Димитриенко Ю.И. - Тензорное исчисление

Ю.И.ДИМИТРИЕНКОТензорноеисчислениепоуниверситетскомувпособияфизико-математическимзаведений,и«Высшаядляшкола»студентовобучающихсяспециальностяммашиностроительнымМосквавузовобразованиюполитехническомуучебногоучебныхкачествевысшихпообъединениемучебно-методическимРекомендовано20015012246УДКББКДРецензенты:кафедраМосковскогомашин(завкафедрой,ТензорноеISBN575-Учеб.пособиедляВысш.-М.:вузов.ил.с;5-06-004155-7Учебноепособиеиспользуемыеохватываетосновныемеханикевтензорныйанализ,тензорногоинтегральногоИзложенаиитен-теориясред,аффиннойтеорияисчислениятензорногосвязности.заведений,учебныхвысшихиосновысвойстваосновыпространствахаспирантовтен-тензоров,инвариантов,теориятакжемеханикесред,алгебруповерхностей,физическиезадающихпространствахстудентовфизико-математическимикривыхфункций,атензорныхримановыхобучающихся поописаниетензоров,анизотропныхДляхимии:исчисления.индифферентныхисчисления,сплошныхквантовойтензорноетензорногоразделыэлектродинамикеикристаллофизике,композитов,вА.Г.Горшков);профессорД.В.Тарлаковскийисчисление:2001.шк.,институтаЮ.И.ДимитриенкоД46иавиационногофиз.-мат.наук,профессорд-рфиз.-мат.наук,д-рдинамикиматериалов,сопротивленияпрочностиобучающихспециальностям.машиностроительным501УДКББКISBN©5-06-004155-7Оригинал-макетшкола»,издательстваданногоиегозапрещается.репродуцированиеизданияявляется(воспроизведение)«Издательство«Высшая«Высшаяиздательствалюбым2001школа»,собственностьюспособом22безсогласияизда-ОГЛАВЛЕНИЕПредисловие5Истоки7исчислениятензорного13ВведениеГлаваТЕНЗОРНАЯЛокальныеАЛГЕБРАбазиса.1.§1.1.векторыматрицыпроизведениеметрически姧1.2.1.3.ВекторноеГеометрическое1.4.1.5.1.6.АлгебраСобственные1.7.1.8.1.9.Главаалгеб-итензора355259полейзначениятензораикососимметричныеортого-62707380тензорыФизическиекомпонентыТензорыПсевдотензорытензороввысшихТЕНЗОРЫПРОСТРАНСТВАХЛинейноерангов..ЛИНЕЙНЫХНА2.§§мет-тензорамисСимметричные,§ 2.1.§ 2.2.§ 2.3.и1729операциитензорныхортогональны姧§Якобиевыопределениеалгебраически姧§17n-мерноеМатрицы878797пространствоn-огоЛинейныеПРО-порядкапреобразованияпро-п-мерных109118пространств2.4.2.5.СопряженноеАлгебрапространствонатензоровлинейныхn-мерных124пространствах§2.6.§§3.1.3.2.ГлаваВнешниеПРЕОБРАЗОВАНИЙГРУППЫ3.ЛинейныепреобразованияпреобразованийГруппыГлава.вкоординаттрехмерномСимметрияМатричные157евкли-конечных171175телпредставленияпреобразо-групппреобразованийИНДИФФЕРЕНТНЫЕ4.157...пространствеевклидовом§ 3.3.§ 3.4.143формы195ИТЕНЗОРЫИНВАРИАНТЫ§ 4.1.§ 4.2.Число4.3.4.4.4.5.201тензорынезависимыхиндифферентног§201Индифферентныекомпонентиндифферент-тензораСимметричныеСкалярныеИнвариантыиндифферентныетензоры..инвариантытензорасимметричноговторого250рангаГлава5.§§5.1.5.2.ТЕНЗОРНЫЕЛинейныеСкалярныетензорныефункцииФУНКЦИИфункциитензорного214226238267аргумента.267295§5.3.5.4.5.5.|§ПотенциальныеСпектральноевтороговторо,Спектральные§ 5.7.§ 5.8.Непотенциальныеквазилинейных5.9.тензоровпредставлениеранга§ 5.6.§308317функциифункциитензорныетензорныеКвазилинейные346359функцийтензорныхфункциитензорныеДифференцирование..функцийтензорныхтензорномупо376аргументуСкалярныефункциинесколькихфункциинесколькихтензорных379аргументов5.10.§Тензорныетензорных395аргументовТЕНЗОРНЫЙКовариантноеДифференцированиеАНАЛИЗ6.Глав১§§§6.1.6.2.6.3.6.4.6.5.Свойствапроизводныхковариантных7.1.§7.2.порядкакриво-второговортогональных424координатахИКРИВЫХПОВЕРХНОСТЕЙ§..производныеГЕОМЕТРИЯ7.401410414419рангавтороготензоровкриволинейныхГлава401дифференцированиеКовариантныеДифференцированиеПО439Кривыевпростран-евклидовомтрехмерном439пространстве§ 7.3.§ 7.4.§ 7.5.ГлаваПоверхностипро-449468483490пространственаповерхностив окрестностиУплощенныеповерхности..IR3вповерхностиТЕНЗОРЫПРОСТРАНСТВАХПРОС-РИМАНОВЫХИ ПРОСТРАНСТВАХСВЯЗНОСТИВАФФИННОЙ§ 8.1.§ 8.2.§ 8.3.евклидовомтрехмерномвКривыеГеометрия8.Римановы495495507пространстэаПространствааффиннойРимановосвязностиспространствоаффиннойсвязнос-515522связностью§8.4.ТензорРимана-КристоффеляТЕНЗОРОВИНТЕГРИРОВАНИЕГлава9.§ 9.1.§ 9.2.§ 9.3.Приложение.КриволинейныеПоверхностныеСйисокотинтегралыинтегралыОбъемныеототинтегралыЭнергетическиеквазиэнергетическиеПредметный328квазилиней-представления....тензораипары.тензоратензоратензоровквазиэнерге..535535544550554567литературыуказатель569ПРЕДИСЛОВИЕВозникновениюпреждеРиччи,всегоматематическийаппаратХотядля"системы"этисамибылигеометрийнеевклидовыхисследованииприисследованииПуассоном(см.этомудобнуюкотораяобластяхразличныхширокомы-исчисления"),тензорногокомпактнуюнастоящеевфизики,поня-исамыхввремяразлич-кристаллофизикихимии,иименнообозначенийсистемуиспользуетсямеханики,видеегосовременномвXIXвекаконцепредложилкоторыйс индексами"."системаминадоперацийисследообнаруженыраньшеприРиманом,Гауссом,КристоффелемКоши,ПуассоЭйлером,Лагранжем,"Истокиразделразработалпонятий,телупругихобРиччивисчислениятензорногообязаныдругихинауках.Ввремянастоящееновыепоявляютсяучебнуюполитературуиллюстрацииэтихнастольранга"Чтоижедиада?"такоеДаннаякнигаметодамиобъектагеометрическогозатемпозволяетлишьвпослетакогонадеется,преждевсеготела,кристаллофизики,указанныхнашглавтеориииндифферентными),тензоров.даноформальноедляобластибудетопределесоперацииИним.тензоровопределениеполезнавв(винвариантовфункций,теорииуказаннанедостаточно,теорииназваныотносительнотензоровтензорныхоникнигетвердогокромемногиевопросылитературесвойства"посколькусодержатсяспециалистам,физикисред,химии,нейитакжесплошныхмеханикиосвещенныетеориикоторогопространствах.книганачинающих,физическиегео-какосновеЭтоосновныеивведениивовекторатензора.определениетензорквантовойвзгляд,"задающихкристаллографическихгрупп,жечтовнапространстве,самn-мерныхАвторпонятиетрехмерномзнакомстваабстрактныхзнакомствонейвпоэтомупрограммы"геометрическое""увидеть"даноопределениевмногиедатьначинающемуименношкольнойизпространстве?"тензорами.исчисления,знакомоевтороготензорзатруднятсячитателю,предназначенатензорногоизложеноспокажетсянитрехмерномвсегоскореезнакомыеиллюстра-этосебеввекториответ-читатели,искушенныескакнаглядно,ДляКакпредставитьлиучеб-потребностьактуальна.пример.один"Можноранееимеющуюсялитературы),списокдостаточнолишьвопросы:нанесмотря(см.тензорамприведемстранным,развиваться,некоторыепоэтому,вопросовсказанногопродолжаетпереосмысливаютсяИменноизложениивнаправления,понятия.введенныеисчислениетензорноетензоров,"за-индифферентныкристаллографичесинтегрированиятен-ПредисловиеКнигаАиПримеханикематериалатензоров,быстроивезде,времязаслоняягдеэтосчитаетАвторкафедройБ.Е.Победрю,профессорамеханикистепенизамыселзаведующеговозникзамечаний,приятнымподидейкниги;им.Н.Э.Баумананаписанииинесколькихблагодаренкниги,подготовкупрофессораценныхрядзаме-профессо-такжеаС.П.Ерковичаипомогликоторыхдоцен-авторукниги.физико-математическихкандидатуза"СопротивМАИ,зарекомендацииразделовсте-кафедройВ.В.Феоктистова,советыпрофес-машин"рецензированииизначительнойвД.В.Тарлаковскогоприжезаведующе-которогопрочностьтокомпонентнаязаведующегоипрофессоравысказанныхАвторИ.Д.ДимитриенкоМГУдинамикаВпоблагодаритьим.М.В.Ломоносова,долгомвлияниемэтойА.Н.Щетинина,притензорныхмехани-вявлений.сутьсоответствующиесоотношений.композитовипрофессоров МГТУдоцентафизическуюданыфорпозволяетсоотношенияразличныеуместно,своимбезиндекснойнавыкахопределенныхэтомпризаписиматериалов,А.Г.Горшковапризаписыватьнеформыматричная"Сопротивлениепочтизначка-выделеныпредпочтениеотданокотораякомпактнофизике,иимеютсяконцевдоказательствконецинейвупражнениясоответственно.изложениизаписиформеиНачалопараграфа.Ўпринципу":доказательстватеоремы,каждогозначками"математическомупопостроенаопределения,оригинал-макетанауккнигииеередак-редактирование.АвторИСТОКИТЕНЗОРНОГОИсторическитензорамскладывалдействующиеинтуитивносторонувикоторыйЭтотСледующийтолькосделанA805-1865),"vector"несущий),-произведение",этиженастоящееA845-1879)объединилжеокончательнаябыласвязьСамовтольковпонятиеобращениекакA789-1857)аввелоб-вобозначениеемусоответствующееирадиус-вектораГамильтона,уО.Кошистрелкойсоотрезкапо-видимому,математикалгебрыA839-1903).Дж.У.Гиббсомвекавпервые,французскийгодуокончатель-векторнойивекторапоявилосьГрассмана,иXIXизвестнаяУ.КлиффордГрассманаконцетеориягоду),1844вопера-созданаАнгличанинГамильнонаизображениеустойчиво1853введенопроизэтихопределениебыладалГрассмана.алгебрыгеометрическоетакжепонятиеподходысде-латинского"скалярноеA809-1877)кватернионов,установленаи-алгебракаквремя(от"вектор""скаляр",термины:(самопроизведенийвнешнихбылшагУ.Р.Гамильтономтерминпроизведение",Г.Грассманомгодызрениякватернионов-гиперкомплек-самтакжеа"векторноеВточкитеориейввелгодувтел.математикомзанимаясь1845вчисел,A642-1727)И.Ньютониирландскимкоторый,сныхопераций.векефактипаралле-правилуподвижениясовременнойсXIXведин-A548-1620),величины,силзаконамиснарядуважнейшийоставалсявекторнойсложенияформулировалзаконже"Началах"своихшагС.Стевининженерпонятиязаконразнехарактеризуютсядолгоин.э.,основополагающийисчислениясоздателемещепереоткрылпараллелограмма.которыематематикдоггпараллелограмма,Этотвекторногосчитаетсяфактическиправилуобъекты,направлением.голландскийединственным:вособыенопотело,287-212в"сис-иматрицыжившийнавводилвеличиной,разработкитольковекторы,Архимед,Ещесилы,т.е.предшествовалииндексами".с"системыИСЧИСЛЕНИЯ*г.ВобъектXIXвекесн.э.Матричнаябыло*Этотвсейразработкиисчисление.историиявляетсяиименамиученых,изнакомствоусилиямисамовкоеймеренесозданоA821-связанныхсссовременноеполнотунапретендуетчитателябылодоматрич-А.КэлииначинающегокоторыхвекеМат-современноеисчислениятензорногоIуравнений.математикомниочеркразвитиялишьлинейныхсистемуравненийразвитоматрицвокоторыеанглийскимисторическийкраткийцельюзаписидляобъ-одинпоявлениематематиками,алгебраическихзаписьисчислениеизложенияегоихещеПервоематрицы.-древнекитайскимиприменялииспользоватьактивнотензоровсвязываютматричноесталиматематикипредшественник-нимэтапаминаук,разра-тензорноеИстоки1895),который,вчастности,дляврезультатыввелгодуопределителя:всеиформы,теориювдругие,которыеформаквадратичнаягеометрииинемецкоговрезультатыважнейшие1866),которыйA835-1900),Э.Бельтрамикоторыйds2роль1869вгоду,?)=|/преобразования,dfit/dx^dx^,атакжепонятиеввелпреобразуютсякоторыеВозникшаяещеA749-1827),П.ЛапласаМ.В.Остроградскоговеке"системподразумеваликубика,системамисXIXконцеВпервыевекторнуюалгебруумножения,показавКромевеличинвекторыхфизикуисГиббстогодифференциальногобезиндекснаяформапредставлениязаписидлясоздалоперацийВдивергенцииамеривекторумноже-векторногоГрассмана.алгебройвекторныйсоотношени.удобными.решитьииспользуетсякоторомсис-Однакоформул,которыйивекторныхтакимиудалоськватернионовсовременныйсоздалвзадачуZy,граняхматематическийискалярноготеориейсисчисленияисчисления,новыйДж.У.Гиббсу,сложения,связьнаединствокомпактнымиэтуматематикуоперациямиеенимисZx,обозначений.внутреннеенайтииоперациидляамериканскомуиндексами",ссделавшийаппарат,Ком-Y2)многочислен-заменыпонятьуппоявлениясодержаликруговойудалосьравновесииидеформаций.Xz,YX) Уу,действующихнадОперациигромоздки,довека"системысодержащихкоординат.точностьюсвосииХу)сил,весьмаиA736-1813),A789-1857),источникомоднимпроекциинабылииндексамиповторениятольковекторногонимиподматематиковО.КошинапряженийХХ)какназываютихдвиженииоещекомпонент-величин,векторныхA781-1840),наукасталаформпреоб-их(сейчаскрупнейшихЖ.-Л.Лагранжа-обозначалиэлементарногомногочисленныеA801-1861)упругости),индексами"напряженийсКомпонентыизаконотусилиямиС.Пуассона(теориятелупругихтензорныйзаконуA707-1783),кото-квадратичныхтензорномуXVIIвЛ.Эйлерамехаников:A795-1870).A829-1900),производными).ковариантнымиизмерений,пГ.ЛамэпроизводныхпоA826-случайA849-1925),впервыеважней-Б.Риманомнапреобразованияобнаружилвыдаю-МногиеЭ.Б.Кристоффелюрассматриваяквадра-отрезка.установленыФ.КлейномпринадлежитвтораясчитаютправуповерхностейтеориюразвилВыдающаясяпобылифориA777-1855).областиквад-A842-С.ЛиэлементарногодлиныК.Ф.Гауссаученогоэтойнапример,перваякакквадратматематикиэто,А.Кэли,дифференциальныеповерхностейтеориивыдающегосяалгебреизвестныповерхностиA823-1894).областяхквадратичные-бы-уравненийразабатываливремяОсновоположникомосновополагающиеразныхВкоторыхнастоящеевввекаиндексами".сформы,квадратичныеXIXжетогосейчасиалгебраическихЛ.Кронекеромматематиком"системы1899)линейныхиспользуемоеМногиеdссистемтеориитечениепоявляютсяудобные1841внемецкимполученыВZ2исчисленияЬобозначениебылитензорногоанализполейикаккомпонентная,-частности,вектакимитеорию"язык"самроторабылиданывектор-иИстокиЭтиполей.ныхиспользуюталгебра"ЭлементыучебникпобылисчислениябылаэнтузиастомобластяхразличныхданаметодХотяметода,сиОднаковиндексов,бессильным,1889электромаг-МаксвеллбезиспользовалсторонникамикритикибылоактивноМаксвеллавоспринятовсемипрактическивиспользовалвгеометрии,всеоказа-уравненийтеорииХх,обозначенияжететеорииГиббсазаписиприбольшимсисчислениевекторноенапример,сам,годуодного):(более-онсистемывозникаютгдеу векторовивименночастности,уравненийГиббсатеорияис-векторноговжеобошлоськристаллофизике,вупругостисамнауки,чемупругости,оказалосьзаписьвекаобластяхтехвсеГиббса.формевчисломвекторнаяA831-1879),неXXначалаиспользуетсясути,следуютраспространениинаук,исчислениевекторноефизиками,Yxвсовременнаякватернионов.этогосту-пофактическиточныхДж.К.Максвеллаэлектромагнетизмадлякурсы.большимвмеханику,представляющим,исчислению,современныеГиббсалгебиизложениивигг.векторномукоторуювекторнаяанализавекторногоссравнитьфизикусовременную1881-1884вможноA540-1603),ГиббсомввошливыпущеннымсоответствующиеимСозданныелет.прочнолекциямего400ужетакжестудентов",первыйГиббсаФ.ВиетомсимволикивотанализиисчислениярезультатывыдающиесяалгебраическойвведениематензорногоХ2,Ху,т.д.иПроблемуобобщенияпроизвольнымчисломудалосьA853-1925),Дж.Риччиновыйсоздалкоторыйалгебраическихдлявариантнымиичиназывалчисэтогоифизику,виСПрименениепространствитальянскимматематикомРиччивведеноносящийимяважнейшуюрольсыграловведениевекторовиДлятензоровзарождавшейсявпонятиячастности,?*•**,8ijКронекераИсключительноисчислении.Леви-ЧивитойсоавторомвсимволвведенсимволомсиИм,индексов,риманоитальянс-коллегойработах.нарядутензорномвдляA873-1942),играющийиисполь-выдающимсядругимсвертыванияправилоего"ис-широкооноосновополагающихнесколькихважнуюпереносапараллельногопространствах.римановыхнарубежеXIXиXXнавлияниедифференцированияосуществленоРич-называлосьдажеоноизменениямиТ.Леви-ЧивитавбылобылоРич-пространств.сильноевремянекотроымитеориивыхn-мерныхнастольковремя.абсолютногонастоящее(такЛ"ко-основополагающиеустановленынекотороесСамимжГ1Г2*"Гл).иоказалочтоис-операцийгеометрииРиччи,соз-гг.порядка?Г1Г2..