Манжосов В.К. - Расчет статически неопределимой плоской рамы методом перемещений, страница 3

Канонические уравнения метода перемещенийПри расчете статически неопределимой плоской рамы основная системаотличается от заданной наличием дополнительных связей в узлах, препятствующих их угловым и линейным перемещениям, и появлением опорных реакций в виде моментов и сил во введенных связях.Эти реакции можно обратить в нуль, если заделки в узлах повернуть на углы, равные действительным поворотам узлов, и дать линейные перемещениялинейным связям, равным действительным линейным перемещениям узлов.Тогда для каждого узла, к которому приложены те или иные связи, можнозаписать равенство нулю реакций связи в видеR1 = 0,R2 = 0,R3 = 0, ….., Rn = 0,где R1, R2, …, Rn – реакции во введенных дополнительных связях.Число таких уравнений соответствует степени кинематической неопределимости заданной стержневой системы, т. е.

числу введенных связей или числунеизвестных перемещений введенных связей. Пользуясь принципом независимости действия различных воздействий, можем записатьR1 = R11 + R12 + . . . + R1n + R1р = 0,R2 = R21 + R22 + . . . + R2n + R2р = 0,R3 = R31 + R32 + R33 +. . . + R3n + R 3р = 0,.................................(1.4)Rn = R n 1 + R n 2 + R n 3 +. . . + R n n + R n р = 0.17Первый индекс указывает номер связи и ее направление. Второй индекс указывает на то воздействие, которое является причиной появления реакции. Слагаемые R1р, R2р, R3р, . . ., R nр – реакции в 1-й, 2-й и т. д. связях, вызванных действием нагрузки.По закону Гука при упругом деформировании каково перемещение, таковаи сила. ПоэтомуR11 = r11 ⋅ z1 , R12 = r12 ⋅ z 2 , R13 = r13 ⋅ z3 , . . . .,R1n = r1n ⋅ z n ,R21 = r21 ⋅ z1 , R22 = r22 ⋅ z 2 , R23 = r23 ⋅ z3 , . .

. ., R2n = r2 n ⋅ z n ,......................................................Rn1 = rn1 ⋅ z1 , Rn2 = rn 2 ⋅ z 2 , Rn3 = rn3 ⋅ z3 , . . . .,(1.5)Rnn = rnn ⋅ z n ,где z1 , z 2 , z3 , . . ., z n – перемещения связей 1, 2, 3, . . ., n ;r11, r12, r13, . . .,r1n – реакции в связи 1 от единичных перемещений связей 1, 2, 3, . . ., n ;r21, r22, r23, . . ., r2n – реакции в связи 2 от единичных перемещений связей 1, 2, 3,r31, r32, r33, . . ., r3n – реакции в связи 3 от единичных перемещений.

. ., n ;связей 1, 2, 3, . . ., n ; . . .; rn1, rn2, rn3, . . ., rnn – реакции в связи n от единичныхперемещений связей 1, 2, 3, . . ., n .Учитывая равенства (1.5) в уравнениях (1.4), получим систему канонических уравнений видаr11 ⋅ z1 + r12 ⋅ z 2 + r13 ⋅ z3 + . . . + r1n ⋅ z n + R1р = 0,r21 ⋅ z1 + r22 ⋅ z 2 + r23 ⋅ z3 + . . . + r2 n ⋅ z n + R2р = 0,...........................................(1.6)rn1 ⋅ z1 + rn 2 ⋅ z 2 + rn3 ⋅ z3 + . . . + rnn ⋅ z n + Rnр = 0.Реакции в связи от единичного перемещения можно трактовать как соответствующую жесткость, так как ее произведение на перемещение zi дает значение силы. Реакции r11, r22, r33, .

. ., rnn называются главными; реакцииr12, r13, . . ., r1n и т. д. называются побочными. Побочные реакции типа rik и rkiравны, т. е. rik = rki . Следовательно r12 = r21, r13 = r31, . . ., r1n = rn1.Если в стержневую систему вводится всего лишь одна дополнительнаясвязь, то из системы (1.6) имеем уравнениеr11 ⋅ z1 + R1р = 0.(1.7)Если в стержневую систему введены две дополнительных связи, то из системы (1.6) имеем два уравненияr11 ⋅ z1 + r12 ⋅ z 2 + R1р = 0,r21 ⋅ z1 + r22 ⋅ z 2 + R2р = 0.18(1.8)Как было отмечено выше, число таких уравнений соответствует степеникинематической неопределимости заданной стержневой системы, т. е. числувведенных связей или числу неизвестных перемещений введенных связей.Приведенная система канонических уравнений (1.6) должна быть разрешена относительно неизвестных перемещений z1 , z 2 , z3 , .

. ., z n . Но для решенияэтой системы уравнений необходимы данные о реакциях в связях от единичныхперемещений (коэффициентах rik ) и реакциях в связях, вызванных действиемнагрузки (свободных членов Rip канонических уравнений).1.5. Определение коэффициентов rik иканонических уравненийсвободных членов RipВначале из заданной стержневой системы строится основная система. Дляопределения коэффициентов и свободных членов системы канонических уравнений метода перемещений необходимо предварительно построить эпюры изгибающих моментов в основной системе от неизвестных единичных перемещений (по направлениям введенных закреплений) и от действующей на стержневую систему нагрузки. Построение их производится с помощью табличныхданных для соответствующих однопролетных балок.1.5.1. Плоская рама, степень кинематической неопределимости которойравна единицеРассмотрим, например, плоскую раму, схема которой изображена нарис.

13, а. Рама имеет всего один жесткий узел. На рис. 13, а этот узел обозначенкак узел 1. Число неизвестных угловых перемещений nу = 1. Так как линейныеперемещения узла возникают из-за изгибных деформаций в стержневой системе,то, пренебрегая продольными деформациями, можно считать, что линейные перемещения узлов 1 и 2 отсутствуют, т. е. неизвестных линейных перемещенийузлов nл = 0.а)б)в)Рис. 13. Плоская рама с одной степенью кинематической неопределимости: а) заданнаясистема; б) основная система; в) схема единичного углового перемещения введенной дополнительной связиСтепень кинематической неопределимости стержневой системы равнаn = nу + nл = 1 + 0 = 1.На жесткий узел наложим связь типа жесткого защемления (рис.

13, б), повернув эту связь на неизвестный пока угол z1. В результате получим основную19систему метода перемещений (рис. 13, б), состоящую из двух однопролетныхбалок. Балка 0 – 1 представляет однопролетную балку с жесткими заделками,балка 1 – 2 представляет однопролетную балку с жесткой заделкой и шарнирной опорой.Для построения эпюры изгибающего момента и определения опорных реакций при единичном перемещении узла 1 (рис.

13, в) воспользуемся схемой 8для балки 0 – 1 и схемой 3 для балки 1 – 2 из таблицы 2.а)б)Рис. 14. Эпюра изгибающего момента и опорные реакции при единичном перемещенииузла 1: а) эпюра изгибающего момента и опорные реакции; б) опорные реакцииНа рис. 14, а представлена эпюра изгибающего момента М 1 при единичном перемещении узла 1 ( z1 = 1). Здесь же на схеме изображены опорные реакции в жесткой заделке (узел 0) и в шарнирно-неподвижной опоре (узел 2) приединичном перемещении узла 1.Заметим, что для балки 0 – 1 опорный момент ( М 0 )1 соответствует момен2 EJна схеме 8 таблицы 2 ( l = a + b ), опорная реакция ( H 0 )1 соответту М ′А =l6 EJна схеме 8 таблицы 2, опорная реакция (Н2)1 соотl2ствует реакции R′А =6 EJветствует реакции RB′ = 2 на схеме 8 таблицы 2.

Для опорных реакцийl( М 0 )1, ( H 0 )1, (Н2)1 первый индекс обозначает узел, где возникает реакция. Второй индекс обозначает, что опорная реакция вызвана единичным перемещением узла 1.Для балки 1 – 2 опорная реакция ( V2 )1 при длине пролета равным с соот-ветствует реакции RB′ = 3EJна схеме 3 таблицы 2.2сНа рис. 14, а изображена опорная реакция r11 во введенной дополнительной связи на узел 1.Таким образом для схемы на рис. 14, а опорные реакции равны:( М 0 )1 = 2 EJ , ( H 0 )1 = 6 EJ , (Н2)1 = 6 EJ , ( V2 )1 = 3EJ.2l20l2l2с(1.9)Неизвестными опорными реакциями для схемы на рис. 14, а остались реакция ( V0 )1 и опорная реакция r11 во введенной дополнительной связи на узел 1.На рис. 14, б представлена схема плоской рамы с действующими на нееопорными реакциями при единичном угловом перемещении узла 1.

Для определения опорной реакции ( V0 )1 воспользуемся уравнением равновесия для плоской системы сил в виде равенства нулю суммы проекций сил на вертикальнуюось (полагаем, что это ось у):∑ Yi = 0, ( V2 )1 + ( V0 )1 = 0, откуда ( V0 )1 = – ( V2 )1 = –3EJ .с2(1.10)Для определения опорной реакции r11 во введенной дополнительной связина узел 1 можно рассмотреть либо условие равновесия плоской рамы, либо условие равновесия узла 1.Из условия равновесия плоской рамы в виде равенства нулю суммы моментов сил относительно точки 0 следует∑ M 0 ( Pi ) = 0,– ( М 0 )1 – r11 + ( H 2 )1 ⋅ l + ( V2 )1 ⋅ с = 0, откудаr11 = ( H 2 )1 ⋅ l + ( V2 )1 ⋅ с – ( М 0 )1 = 6 EJ ⋅ l + 3EJ⋅ с – 2 EJ ,2l2lсr11 = 4 EJ + 3EJ .сl(1.11)Если рассмотреть равновесие узла 1, то необходимо вырезать этот узел и представить расчетную схему узла с действующими моментами сил в прилегающих к узлу сеченияхи опорной реакцией r11 во введенной дополнительной связина узел 1 (рис.

15).Рис. 15. МоментыПри угловом перемещении узла условие его равновесиясил в узле 1 приследует рассматривать в виде равенства нулю суммы моменz1 = 1тов сил, действующих на узел. Так как в прилегающих к узлусечениях балок продольные и поперечные силы моментов не создают, то нарис. 15 продольные и поперечные силы изображать не будем, чтобы не загромождать рисунок. Итак, из условия равновесия в виде равенства нулю суммымоментов сил, действующих на узел, следует4 EJ + 3EJ – r = 0, откуда11сlr11 = 4 EJ + 3EJ .lс(1.12)Обратим внимание, что значения r11 , полученные по формулам (1.11) и(1.12), одинаковы.Для построения эпюры изгибающего момента и определения опорных реакций при действии на балку нагрузки (рис.

13, б) воспользуемся схемой 1 длябалки 0 – 1 и схемой 4 для балки 1 – 2 из таблицы 1.На рис. 16, а представлена эпюра изгибающего момента Мр в поперечныхсечениях балок 0 – 1 и 1 – 2 от нагрузки. Здесь же на схеме изображены опор21ные реакции в жесткой заделке (узел 0) и в шарнирно-неподвижной опоре(узел 2) при действии на балки 0 – 1 и 1 – 2 нагрузки.а)б)Рис. 16. Эпюра изгибающего момента и опорные реакции при действии на раму нагрузки:а) эпюра изгибающего момента и опорные реакции; б) действующая нагрузка иопорные реакцииДля балки 0 – 1 опорный момент М0р соответствует моменту МА = Pl·u v2на схеме 1 таблицы 1, реакция H 0 р соответствует опорной реакцииRA = Pv2· (1 + 2u) на схеме 1 таблицы 1, реакция Н2р соответствует опорной реакции RB = Pu2· (1 + 2v) на схеме 1 таблицы 1, реакция V2 p соответствует опорной реакции RB = 3qс/8 на схеме 4 таблицы 1.

Для опорных реакций М0р, H 0 р,Н2р, V2 p первый индекс обозначает узел, где возникает реакция. Второй индексобозначает, что опорная реакция вызвана нагрузкой.На рис. 16, а изображена опорная реакция R1p во введенной дополнительной связи на узел 1.Таким образом для схемы на рис. 16, а опорные реакции равны:М0р = Pl·u v2, H 0 р = = Pv2· (1 + 2u), Н2р = Pu2· (1 + 2v),V2 p = 3qс/8.(1.13)Неизвестными опорными реакциями для схемы на рис. 16, а остались реакцияV0 p и опорная реакция R1p во введенной дополнительной связи на узел 1.На рис.