Манжосов В.К. - Расчет статически неопределимой плоской рамы методом перемещений, страница 5

22).Рис. 22. МоментыИз условия равновесия в виде равенства нулю суммысил в узле 1 примоментов сил, действующих на узел 1, следуетz =12– r12 – 6 EJl2= 0, откудаr12 = – 6 EJ.2l(1.26)Обратим внимание, что значения r12 и r21 , полученные по формулам (1.26)и (1.23), одинаковы.Для построения эпюры изгибающего момента и определения опорных реакций при действии на раму нагрузки (рис. 18, б) воспользуемся схемой 1 длябалки 0 – 1 и схемой 4 для балки 1 – 2 из таблицы 1.На рис. 23, а представлена эпюра изгибающего момента Мр в поперечныхсечениях балок 0 – 1 и 1 – 2 от нагрузки. Здесь же на схеме изображены опорные реакции в жесткой заделке (узел 0) и в шарнирной опоре (узел 2) при действии на балки 0 – 1 и 1 – 2 нагрузки.Для балки 0 – 1 опорный момент М0р соответствует моменту МА = Pl·u v2на схеме 1 таблицы 1, реакция H 0 р соответствует опорной реакцииRA = Pv2· (1 + 2u) на схеме 1 таблицы 1, реакция V2 p соответствует опорной ре-акции RB = 3qс/8 на схеме 4 таблицы 1.

Для опорных реакций М0р, H 0 р, V2 pпервый индекс обозначает узел, где возникает реакция. Второй индекс обозначает, что опорная реакция вызвана нагрузкой.28а)б)Рис. 23. Эпюра изгибающего момента и опорные реакции при действии на раму нагрузки:а) эпюра изгибающего момента и опорные реакции; б) действующая нагрузка иопорные реакцииНа рис. 23, а изображены реакция R1p во введенной дополнительной связина узел 1 и реакция R2 p во введенной дополнительной связи на узел 2.Таким образом для схемы на рис.

23, а опорные реакции равны:М0р = Pl·u v2, H 0 р = Pv2· (1 + 2u), V2 p = 3qс/8.(1.27)Неизвестными опорными реакциями для схемы на рис. 23, а остались реакцияV0 p , опорная реакция R1p во введенной дополнительной связи на узел 1 и реакция R2 p во введенной дополнительной связи на узел 2.На рис.

23, б представлена схема плоской рамы с действующими на нее нагрузкой и опорными реакциями. Для определения опорной реакции V0 р воспользуемся уравнением равновесия для плоской системы сил в виде равенстванулю суммы проекций сил на вертикальную ось (полагаем, что это ось у):∑ Yi = 0, V2 р + V0 р – q ⋅ c = 0, откуда V0 р = q ⋅ c – V2 р = q ⋅ c – 3qс/8,V0 р =5q ⋅c.8(1.28)Для определения опорной реакции R2 p во введенной дополнительной связи на узел 2 воспользуемся уравнением равновесия для плоской системы сил ввиде равенства нулю суммы проекций сил на горизонтальную ось (полагаем,что это ось х):∑ Х i = 0, R2 p – H 0 р + Р = 0,откуда R2 p = H 0 р – Р.Учитывая, что из (1.27) H 0 р = Pv2· (1 + 2u), получимR2 p = Pv2· (1 + 2u) – Р = Р[v2· (1 + 2u) – 1].29Данное равенство преобразуется к видуR2 p = – Р u 2 (1 + 2v) .(1.29)Для определения опорной реакции R1p во введенной дополнительной связина узел 1 можно рассмотреть либо условие равновесия плоской рамы, либо условие равновесия узла 1.Более предпочтительным для определения R1p является подход, связанный с рассмотрением условияравновесия узла 1.

Если рассмотреть равновесие узла 1,то необходимо вырезать этот узел и представить расчетную схему узла с действующими моментами сил вприлегающих к узлу сечениях и опорной реакцией R1pРис. 24. Моменты силво введенной дополнительной связи на узел 1 (рис. 24).в узле 1 при действииПри угловом перемещении узла условие его равнонагрузкивесия следует рассматривать в виде равенства нулюсуммы моментов сил, действующих на узел. Так как в прилегающих к узлу сечениях балок продольные и поперечные силы моментов не создают, то нарис.

24 продольные и поперечные силы изображать не будем, чтобы не загромождать рисунок.Итак, из условия равновесия в виде равенства нулю суммы моментов сил,действующих на узел, следует22⎛a⎞ 1⎛a⎞ 1Pb⎜ ⎟ − q ⋅ c 2 – R1p = 0, откуда R1p = Pb⎜ ⎟ − q ⋅ c 2 .⎝l⎠ 8⎝l⎠ 8Если учесть, что b = vl ,a= u , тоl1R1p = Pl ⋅ v ⋅ u 2 − q ⋅ c 2 .8(1.30)Для рассматриваемой плоской рамы каноническое уравнение метода перемещений имеет вид (1.8):r11 ⋅ z1 + r12 ⋅ z 2 + R1р = 0,r21 ⋅ z1 + r22 ⋅ z 2 + R2р = 0.Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными z1 и z2 имеет видz1 =r22 ⋅ R1p − r12 ⋅ R2 pr122 − r11 ⋅ r22,z2 =r11 ⋅ R2 p − r12 ⋅ R1pr122 − r11 ⋅ r22.(1.31)Систему уравнений большей размерности (три и более) можно решать матричным методом. Например, система трех уравнений в матричном виде30r⋅z = R,r11 r12 r13гдеr = r21 r22 r23 ,r31 r32 r33z1z = z2 ,z3− R1pR = − R2 p ,− R3pr – матрица жесткостей, z – матрица неизвестных перемещений, R – матрица грузовых реакций во введенных дополнительных связей в узлах.Решение матричного уравненияz = r −1 ⋅ R ,где r −1 – обратная матрица для матрицы r.1.6.

Определение внутренних силовых факторов в поперечныхсечениях стержневых участков заданной системыЕсли нагружение происходит в плоскости у − х , то в поперечных сеченияхстержневых участков заданной статически неопределимой плоской рамы определяются продольные силы N , поперечные силы Q у и изгибающие моментыM z . Последовательность их расчета изложим на примере плоских рам, рассмотренных выше.1.6.1. Плоская рама, степень кинематической неопределимости которойравна единицеРассмотрим, плоскую раму, схема которой изображена на рис.

25, а. Рамаимеет всего один жесткий узел. На рис. 25, а этот узел обозначен как узел 1.а)б)в)Рис. 25. Плоская рама с одной степенью кинематической неопределимости: а) заданнаясистема; б) основная система; в) схема единичного углового перемещения введенной дополнительной связиСтепень кинематической неопределимости стержневой системы равнаn = nу + nл = 1 + 0 = 1.На жесткий узел наложим связь типа жесткого защемления (рис. 25, б), повернув эту связь на неизвестный пока угол z1. В результате получим основнуюсистему метода перемещений (рис.

25, б), состоящую из двух однопролетныхбалок. Балка 0 – 1 представляет однопролетную балку с жесткими заделками,31балка 1 – 2 представляет однопролетную балку с жесткой заделкой и шарнирной опорой.На рис. 26 представлены эпюры изгибающих моментов в поперечных сечениях рамы при единичном угловом перемещении узла 1 ( z1 =1) и от нагрузки.Здесь же изображены опорные реакции в узлах рамы, включая и моменты r11 иR1p во введенной дополнительной связи на узел 1.а)б)Рис.

26. Эпюры изгибающего момента и опорные реакции: а) эпюры изгибающего момента иопорные реакции при единичном угловом перемещении узла 1 ( z1 =1); б) эпюрыизгибающего момента и опорные реакции при действии нагрузкиОпорные реакции для рассматриваемой схемы нагружения плоской рамы(рис. 25, б) ранее в разделе 1.5.1 нами были уже определены:при единичном угловом перемещении узла 1 ( z1 =1) по формулам (1.9), (1.10)и (1.12)( М 0 )1 = 2 EJ , ( H 0 )1 = 6 EJ , (Н2)1 = 6 EJ , ( V2 )1 = 3EJ,2l2l, r11( V0 )1 = – ( V2 )1 = – 3EJс2l2= 4 EJ + 3EJ ;сlспри действии на плоскую раму нагрузки по формулам (1.13), (1.14) и (1.17)М0р = Pl·u v2,V2 p = 3qс/8,H 0 р = = Pv2· (1 + 2u),V0 p = 5qс/8,Н2р = Pu2· (1 + 2v),1R1p = Pl ⋅ v ⋅ u 2 − q ⋅ c 2 .8Для рассматриваемой схемы нагружения плоской рамы по формуле (1.18)определяем действительное угловое перемещение узла 1z1 = −R1pr111= – ( Pl ⋅ v ⋅ u 2 − q ⋅ c 2 )/( 4 EJ + 3EJ ).8lсДействительные значения опорных реакций при угловом перемещении узла 1, равным z1 , определяются как32( М 0 )1 ⋅ z1 = 2 EJ ⋅ z1 , ( H 0 )1 ⋅ z1 = 6 EJ ⋅ z1 , (Н2)1 ⋅ z1 = 6 EJ ⋅ z1 ,22ll( V2 )1 ⋅ z1 = 3EJ⋅ z1 ,с2( V0 )1 ⋅ z1 = – 3EJ⋅ z1 ,с2r11 ⋅ z1l4EJ=(+ 3EJ ) ⋅ z1 .сlНа рис.

27, а представим заданную расчетную схему плоской рамы.На рис. 27, б изобразим нагрузку и опорные реакции в узлах 0 и 2.а)б)Рис. 27. Схемы плоской рамы: а) заданная схема; б) заданная схема с опорными реакциямиДействительные значения опорных реакций M0, H0, V0, H2, V2 (рис. 27, б)складываются из опорных реакций, возникающих при угловом перемещенииузла 1 равным z1 и опорных реакций от действующей нагрузки. При сложенииучитываем направления опорных реакций от единичного перемещения z1 , атакже от действующей нагрузки (рис. 26). За положительное направление длякаждой реакции примем направление соответствующей опорной реакции отдействующей нагрузки.Действительные значения опорных реакций определяются какМ0 = М0р – ( М 0 )1 ⋅ z1 , H 0 = H 0 р – ( H 0 )1 ⋅ z1 ,Н2 = Н2р + (Н2)1 ⋅ z1 ,V0 = V0 p + ( V0 )1 ⋅ z1 ,V2 = V2 p + ( V2 )1 ⋅ z1 .Зная заданную нагрузку и опорные реакции, традиционным способом определяем внутренние силовые факторы в поперечных сечениях стержневыхучастков плоской рамы.Продольная сила в поперечных сечениях плоской рамы определяется какN = – V0 ,0 ≤ x1 ≤ a ;N = – V0 ,0 ≤ x2 ≤ b ; N = – Н2,0 ≤ x3 ≤ c ,где х1, х2, х3 – координаты поперечных сечений на участках a, b и c (положение сечения определяется от начала соответствующего участка).Поперечная сила в поперечных сечениях плоской рамы определяется какQ y = Н0, 0 ≤ x1 ≤ a ;Q y = Н0 – Р, 0 ≤ x2 ≤ b ; Q y = V0 – q ⋅ x3 , 0 ≤ x3 ≤ c .Изгибающий момент в поперечных сечениях плоской рамы определяетсякакM z = − M 0 + H 0 ⋅ x1 , 0 ≤ x1 ≤ a ; M z = − M 0 + H 0 ⋅ (a + x2 ) − P ⋅ x2 , 0 ≤ x2 ≤ b ,331M z = V2 ⋅ (c − x3 ) − q(c − x3 ) 2 ,20 ≤ x3 ≤ c .Изгибающий момент в поперечных сечениях плоской рамы можно такжеопределить, складывая значенияM z = M 1 ⋅ z1 + M p .1.6.2.

Плоская рама, степень кинематической неопределимости которойравна двумРассмотрим, плоскую раму, схема которой изображена на рис. 29, а. Рамаимеет один жесткий узел 1 и шарнирно-подвижную опору (узел 2). Число неизвестных угловых перемещений nу = 1.

Так как линейные перемещения узла возникают из-за изгибных деформаций в стержневой системе, то, пренебрегая продольными деформациями, можно считать, что линейные перемещения узлов 1и 2 одинаковы, т. е. неизвестных линейных перемещений узлов nл = 1.а)б)в)г)Рис. 28. Плоская рама, степень кинематической неопределимости которой равна двум:а) заданная система; б) основная система; в) схема единичного углового перемещения введенной дополнительной связи в узел 1; г) схема единичного линейногоперемещения введенной дополнительной связи в узел 2Степень кинематической неопределимости стержневой системы равнаn = nу + nл = 1 + 1 = 2.На жесткий узел наложим связь типа жесткого защемления (рис.

28, б), повернув эту связь на неизвестный пока угол z1. В узел 2 введем дополнительнуюсвязь, ограничивающую линейные перемещения узлов 1 и 2. Дадим этой связинеизвестное пока линейное перемещение z 2 . В результате получим основнуюсистему метода перемещений (рис. 28, б), состоящую из двух однопролетныхбалок. Балка 0 – 1 представляет однопролетную балку с жесткими заделками,34балка 1 – 2 представляет однопролетную балку с жесткой заделкой и шарнирной опорой.На рис. 29 представлены эпюры изгибающих моментов в поперечных сечениях рамы при единичном угловом перемещении узла 1 ( z1 =1), при единичном линейном перемещении узла 2 ( z 2 =1) и от нагрузки. Здесь же изображеныопорные реакции в узлах рамы, включая моменты r11 , r12 и R1p во введеннойдополнительной связи на узел 1, а также опорные реакции r21 , r22 и R2 p во введенной дополнительной связи на узел 2.а)б)в)Рис.