Димитриенко Ю.И. - Тензорное исчисление, страница 11

М„произведениемсостоящееэлементовобозначимАналогичноЛЛимножество,пармножествокоторогомножеств.теорииДекартовымназываетсяупорядоченныхвозможныхМмножестванекоторыхдваМчиселизсведениянекоторыеОпределениеMi.пространствахих.множествТакоетензоровлинейныхэквивалентностинамПриведемРассмотримпространствахАлгебра2.5.n-мерныхОтношение2.5.1.линейныхнаэлементтогдавсилу3°Алгебра§2.5.бытьдолжнотензоровсdтранзитивностисилу[Ь]и[а]совпадают:Вобратную2.21местоотношениюнепересекающиесяподмножества.Вделе,Тогдаэтоготт~(М)содержитдоказывает,чтоПокажемПустьпересекаются.[а][Ь].[а]что?2.24^2.5.2.ОНо[Ь],=Пустьразбитьсчтоba,еслиа~еслиа~Ь,Ь,Применяяна?с[а]итонечтотеоремы,дока-не[а]классыэлементзначитвтакой,с3°силуоапересе-[Ь]итакие,b~различииипо[а]?счтотеоремеклассов.этихзадано1°3°-линейномнадополнимещепро-двумя:дляможнораз-Сс~Ь-Ьс;+тоато$ п„(М),эквивалентностиэквивалентностиаксиомыэтомприибу-негодляпротиворечиедопущениюотношение?,3°тг^(.М).ватг^(Л1).впопадаетсостоящийразличныеЬ,эк-классоввсехне1°классы~непересекаю-напространство-теперь[а]определениюусловиювыбратьсипо7r^(Ai)МПолученноеразличныеа?авходятможно~[Ь],эквивалентности,М.противоречитФакторпространствелюбых4°5°тогдавчтоэквивалентнос-аксиомыимеютсяТогдаеслиследовательно,классовпротиворечитЛЛ[Ь] ф 0.Однакоозначает,?апредположениюэтопротивное:а,ЛЛкласса;изчтоb,элемент,[Ь].Этотогдаа=классытеперь,Смножествоодинпоэлементывсе[а].множествоНовсеС~всехвсе[а]тг^(Л1).принадлежит[Ь]элементкакdтож„(М)ещеТаклюбой[а]теорема.элемента:выполнены.будут^25образом,значит[Ь],=имеетсяобразоватьможноодного[а]разбиваетпустькакой-либоноэквивалентности,изA?важная~самомb.Множество2.25.Теоремапоэтому~однаещеэквивалентности поа,пустьачтоозначает,ИмеетТ~сторону:этоd[Ь].=[Ь],[b]иэлементпространствахТакимпринадлежитпроизвольныйвыбрать[Ь].?ст.е.[а],принадлежащийсЬ,~линейныхn-мерныхнаааab.~2.25,теоремучтополучим,Спространствоэквивалентности:классынепересекающиесяUС=B.108)[а].а(Е?Междуумножения•суммойэквивалентных•произведениемэквивалентныхэтимиможноклассаминаопределитьисложенияоперациичисло:[а]классовсумме+b;-fa[Ь]называют[а]классанаэлементу[a]классчисло[b]=b]-fназываютэквива-элементов,класс[sa]элементов,т.е.5а,+s[a[a+b],s[a]=H.B.109)ум-иГлава126[С]чтоместоимеет2.26.ТЕОРЕМАСсамотеорема.следующая[С]Фактор-пространстволинейнымявляетсяэквивалентностиклассовфактор-пространст-называютС.пространстваОчевидно,пространствапространствахвсехСпространствафактор-пространством,линейныхнаМножество2.22.ОпределениелинейноголинейногопространкотношениюпопространствомB.109).операциямЗаметим,что[а]классов[С]ВТензоры2.нехотявсетакссовпадаетотождествлятьегоизоднимсэлементов?,элементамиэлементовтолькообъединениепространствокакэквивалентностисилуB.108)согласнообразует?,тожесамиклассы.можноклассклассе,представителей,егофактор-пространствоявляютсяввсехчтоотождеств-будемимывделатьдальнейшем.Тензорное2.5.3.Рассмотримнихлинейныхдва?Пт>множествоотлинейныхпроизведениедекартовасобойСппроизведенияСогласноСпиАгдеb^Cn,Еa,-чтобыскобки,НаборынаборовДва(a;bM)изодинаковые(iбудемСптЕСпоизедениемвида:внаумноженияbWилиЬ^вектороввзятвпространства.наборами.числонабо-векторныходнотипными,элемента+двухнаборы:(а,-сИ)=множестваесли(tCmeСуммойследующиеназывают(a,-bW)Прнаборыусопряженноговекторныминазыватьдалееназовем2.23.множестваИндексB.111),Спт.а,-Определениеявляют-элементовиз.anb^).элементамиинаборавекторыBп),l,.

.n).=смножествавекторныхСптмножествасоставленные(aibWa2bMсложенияоперацииB.110)элементами=ихпутатьB.111)видаВведемизстепеньт.е.CmЕнеОбразуемдекартовуСт)п.хдлиной(а,-ЬИ)=Ст.иn-уют.е.{Сп=Анаборы?т,?т,х2.20,определениюупорядоченныепространствСппространствапредставляющееСптявляютсяпространств(a,(bWониимеютоди-.п).1..=однотипныхэлементов+СПтмно-с")),B.112а)«ячислоsназывают§Алгебра2.5.B.111)определенийИзнатензоровлинейныхn-мерныхB.112а)идляпространствах^27элементоводнотипныхсле-чтоследует,(а,-ЬМ)Введем(а,-сМ)=СпгпмножественаbW^>с™,=B.113)i=l. .n,отношениеэквивалентностиследующимобразом.Элементы2.24.Определениеа)Аеслиэквивалентными,АэлементыиВсостоятноупорядоченных,aibM,. .anblnl,иВСптмножествавыполненооднихизоднобыхотяжетехивообщеназываютусловий:извекторовпароб-различнымговоря,образом;б)в)одинэлементоперацииB.1126);всебытьможетaib^,. .anbfn'векторовпарыАэлементоввекторовнулевой-ПриведемАА==Аэлементовсогласнопар,Виа),правилам(а^МазЬМазЬИ)в)иВыбирая1°некоторый[А]Ап-ойСпСтиСп®Ст®знактензорногоудов-ва)правил-в),на-классполучаемрезультате?nm,?nm,всехмножествополучаеманалогичнокоторое,[СПт]клас-определе-Спт.множествапроизведениемразмерностистепенипоототношениюкобозначаютего=[Спт]произведения.линейныхназываютпитдекартовойхВ.=помощьюсТензорнымСтиф О,обозначение.2.25.эквивалентностигде?специальноеСпsА.элементавводятОпределениепространствпространствСптфактор-пространством[Спт]фактор-пространство?элементы,множестваназовем-Аэлементыэквивалентности2.22,В,упр.2.5.1).элементемувсеДляB.114)эквивалентностиотношение(см.3°-эквивалентныеПеребираяопределению3),=В,=@Ь^а2Ь^а30)-введенноечтоэквивалентностиклассовизсоответственно:=(ai0a2bM0bP])=аксиомамвсе(п?ззпространстваб)(a3bMa2bMaibw)-убедиться,находимуодин(^)Аудовлетворяетрасположениякоторыху(Ы1]^[2]И)Несложноопера-0.векторпримерыэквивалентныхихтехкромепомощьюспорядокисовпадают,Видругогоизполученвведеннойдекартовавфактор-проспроизведенияопределении2.24как=[(СпхСт)п],B.115)ГлаваТензоры2.линейныхнаследующимобозначаютСпсистемывтеперьбазисСти(т.е.[А]=[a,-bW],=B.115а)?Пт.Еhi.Для.hmСт:иэтого?m,вСпвСп 0 Ствыбереммножествеклассов).векторовинапостроимихэле-системуспециальнуюбазиснекоторыйосновеПодставляяэтисисте-следующиеB.116)A(iJb)Укажемэтой2.27.Теоремаэлементыб)ДоказательствоB.117)[Ау*)]в).и*l.

.n,=теоремыВведемпринадлежатраз-СПтвпроделатьрекомендуемклассовдляэквивалентностипокачествеАу*)элементовej®hkНазовемэтиВажнуюрольСптизиграетот-упраж-КлассB.П8)диадами(сравнитесA.113)).теорема.[a,-bM]эквивалентностипредставитьввиделинейнойлюбогоэлементакомбинацииклас-B.117):системытп[А]Т*кспециальное[ei(PJhk)].следующаяможноэлементов=базиснымиклассы2.28.Теоремаa,-bW=[a,-bW]=??T'fc[Ay*)],BЛ19)коэффициенты.-ПосколькуклассыявляютсяполучимB.117)l.

.m.пространстваобозначение:где=2.5.2.упражненияклассовB.111),наборывСпт:системыэквивалентностиа),отношениямiА;исистемы.Всеклассамjпространства(ei(^ihJb)).=свойстваразличнымэлементовпт(ei-bg)=фиксированныхпривекторыизсистемув.епei.а,=е„получимобо-ибазисПостроимэлементовиАСт,GДиадный2.5.4.называютСпобразом:ЬИ?п,Ga,Сп®СтмножествапространствахТгдепространствахТЭлементы2.26.Определениетензорамилинейныхнатензорамиеще[А]второгооднуформулировкуи[Ау*)],согласнотеоремы2.25определениямторанга,сучетом2.28.обозначенияи2.26,B.118)§2.5.АлгебратензоровнаЛюбойтензор2.28а.ТеоремаСппространствахСтидиад:базисныхПреждедоказатьчемсихклассами:эквивалентныхдляB.119)всехэлементоводнотипные,?пга,атолькосо-элементывсеихдляклассы,частности,сложениепоэтомуэкви-опреде-очередь,толькоВкпереходэлементов,своюизСпт.извидаВо-вторых,классвможноэлементыB.117)системыкоторая,складыватьоднотипныесодержащиеТнеСледовательно,это-?nm,ичислокласса.данногоклассовизтриопределенынаизВо-замечания.дванамиумножениесложениеB.112)правиламиоднотипных.простран-комбинациилинейнойсделаем2.26сложение,элементовсуммеопределена2.28,элементB.109)определениюполинейныхнавидеB.120)теоремесодержащемуклассу,новому^29Tjkej®bk.=ипространствах[А]=втеоремуB.109)согласнодействийТпредставитьможноTпервых,линейныхn-мерныхформулевклассовправомерно.Выберемпроизвольныйвклассвиде[а,-ЬМ].anQ]+ВэтихэлементыклассахпареРазложимbakhk,тогдаследующимобразом:теперьвекторыкаждыйкласстольковообщеэтоааaQ0.Ь^а^е;,=представить=следу-n? ]? b^a^O=говоря,видапарыможноm0hn]B.121)базисам:поB.121)сумме.anQ]+.одной,по-Ь^иаа..егопредставим.а„ЬМ.остальныеaви[а10..

ап_10апЫп)].. .+имеютaabtal,векторов[ах0+..+ненулевойСптизэлементов:однотипных[aibWa20..=(а,1>М)элементклассовсуммы..е,-Ь*..en0]=k=lj=lfcrrljrrlЗдесьмыприменилиOh,наПодставляя2.24теорему(фактическиэквивалентныйе,0).B.122)дляпоменяливB.121),=[a,bU]=J2 ?fc=lj,a=l5Тензорноеисчислениевэлементаа,0Oh,-,наазатемнаклассепарыполучаемmТзаменыпарыn<ЬаЧ-®hfc,B.123)Глава130чтолинейныхнапространствахB.120),выражениемссовпадаетТензоры2.причемi6afc-BЛ24)Aa=lСледствиемэтойТеорема2.29.СппространствпроизведениеразмерностиДействительно,помощьюпролинейнымСпт:извэтогодляB.123),видеB.112)сложенияправилавозможностьпоявляетсяпредставитьиспользуяоднотипных2.28элементовклассыэтискладывать,линейныхявляетсясамотеоремынеоднотипныхпредварительноутверждение.Ст0пт.склассыСппитразмерностискладыватьважноеодноещеТензорноеСтипространствомТявляетсятеоремынадозатемаужеклассовдляодно-элементов:(aj{bik=Несложно?>т®откудатеперьДляэтомСпчтокга)Всамомделе,элемен-являютсябазисныхдиадh*всистемучтопредположим,нашласькоторойдля®еунезависимуюTjfc,коэффициентовсистемаУстановимB.218)всехлинейнообразуетпространства,пространство.наборапространствалинейногодиадыСт,®1..=линейное-B.125)элементами8°-базисныечтоСппространстве.ненулевая1°djiCik)hk)]+соперацииСт®заметим,пространства1..п,=эти[ejWtV*=аксиомамудовлетворяютследует,егоразмерность.этогоэлементамиh,®чтопроверить,?>п(jdV'*)e;+такаявыполненосоот-соотношениеTjkej®hkВыбираяпредставителейнекоторыхклассов,B.118):0ОткуданапротиворечитКромелинейно2.3,базисом.основанииhi.чтоh^налинейнообразуютосновании(8)hfcчерез-Числобазис2.28а,вних,ав2.4определенияdimзначит,наСппространствеэлементов<g>базиседиадномэтосистемувэлементизоснованииCm,нопротибазисныеСпопределенияназываемыйравнопга,®Сп0(8)Ст)=пт.АСт.Стдиаднымнаоткудачтополучаем,(Сп0,образом,любойиB.127)=ТакимнезависимуютеоремывыражаетсяejТгкЪк=?m.в-(е.-Ь<«'>).=Ы1)получаембазис.hmB.126)изполучаем(е.-(Г'*Ь*))=B.115)основаниитому,еу ®того,диадыГ>>,(*'>*))=B.126)0.=B.128)Алгебра§2.5.ПосколькуГ7*h*0ejB.120)втензоровПостроимг(nСп1.=m),=Сппроизведение®ВыберемтогдакакШаг1являетсяпространстваСтсостоитизбазисныевзятьследующимтогап2элементов,<g> еу(i,j=е,-диадыегоТогдаиз=2.25определениякачествев®ej.п).efc,j,тензорыСп.Ст2.29,выбратьhm этогоhi.