Димитриенко Ю.И. - Тензорное исчисление, страница 13

.(*o-*i).компонентспространствахчтотакая,Д«'/рт=0,Числомчислонакомпонент.Теоремак'оЧисло2.32.Т'пподпространстванекоторогоподпространства:коЎРассмотримвтопространство,тензоров,Nгде7^',и7^.изТакбазисвыбратьможноdim=кТтензорнемэтогоразмерностиравноЫкТразложитьпо7^какfcAE),sэтомубазису:линейное-.i\T,1..=Т(*)коэффициенты-.Тко)т(Т1..столбеце1базисеромбазисныхB.168)Еслиразложения.изЛА(Л),тензоровB.168)тензора,.

.Л^°х)т(ЛКхтокоординатныйкТ вобразовать<71*"<7</Т:компонентстолбцыиNиз?),гдеиз% ^ fc0.dim=произвольныйСкТтензоракомпонентнезависимыхAts\iltm.iJl'"J4компонентизвиде:взаписатьможнонекото-NГY,Ai(s)T{s\=СтолбцыА1(8\(A\s\)rangNбазисныхiV,перенумерациейстрок.TN)Tвычеркиванием(Т1..N,такэтокакА*,хобразуемкоординатный.Т*°)т.А\уТогдахсИзсоотношениетемиdetжестрок0.Изномерами,B.168а)можно3=1пе-вычерк-.Тк°)т(Т1..иразбитьвы-формирова-пристолбецобразуемэлементовжеиОбозначимизчтогруппы:8=1N(ko-N)xN.размеромвычеркнутых—фА\8\образованныйстолбец,элементовматрицыА\матрицукокоторойуА1^матрицавычеркиваниемстрок,причемкомпонентизквадратнаясуществуетизTV,хстолбцыкоординатныеТогдаобразованнаякоразмеромматрицуоставшихсявычеркнутых(Т1..образуюттензоров.порядкаформировании=B.168а)l. -Ао-i=13 =надвегруп-Глава140Вт(8)Т(*)воА\хЦ8)гДевторуюнайдем:группыобратнаяПодстав-A\g).кполучаем:NЕ Е AU^]TJ-первойизматрица,~соотношений,группуNfiпространствахматрицы?f=i^ie)Ti>=линейныхнаневырожденностисилуПодставляяТензоры2.i0.=(*о1..=B-169)ЛГ).-,=i;=iЕслиобразоватьсноваfj\iтоmko\TB.169)соотношениеD*jгде#,аблочная-матрицаEf=i=матрицаочевидно,к'о(случайB.169а),с<=Nкачествебудеттензоров,независимыхподсчитаемтензоровJl'"jqTii :i+п)пр~2+ято2.5.11.ПолилинейныеСпонятиемпространство.такжет.е.толькоАтеорему.kf0компоненткB1345..

fc),=при-т.е.индексам,р+=A/2)(п2+толькокоторыхq.соот-связанычтополучаем,(р, q)типатензораСптолькоподпространствавкТтензорB.168),а,кромеформыобобщающийПустьгде(слу-Nсуществуетдвумijl'"jqThii=различных,,ком-к'о ^Однаконезависимыхэтогоимеет,средиудовлетворяетпервым5я??компонентысоотношением:объект,поподпространствукак7^').доказываетчислотолькоDljсоотношениятензораичтокомпонент,принадлежащихштук,изэтогоEko-NчторазложениемДляl. .N,aт.е.другиеfcg, которыйи7^'.симметричныхТакиобладатьпримераN|-A)>(Eko-N=матрицаследует,тензоровпространствуВB.167)существуюткомпонентDвидакакболеекомпонентыко=ТакиB.169a)W),-хN.—нечисломB.169а),1..=B.169а)изеслисвязывающиепринадлежитко=котовозможен,максимальнымусловиям(ko—N)l.

.{ko-N)tjнезависимых{NразмеромпорядкаJl'"JqT{iкомпонентii(ко—N),ранг(*0О,\)A(;\EjLiединичная-какпереписать=mN\T/тпко—Nml/mlможноD^T*столбецкоординатныйединый/ml-линейноесвязанпространство,Рассмотрим=СпСпадекартовоMpqещелинейногопонятиеодин-..хСпхпространствСписпользуемыйксопряженноепроизведениехчастофункционала.х..

хС*п.про-немувида:§2.5.Алгебратензоров2.30.Определение/:MPqиШ1,—>Сп,наа,-векторовреслиНаA0)типа@1)ффункционалназывают/значенийАналогичноиопределяетсяТеоремаМножествоДоказательство,оставляемВыберемС*п.вторыЬ*,силулинейностивихбазистеперье1базис<ропретипаодногокоторогое,Тогда,являющиеся/полилинейнойформыполилинейныхформ(р, q)типачислонапроверкесохраняютчтотого,сло-операцииформы,типостав-в?„,пространствераскладываяпроизвольныеаргументамиформыаргументам,получаемповзаимныйиквекторыB.170),иа,-базисам,этимпоназываемые' '¦"' 'аналогиипоместоТеоремаследующаяслинейнымив' -'¦'==S\B.172)B.88))(см.функционаламиSJ{e/.

.S\е,-следующими(S~lrhизf B.170)формыполилинейнойбазисеве(-,е»"«),теорема.Компоненты2.34.базисеf'i,. ip/(*„.-.формы.определенныедругом,е,-„е>\. .=полилинейнойкомпонентами{Р)Я)>немуковек-коэффициенты4.. .VИмеетчисло.наB.171)обозначеныгдеAipq.изаргументовai'. .eJrb)|. .*Jf/l . jFil"J',=сум-равныупр.2.5.4.качествевипространством.умноженияиможно/наборазаключающеесяформобразомзначенияip,всехлинейнымявляетсясложения+умножение2.33.Спfт.е.век-определениюформдвухзначениикаждомприip=пообычнымформсуммойсложения:аргументов.функционал,это-{p,q)типаизлинейныйэто-типаполилинейныхоперацию(р, q)накаждомупоформамножествеопределитьсуммеформойСп.изотображениеосуществляющийлинейнымформаковектор,векторЬ1,полилинейнойполилинейнаяа141B.170)векторовqявляетсяПолилинейнаяпространствах/(аь.. ,ар,Ь\.

.,Ь*)=называютонлинейных71-мерныхФункционал/отнаСпсвязаныстипакомпонентамивсоотношениями:{S-l)*\fklmki)' -'.B.173)Глава142ОпределяяЎТензоры2./формыкоординатыB.172),вполучаемлинейныхнаформыS\. .,идоказываетe\kFСравним"геометрический"основедва(определениележитiалгебраическогоБолеееслиB.158)заменебазисовB.62))соответственноприPli=51,-,=Упражнение2.5.1.удовлетворяютУпражнениеа)B.117)элемента(упр.1.1.8)совпадают,-в)изопределениянепринадлежат1°2.24этомуипоказывая,классу.-3°2.27,теоремукласс§введенныечтоДоказатьегоичтоникакиеобъект.жеA.250)е(-=миS^e,(со-положитьесли1,2,3.=2.5.вопределенииизп.2.5.1.2.24другиеотношенияобразуянепосредственно[-^(jfc)]эквивалентноститоти(S-1)^.,=аксиомамA(jk)евклидовымтензоровтакжекДоказать,2.5.2.каждогоявляетсяодинР^-R,-(Р-%на-векторныхкомпонент=обоснованиесвоеСпвводятдляобозна-простоемножествеУпражненияэквивалентностикакполучиливведенном1ЦСУ,-совпадают"[ ]"ос-тен-длявыраженияскобкиB.115а)иВтрехмер-впрактическипреобразованиязаконы2.25).геометриитеоретико-множественныепространствоA.104)Тензорные-подходатого,определения(соотношениевторогона*.=?"геометричес-тензора:A.104)в+.р(определениеподходахэтихэквивалентностиa,-bM.товСп:наeig,ФормальныеВведенныерамкахкласснаборов?з>1,2,3.=вэтоаформеалгебраическогоэлементарнойB.115а)ив..определениюпространства.A.104)случаяобозначение,Оeh"алгебраический"пространстве,линейноготензоровкиаксиоматикаевклидовомаксиомыв(р, д),типа(р, q)типаиподхода1.18)первоготрехмерноме1'*О..чтозаключаем,тензорагеометрическоготензоратеперьe'«),,полилинейнойобразом,тензор®Сравнениеопределений2.5.12.B.158),формулойТакимсоответствуетil~'*eilfi uaAp=e'«,.

.efcp),компонентами?„.Спнаf(ekl,. .сявляютсяпространстве(р, q)типа-n'q/tl_,назаданного/B.173)соотношениекомпонентыправилуАтеорему.Сравниваясогласноаргументам:e*)\чтопо(S-l(S)\)\ekp,е(-базисеновомвлинейностисилупространствахспомощьюэлементыдляправилсистемы§2.5.3.УпражнениеформуполилинейнуюСпиздействующимСп.вИспользуяA,1)типаДоказатьСвойстваЕслитеоремы2.30иполилиней-чтопоказать,действую-оператором,2.33.альтернированиябудемкг?ШлинейнымформыB.164)альтернированиятосВнешние2.6.операцииоперациятензора,индексам_1432.30,отождествить§2.6.1.формыопределениеможно2.5.4.УпражнениеВнешние2.6.обозначатьееJL=поосуществляется\^ин-всемобразом:следующим(_1ym1..

mfc|T(m1.. mfc)#B.174)'(rai. .mfc)ТеоремаизТпили2.35.ОперацияальтернированияТпобладаетследующимиB.174)свойствами:/__/=кТтензоров^\\mi. .mk\kr^[A]B.175)2>\|mi. .mfc|ferp[A]B.176)B.177)гдеальтернированиепервыхгТ^Т^индексов,кИспользуяосуществляетсяат.е.1..+mrrB.174),определениеB.164)к).по(mi. .=вгруппепер-получаем(-1)2^=х(»i. .tfc)(_1)\т1..

тк\Т[А]ш_а)Здесьмыеслисуммированиеб)знакиоднутрехподстановок:поидеттонасвойствадваприменили(*i--.ifc),умноженаB.178)подстановкаитуженекоторуюподстановкуi\. .перестановокможетслагаемогокаждогог&,mi. .подстановкамбытьвозможнымвсемm*игШ1умно-га*;mi. ...imkсо-связанысоотношениями:.•*mfc|=|*i---*fcmi. .mfcB.179)Глава1442.Доказательство_былоаальтернирования,свойствовчастности,Свойства2.6.2.fcTт.е.всех7nGПерейдема®Применяяправило••к•затемменяяещечастинаОetmfcA.255)переменыиндексыразФормулыB.185)B.186)у..®B.183)e|-fc.базисаполиадногоB.184)A.257)согласноиумножаяустановить=B.185)длятензоров(-lI1-1"*1^,.

^.представляютиправуюокончательно^_ij|m1.. rafc|2rti. .ifc#_можноивиндексовполучаемформулу@,fc):типа(_1)|m1.. mfc|rt1. .t^_(—l)lmi-m*l?ТгМ1.. гя„следующей теоремы.тензора(_i)|mi.»m*lTil. .ue.i=rpimi.'.imkАналогичную)(mi. .компонентамrpiWl. .iWftлевую=кососиммегпричными.B.182)Г11-'Чт1^\|mi. ./__индексоввпокососимметричныесоотношению:называюттензоры\ТпилиудовлетворяющиеподстановокТакиеальтерниро-тензоровfciji(mi.

.mfc)дляоперацииB.180)чтоследует,тензорыиндексам,кг^[А]^АкососимметричныхРассмотримвсем_линейностиB.176).свойствоB.177),Изобразом:(_lj\mi. .mr\^_y\ml. .mr\kr?[A]использованоСо-аналогично.проводитсяследующимY^такжепространствахB.176)доказываем±линейныхнасоотношенияB.177)СоотношениеЗдесьТензоры(fc, 0):типаB.186)собойсодержаниеследую-Внешние§ 2.6.2.36.ТеорематогдакТТензорытогда,толькоиB.185)СравниваялюбаятензоровB.184),fcT,заключаем,дсовпадаетТМножествоfcTиЛппространствоfcBкомбинациятензоровкососимметричныхявляютсятожевсепосколькуВнешниепроизведенияОпределениеЕ Сппроизведения=иудобнотензоров1..обозначают-s2kB).+тожеэтоB.189)тотензоры,векторовиспользоватьспециальную.q)произведениемВнешним2.31.(г;(sxkTкакпроизведение.внешнее-причемтотактензорыкососимметричныхоперациюaiкососимметричные,кососимметричными,кососимметрична,(-l)klДлятензо-кососимметричноголинейноееслилинейнаяих2.6.3.обратной:B.187)всехобразуетСпнаДействительно,Нокососимметричныхсвоейсоизменяетне2.37.q-{pq)любаяB.186).=rpiml.

.imk^альтернирования(p,q)(pq)длячтосоответствуюикактакТеорематипаB.185)индексовподстановкаОперациякососимметпричныихусловияrpiWl. .iWkтензора(fc,0)икососимметричнывыполненыи145@,fc)типакогдат.е.соответствующие компоненты,формыназываютследующимегоЛ..Лaq=(aiвекторовихальтернированиетензорногопро-образом:®..®&q)[A].B.190)Глава146Тензоры2.определяютАналогичнолинейныхнапространствахпроизведениевнешнееЬ1Выражения,ЛстоящиетакжеполивекторыB.190),Изнапример,ЛакприЛЛага3=2 получаем~(ai=00ai0а2аз(8> а2азB.175)свойстваявляютсяследует,упр.2.6.1).Внешние-кратногоОB.193)aqai),аз0aiа)кеьи0(используютB.192)Л0b10Ы..0aq0bpЦке*к,=вкB.190)следующейЬк(ai0=а0b^ .