Манжосов В.К. - Расчет статически неопределимой плоской рамы методом перемещений, страница 7

35, а) ранее в разделе 1.5.2 подробно описана.При единичном линейном перемещении узла 2 ( z 2 =1) по формулам (1.24),(1.25) и (1.26) с учетом, что по исходным данным l = a + b = 2 м, c = 2 м,имеем( М 0 )2 = 6 EJ= 1,5 EJ;2lr22 = 12 EJ= 1,5 EJ;3l40( H 0 )2 = 12 EJ= 1,5EJ;3lr12 = – 6 EJ= – 1,5EJ.2l2.4. Определение опорных реакций и изгибающего моментаот нагрузкиДля построения эпюры изгибающего момента и определения опорных реакций при действии на раму нагрузки (рис.

36, а) воспользуемся схемой 1 длябалки 0 – 1 и схемой 4 для балки 1 – 2 из таблицы 1.На рис. 36, б представлена эпюра изгибающего момента Мр в поперечныхсечениях балок 0 – 1 и 1 – 2 от нагрузки. Здесь же на схеме изображены опорные реакции в жесткой заделке (узел 0) и в шарнирной опоре (узел 2) при действии на балки 0 – 1 и 1 – 2 нагрузки.а)б)Рис. 36. Схема плоской рамы и эпюра изгибающего момента от нагрузки:а) основная система; б) эпюра изгибающего момента и опорные реакции в узлахПроцедура определения опорных реакций для рассматриваемой схемы нагружения плоской рамы (рис.

36, а) ранее в разделе 1.5.2 подробно описана.При действии на плоскую раму нагрузки по формулам (1.27), (1.28), (1.29)и (1.30) с учетом, что по исходным данным а = 1 м, b = 1 м, l = a + b = 2 м,c = 2 м, Р = 20 кН, q = 20 кН/м, u = a / l = 0, 5 м; v = b / l = 0, 5 м, имеемМ0р = Pl·u v2 = 20 ⋅ 2 ⋅ 0,5 ⋅ 0,5 2 = 5 кНм;H 0 р = Pv2· (1 + 2u) = 20 ⋅ 0,52 (1 + 2 ⋅ 0,5) = 10 кН;V2 p = 3qс/8 = 3 ⋅ 20 ⋅ 2 / 8 = 15 кН;V0 p = 5qс/8 = 5 ⋅ 20 ⋅ 2 / 8 = 25 кН;R2р = – Pu2· (1 + 2v) = – 20 ⋅ 0,52 (1 + 2 ⋅ 0,5) = – 10 кН;120 ⋅ 2 222R1p = Pl ⋅ v ⋅ u − q ⋅ c = 20 ⋅ 2 ⋅ 0,5 ⋅ 0,5 –= – 5 кНм.8822.5.

Определение действительных перемещений z1 и z2 узлов 1 и 2Если в стержневую систему введены две дополнительные связи, то канонические уравнения метода перемещений из системы (1.6) принимают вид (1.8)41r11 ⋅ z1 + r12 ⋅ z 2 + R1р = 0,r21 ⋅ z1 + r22 ⋅ z 2 + R2р = 0.Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными z1 и z2 имеет видz1 =z2 =r22 ⋅ R1p − r12 ⋅ R2 pr122 − r11 ⋅ r22r11 ⋅ R2 p − r12 ⋅ R1pr122 − r11 ⋅ r227,5− 1,5 ⋅ 5 − 1,5 ⋅ 10=,EJ(1,52 − 3,5 ⋅ 1,5) EJ42,5− 3,5 ⋅ 10 − 1,5 ⋅ 5==.2(1,5 − 3,5 ⋅ 1,5) EJ 3EJ=2.6. Определение действительных значений опорных реакцийв заданной стержневой системеДействительные значения опорных реакций при угловом перемещении узла 1, равным z1 , определяются как7,5( М 0 )1 ⋅ z1 = 2 EJ ⋅ z1 = EJ ⋅= 7,5 кНм;EJ7,5( H 0 )1 ⋅ z1 = 6 EJ ⋅ z1 = 1,5 EJ ⋅= 11,25 кН;EJl27,5r21 ⋅ z1 = – 6 EJ ⋅ z1 = – 1,5 EJ ⋅= – 11,25 кН;EJl27,5( V2 )1 ⋅ z1 = 3EJ=0,75EJ⋅= 5,625 кН;⋅z1EJс27,5( V0 )1 ⋅ z1 = – 3EJ⋅z=–0,75= – 5,625 кН;EJ⋅1EJс27,5r11 ⋅ z1 = ( 4 EJ + 3EJ ) ⋅ z1 = 3,5 EJ ⋅= 26,25 кНм.EJсllДействительные значения опорных реакций при линейном перемещенииузла 2, равным z 2 , определяются как42,5( М 0 )2 ⋅ z 2 = 6 EJ⋅z=1,5EJ⋅= 21,25 кНм;223EJl42,5⋅z( H 0 )2 ⋅ z 2 = 12 EJ=1,5EJ⋅= 21,25 кН;23EJl342,5r22 ⋅ z 2 = 12 EJ⋅z=1,5EJ⋅= 21,25 кН;23EJl342,5r12 ⋅ z 2 = – 6 EJ⋅z=–1,5EJ⋅= – 21,25 кНм.23EJl242Значения опорных реакций от нагрузкиМ0р = Pl·u v2 = 20 ⋅ 2 ⋅ 0,5 ⋅ 0,5 2 = 5 кНм;H 0 р = Pv2· (1 + 2u) = 20 ⋅ 0,52 (1 + 2 ⋅ 0,5) = 10 кН;V2 p = 3qс/8 = 3 ⋅ 20 ⋅ 2 / 8 = 15 кН;V0 p = 5qс/8 = 5 ⋅ 20 ⋅ 2 / 8 = 25 кН;R2р = – Pu2· (1 + 2v) = – 20 ⋅ 0,52 (1 + 2 ⋅ 0,5) = – 10 кН;120 ⋅ 2 222R1p = Pl ⋅ v ⋅ u − q ⋅ c = 20 ⋅ 2 ⋅ 0,5 ⋅ 0,5 –= – 5 кНм.882Действительные значения опорных реакций складываются из опорных реакций, возникающих при угловом перемещении узла 1 равным z1 , из опорныхреакций, возникающих при линейном перемещении узла 2 равным z 2 , и опорных реакций от действующей нагрузки.

При сложении учитываем направленияопорных реакций от единичных перемещений z1 и z 2 , а также от действующейнагрузки (рис. 37). За положительное направление для каждой реакции примемнаправление соответствующей опорной реакции от действующей нагрузки.а)б)в)Рис. 37. Схемы опорных реакций в узлах рамы при различных нагружениях: а) схема опорных реакций при единичном угловом перемещении узла 1; б) схема опорных реакций приединичном линейном перемещении узла 2; в) схема опорных реакций от нагрузкиДействительные значения опорных реакций длясхемы нагружения плоской рамы, представленной нарис.

38, могут быть найдены из выраженийМ0 = М0р – ( М 0 )1 ⋅ z1 + ( М 0 )2 ⋅ z 2 == 5 – 7,5 + 21,25 = 18,75 кНм;H 0 = H 0 р – ( H 0 )1 ⋅ z1 + ( H 0 )2 ⋅ z 2 == 10 – 11,25 + 21,25 = 20 кН;Рис. 38. Схема нагруженияи опорные реакцииV0 = V0 p + ( V0 )1 ⋅ z1 = 25 – 5,625 = 19,375 кН;V2 = V2 p + ( V2 )1 ⋅ z1 = 15 + 5,625 = 20,625 кН.432.7. Определение внутренних силовых факторов в поперечныхсечениях плоской рамыПредставим заданную расчетную схему плоской рамы (рис. 39, а).На рис.

39, б изобразим нагрузку и опорные реакции в узлах 0 и 2.а)б)Рис. 39. Схемы плоской рамы: а) заданная схема; б) заданная схема с опорными реакциямиЗная заданную нагрузку и опорные реакции, традиционным способом определяем внутренние силовые факторы в поперечных сечениях стержневыхучастков плоской рамы.Продольная сила в поперечных сечениях плоской рамы определяется какN = – V0 = – 19,375 кН,0 ≤ x1 ≤ a ;N = 0,N = – V0 = – 19,375 кН,0 ≤ x2 ≤ b ;0 ≤ x3 ≤ c ,где х1, х2, х3 – координаты поперечных сечений на участках a, b и c (положение сечения определяется от начала соответствующего участка).Поперечная сила в поперечных сечениях плоской рамы определяется какQ y = Н0 = 20 кН, 0 ≤ x1 ≤ a ;Q y = Н0 – Р = 20 – 20 = 0, 0 ≤ x2 ≤ b ;Q y = V0 – q ⋅ x3 = 19,375 – 20·х3, 0 ≤ x3 ≤ c ;Q y = 19,375 кН при х3 = 0;Q y = – 20,625 кН при х3 = с = 2 м.Изгибающий момент в поперечных сечениях плоской рамы определяетсякакM z = − M 0 + H 0 ⋅ x1 = – 18,75 + 20·х1, 0 ≤ x1 ≤ a ;Mz = – 18,75 кНм при х1 = 0; Mz = 1,25 кНм при х1 = а = 1м;M z = − M 0 + H 0 ⋅ (a + x2 ) − P ⋅ x2 = – 18,75 + 20·(1 + х2) – 20·х2, 0 ≤ x2 ≤ b ;0 ≤ x2 ≤ b ;11M z = V2 ⋅ (c − x3 ) − q(c − x3 ) 2 = 20,625·(2 – х3) – ⋅ 20(2 − х3 ) 2 ,22Mz = 1,25 кНм,0 ≤ x3 ≤ c ;Mz = 1,25 кНм при х3 = 0; Mz = 10,625 кНм при х3 = 1м; Mz = 0 при х3 = 2 м.44Эпюры внутренних силовых факторов в поперечных сечениях плоскойрамы представлены на рис.

40.а)б)в)Рис. 40. Эпюры внутренних силовых факторов: а) эпюра продольной силы N; б) эпюрапоперечной силы Qy ; в) эпюра изгибающего момента Mz2.8. Проверка решенияВыполним статическую проверку, рассмотревравновесие системы сил, действующих на плоскуюраму, включая и опорные реакции. Схема нагружения рамы представлена на рис. 41.Для плоской системы сил можем записать следующие уравнения равновесия:- сумма проекций сил на горизонтальную ось (полагаем, что это ось х) равна нулю∑ X i = 0, Р – Н0 = 0, 20 – 20 = 0;Рис.

41. Схема нагружениярамы и опорные реакции- сумма проекций сил на вертикальную ось (полагаем, что это ось у) равна нулю∑ Yi = 0,V0 + V2 – q·с = 0, 19,375 + 20,625 – 20·2 = 0, 40 – 40 = 0;- сумма моментов сил относительно точки 0 равна нулю2∑ M 0 ( Pi ) = 0 , М0 – Р·а – qc / 2 + V2 ⋅ c = 0,18,75 – 20·1 – 20·22/2 + 20,625·2 = 0, 18,75 – 20 – 40 +41,25 = 0, 60 – 60 = 0.Можно рассмотреть равновесие узла 1.

Для этого вырежем узел 1 и в прилегающих сечениях приложим внутренние силы (рис. 42). Рассмотрим равновесие сил, проецируя их на вертикальную ось:∑ Yi = 0, 19, 375 – 19,375 = 0.Рассмотрим условие равновесия в виде суммы моментов сил относительно точки 1:∑ M i = 0,Рис. 42. Схема силв прилегающихсечениях узла 11,25 – 1,25 = 0.Условия равновесия выполняются.45ЗАКЛЮЧЕНИЕДанные методические указания посвящены изложению одного из методоврасчета статически неопределимых стержневых систем – метода перемещений.Материал знакомит читателя с особенностями кинематического анализа стержневой системы и построения основной системы метода перемещений.Приведены табличные данные о различных схемах нагружения однопролетных статически неопределимых балок и соответствующие этим нагружениям эпюры изгибающих моментов и опорные реакции.

Следует отметить, чтопредставленные в методических указаниях табличные данные о различныхсхемах нагружения однопролетных статически неопределимых балок содержатболее полную информацию, чем имеющиеся сведения в учебной литературе.Приведены канонические уравнения метода перемещений, изложена последовательность определения коэффициентов и свободных членов канонических уравнений. Последовательность определения коэффициентов и свободныхчленов канонических уравнений показана на примерах анализа плоских рам.Представлена процедура решения канонических уравнений и перехода копределению внутренних силовых факторов в поперечных сечения стержневыхучастков плоской рамы.В работе дан пример расчета статически неопределимой плоской рамы методом перемещений, начиная от формулировки задания с последовательнымизложением всех этапов расчета.Подробное изложение материала направлено на представление читателюболее полной информации при самостоятельной работе по теме.В приложении даны расчетные схемы статически неопределимых плоскихрам, которые могут быть использованы для выдачи контрольных заданий.БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК1.

Дарков А. В. Строительная механика / А. В. Дарков, Н. Н. Шапошников. −М.: Высш. шк., 1986. − 607 с.2. Дарков А. В. Строительная механика / А. В. Дарков, Н. Н. Шапошников. −М.: Высш. шк., 2000. − 630 с.3. Снитко Н. К. Строительная механика / Н. К. Снитко. − М.: Высш. шк.,1980. − 431 с.4. Клейн Г. К. Руководство к практическим занятиям по курсу строительноймеханики / Г. К. Клейн, В. Г. Рекач, Г. И. Розенблат. − М.: Высш. шк., 1978.

−318 с.4. Черная С. В. Расчет плоской рамы методом перемещений: методическиеуказания / С. В. Черная, А. Н. Черный. − Ульяновск: УлГТУ, 1997. − 20 с.5. Черный А. Н. Расчет плоской рамы методом перемещений: методическиеуказания / А. Н. Черный. − Ульяновск: УлГТУ, 2001. − 20 с.6. Манжосов В. К. Расчетно-проектировочные и контрольные задания построительной механике: методические указания (для студентов ЗВФ) /В. К. Манжосов.

− Ульяновск: УлГТУ, 2006. − 28 с.46ПРИЛОЖЕНИЕ123456789101311121514Рис. 4347161718192021222324252627282930Рис. 444817181920212223244925262728293031325051.