюры изгибающего момента и определения опорных реакций при единичном перемещении узла 2 (рис.

18, г) воспользуемся схемой 2для балки 0 – 1 из таблицы 2.а)б)Рис. 21. Эпюра изгибающего момента и опорные реакции при единичном перемещениидополнительной связи в узле 2: а) эпюра изгибающего момента и опорные реакции;б) опорные реакцииНа рис. 21, а представлена эпюра изгибающего момента М 2 при единичном перемещении узла 2 ( z 2 = 1). Здесь же на схеме изображены опорные реакции в жесткой заделке (узел 0) и в шарнирной опоре (узел 2) при единичномперемещении узла 2 ( z 2 = 1).Для балки 0 – 1 опорный момент ( М 0 )2 соответствует моменту М ′А = 6 EJ2lна схеме 2 таблицы 2 ( l = a + b ), опорная реакция ( H 0 )2 соответствует реакции12 EJна схеме 2 таблицы 2.

Для опорных реакций ( М 0 )2, ( H 0 )2 первыйR′А =l3индекс обозначает узел, где возникает реакция. Второй индекс обозначает, чтоопорная реакция вызвана единичным перемещением узла 2.На рис. 21, а изображена опорная реакция r12 во введенной дополнительной связи на узел 1 и опорная реакция r22 во введенной дополнительной связина узел 2.Таким образом для схемы на рис. 21, а опорные реакции равны:( М 0 )2 = 6 EJ, ( H 0 )2 = 12 EJ.32ll(1.24)27Неизвестными опорными реакциями для схемы на рис.

21, а осталисьопорная реакция r12 во введенной дополнительной связи на узел 1 и опорнаяреакция r22 во введенной дополнительной связи на узел 2.На рис. 21, б представлена схема плоской рамы с действующими на нееопорными реакциями при единичном линейном перемещении узла 2. Для определения опорной реакции r22 воспользуемся уравнением равновесия для плоской системы сил в виде равенства нулю суммы проекций сил на горизонтальную ось (полагаем, что это ось х):∑ Х i = 0, r22 – ( H 0 )2 = 0,откудаr22r22 = ( H 0 )2 = 12 EJ,3l= 12 EJ.l3(1.25)Для определения опорной реакции r12 во введенной дополнительной связина узел 1 при единичном перемещении узла 2 ( z 2 = 1) можно рассмотреть либоусловие равновесия плоской рамы, либо условие равновесия узла 1.Если рассмотреть равновесие узла 1, то необходимовырезать этот узел и представить расчетную схему узла сдействующими моментами сил в прилегающих к узлу сечениях и опорной реакцией r12 во введенной дополнительной связи на узел 1 (рис.