Димитриенко Ю.И. - Тензорное исчисление, страница 14

.Щре?10ие,иЛе*B.191),теореме.Л..базисылинейностиучетомОq-.произведе-тензорное....?п0eiq,0e7'*,иB.194)С*п.свойствасо-(см.B.193)ад),образом:всbfcО...a^e^.B.191)(р, 0)векторов:изB.174).B.161)а^ивектору:следующим=—аз).типаизкаждомуЛагневерноследуетопределению..иговоря,каждомуskj(8>®B.190)@,д)..немедленновводятах(8> aiформывообще=<8> aiаза2—поaq+типа^ s*(ах=0..согласноB.194)приходим(8> aiвнешниепоковекторови=называютр-векторы).0альтернированиячтоПодставляялинейности(в}Ь,-)операциивекторова,«Л..чтоО..0(8> а2произведенияНапомним,гдеа2B.191),иаглинейнымикоэффициенты,линейностипроизведениеЛтензорногоai+-обратное,являются{з)Ък)Л..s*гдеа2чточтоформыЛB.190)и?*B.191)соответственнотензорамиЗаметим,ах0аз—кососимметричнымисоответственно.иаг1,~(ai6=—Изд-векторы?3:=aiилиЪр)М.0..(р, 0)икпри0части@, q)типаназвание(Ь1=левойвформамивнешнимиЫ>Л..Ьгковекторов(г=1..

р);линейнос-§Ы?*?базисныхИспользуяизB.190)номуибазису:ЛЬ1Л....явноевыражениеB.191)получаемaiA.-.Aa^=а,ЛЬрЙ=. .ЙлЛе*1Jp^..Л..Ле,-„Л«Л.операциивнешнейдляковек-внешнимB.195)альтернирования,формы(-l)^mi"'m^(arniа1'1"*^ипосоответственно:.<#etl.B.174)®по®..amполиад-J=B.196)®.. ®eig,а*1***1*коэффициентыа^=е1ие,-Сп?а,-разложенияразложение-у=гдеЛвидеввекторовaij.47векторовпредставитьможнопроизведениямформыпроизведениеВнешнее2.38.ТеорематоровВнешние2.6.имеютвид:l)l(mi. .mg)|ajiа*я_=B.197)vaxЗдесьиспользовалимыqразмеромДляxaq..B.31)определениематрицыдетерминантаq.внешнегопроизведенияЬ1А..АЬр=аналогично:получаемковекторовbjl., jpeil(8)..Ое*',B.198)где1Ji-jpРассмотримкакгдее,-в=р|внешниеSjej,изпроизведенияB.186)соответствииполучаемсB.197)обозначеныкоэффициенты:-кЭтотДокажемобобщеннымназываютсимволещеоднобазисавекторовважноеЭрсимволомсвойствоftвнешнихКронекера.форм.е,-,тогдатакГлава1482.39.ТВОРВМАтогдатогда,толькоиТензоры2.Векторылинейныхна(iСп€а,когдапространствахaiA.

.AagТакоеЫВЎкаждойизгдетогданесилулинейноможноз%все.a")T..т.е.векторыВэтообратнуюнайдутсясоотношениевПодставляяЛaiзнаклюбыхместамиучтоЛЛа,-Л..ад.формформынеэтименятьдолжнаеслиа,-векторывсевнешняякаждаяонаОднакозначитквек-одинаковыхдватоодинаковыеизменится,формуприходимпосколькутензором,векторов.ееместовнешнюювекторов,поНоимеета^воизнай-тогданекотороговыражениеимеетсякоторыхперестановкахполученныхзнакдлянаборадляизависимы,каждомукососимметричнымприочевидно,поа,-дляэтоуЛ..являетсявыполненолинейноа9чтотакие,формам,т.е.форманихвыполненосоотношениебудетоноai.

.линейностиеевнешним—вектора,нулевыеB.201).силуизодинзависимы.Пустьs%всеравкаж-остальные:этолинейно-сторону.неB.199),(q1)а9силустолбцыкоординатныеа, следовательно,всетовтогдачтоозначает,ai. .2.10Посколькуi\..ig,нулевые.Ноко-коэффициентовихизчереззначений(ajзависимыхB.199),условиетеоремызависимы,выразитьвсевозможныхлинейноB.200)составленныевматрицjB.199)дляивыполненоматриц,этихномеромнулю:O.местоПустьНонулю.зависимыравно^Л.-.ЛЫ'ггО.определителиравнылинейнопроизведение=имеетсторону.однуB.197)сутверждение? С*п:жевекторов.q)1..=внешнееихипоменятьа,-,очевид-то,формынулевойестьтензор.ДоказательствоПредставление2.6.4.стипаИмееттензоровформвнешнихкососимметричныетеперь(р, 0).местоАаналогично.проводитсякососимметричныхпомощьюРассмотримиB.200)утвержденияследующаятензорытеорема.кТи*Втипа@, q)Внешние§ 2.6.СпTii. ikeii_всякий®поkB0@,2)Преждеисамое.ik(адействительноИз теоремыдляetfc.Л..B.203)индексовТ23е2+е3кТдляB.204)е3).Лкососимметричен,-товпредставитьТ1-^ЛЛ..виде:B.205)e,-fc,кВ.тензораправойвссоотношениячастиi.индексамиразличнымиB.205).г*.располагают-индексыкоторогоуB.206)г*1etfc,ноЛ..Вetfc.силувекторы,обнулениевсейжекоднимправой=есликп,частиток>чтовсилуп>упорядочениеB*202).индексовпоэтомувnlT1-1^!ЛB.202)=..i\Ле„...собойзавлечет<остаетсябудутвсегда2.39теоремывсегдатензорB.202)формахвслагаемое:nTтензоратакойтоп,соотношенияспособом,B.202)суммахАкососимметричногорангпривB.206).суммсла-знакобразом,различныхкоэф-иперестановкахТакимслаиформы,ипространстваДействительно,отГ11"*1*коэффициентовдвойныхчтоиндексовотличаютсяпорядке,утакихследует,размерностизначениямитакимидругомменяться.к\2.40сB.206)суммирования.кососимметричностиприбудетненетг*перестановкой:находитсянулевой.повторяющиеся<..вB.185)),(см.<взятымидвойнойЛбольшетолькоСп:?например,можно=слагаемыеfc!),коэффициентовЕсли*ТМ=суммахостальныеB.206)слагаемоговозможноЛегослагаемое,Л..всеихetlкТразло--комбинациямтензорслагаемыетакоеЛслагаемогоформыСпвозрастания:Ttl'tkeilтогдавтолькооднопорядке%\.e,-fcи2.39нуляЗафиксируемНо®справедливоотB.202)elfc,наЛтемT13ex+е2B.190)..Л..возрастания,еслиопределениятеоремеотличныЛчто®Согласнорасполагаются в2(Т12ех=rpi^.i^^=попорядкевекторовимеем:заметим,B.188)kTже(8) е,-2всегосилуС$е1вп^ье*1лишьвна(А;,0)]Гк\=идетТ^7е{г=eikтипавектороврасположенытипатензораТ<g>..Л@, к)типабазисныхTil'ikehfcBбазисныхсуммированиекоторые.г*,Y^*!=формамB,-l.

.*fce1Здесьтоe,-fcтензорвнешним=i.Ў®..кТтензорформамвнешнимкососимметричныйразложитьвпоСп:kTа_149кососимметричныйразложитьможно?е,Всякий2.40.Теореманаформыin<тольковозмож-одноB.207)уГлава150Лetlбазисобразуют(О,^)типае*1ЎизТОЛЬКОЛ..е1'",12.40все^ 2*11<..тензоров.ip ^<..намто^Тогдапереходявекторов,сB.208)линейноопределенныеЧТОП,B.196)кB.210)0.=произведе-тензорномуполучаем?.?.=тогдазависима,Т'1***1*,формулыпомощьютолькопоказатьостаетсяB.209).иГ1"^е,1Л.. Ле,-9произведениюкососимметричныйсоответствующейпокоэффициентынулевые< iqB.209)п.всякийчторазложениясистемапротивное:ПриB.208)n•B.208)системне<чвидеB.209),илинезависимостьтакие^следует,вB.208)iq ^<..кососимметричныхАпрпредставитьформсистеме<пАптеоремыможно^формыпространстваПосколькулинейнуюПредположимнайдутся1eiq,внешниеЛбазистензорЛ..апространствахформыпространстваСпунаобразуютлинейныхнаВнешние2.41.ТеоремаТензоры2.i <".<iq(mi».m,)SB.211)ПосколькуB.211)тогдачтоi .

.igвсесуммахвсеневерно,такИзменениесобой,.®е,-теразличныэтиB.208)ФормыAnqвлинейноB.209)иAnetlзависимы,0..®etn.базис-называютсоответственно.кососимметричныхтензоровбазисабазисае,-ие(-в?п,связанныесоотношениемвНособой.междубазисичтоочевидно,то,полиадыполиадныйввходяткомпонентзаменедвамеждучтоформамивнешнимиВыберемони2.32.при<g>..означает,какОпределение2.6.5.равныe,miB.211)условиебазисныминеполиадыB.62):A§ 2.6.Образуемизформые{ базиснуювекторове^формуB.196):формулойвоспользуемсяВнешниеЛ..Лиe-fcвосполь-(mi.

.mfc). ifcil""i4.®---®ei».обозначеныгдеB-212)коэффициенты:sfcПосколькунабореслеваz'i. .фиксированномтипаполучаемокончательно@, к)то?„стоитикприявляетсясправаможнонемуформулубазисазаменеформавнешняявыражение@,fc),тензоромнаB.212)вifc,вприменитьпреобразованияСп:прикососимметричнымфиксирован-теорему2.40,внешнихформS.W»il""'4-.A. .Ae,vАналогичнымобразомформамивнешнимиможноеЛ..

ЛеНкJ2=ие1типаB.214)соотношениеустановитье"ковекторовтогдамежду?*:из5ll"'l ri1. .ifceJlA"-AeJfc'B-215)i <. .<jfcгдеРассмотримиформамB.214I:кососимметричныйтеперьпредставимегое^ Л.. ЛefikкТввидеи=к\etlY^,Л.. Лetfc,Т'{*~Лке'{1кТтензорB.202)разложениязатемаЛ..базиснымповоспользуемсяЛе\к@, к)типавнешним?пнафор-соотношением=B.217)Глава152ОтсюдалинейныхнасоотношениеполучаемричногоТензоры2.пространствахкососиммет-компонентамимеждутензора:Ttil-ikSil_ihjl'"jk.АналогичноустанавливаемсвязьТакимобразом,Теоремаопределенные2.42.аkTЛп?Заметим,чтозаконупреобразованиязаписидляLn,nTкак<B.219)^®кососимметричныекомпонентой Т12—п,®..за-Лип?п...ПТЛB.220)е„,1индексов^Такимоднойперестановкойобразом:следующимзаписатьиначе,zi<аг..лпиГ6fl-InкомпоненнаB.221)есливвестикомпонентып-=(—1I*1—^1,есливсеО,еслиимеются..такиеиндексов,(_1)|m1..

mn|T12.. ne=^образом,толькоопределяютсяполучающиесяможноAnпространствЛеви-Чивиты:символов__егопространствакомбинациявыражаютсясоотношениемерныхизподстановка.2п"те1..лтеяЭтокТn!T12-nei=однаостальные,B.185)основанииetnтождественнаятензорывсеформойполучаем:толькоэто-за-тензорномуинойтолькоразмерностиравенjnw.e^пB.218),формулампротиворечитявляетсятензоры2.40возможнаinтензо-поп=теоремы=определен-соотношениямпоB.219).акоторыхрангизСпКососимметричныевзамененекососимметричныена@,fc),типатензоров.кпТогда..такойформулампоB.158),РассмотримтакB.215).при-соотношениеСлучайпбазисапо-кососимметричных2.6.6.Л(пО)(fc, 0)А„?формызаменепреобразуютсякТтензорыатеорему.внешниепритипатензора^.. ^'""'V*следующуюБазисныепреобразуютсяформыСп,наB.2Ц),тензорыдоказалимыкомпонентамимежду?. л=B.218)i\.индексысовпадающие.г„различны;индексы.B.222)§B.221)ТогдабудетВнешние2.6.эквивалентноКососимметричныйодну1соотношению:€ii.

.inrpl2. .n=ПТтензорнезависимую^53следующемуrpii. .inтолькоформы*2(п, 0)типаTi2. .n>компонентуаСпнавсетоль-имееттакжеостальные223)выражаютсяобразом:следующимTh.. inB.224)eh.. inT12.. n,=следовательно,и,ИзформулЛпие1Л.. Леп.существуетВB.220)=иB.225)толькопоB.214)формулсилуизаконуследующемупое^Л.-.Ле^=nlT^.ne1nTЛследует,базиснойB.215)этивнешнейСп?*ии.ЛепeiA.соответственно:-^е1Л..

Леп,=Л«преобразуютсяформыве;1Л.. Ле/пAeiA. .Aen,форме:внешниебазисазаменеприизтензоровдлячтооднойB.225)еп.Л..B.226)гдеAДействительно,B.215)такостаетсявычисляякактолькоB.213)поикприпоdet=одномуB.216)—B.227)(ffj).пвсоотношенийсуммах51фшшП1#шфПслагаемомуиB.214)51***'i.#.n,итокоэффициенты:этиB.228)убеждаемсяЕдинственныевнезависимыеричныхтензоровбазисаследующимВнегпнееTi. .nпреобразуютсякомпонентысогласнотеореме2.30иТ1'пкососиммет-при=Т1-"Д11..п,произведение=It'1-".B.229)кососимметричныхтензоровРассмотримвекторов.ба-заменеобразом:Ti. .n2.6.7.B.226).формулистинностиобобщениеоперацииB.190)внешнегопроизведенияГлава1542.33.ОпределениепроизведениемAn?*ВирТЛ*ВТакРТкак®записатькососиммет-Ап?*В(рТ=назовемальтернирование*В)М.®B.230)выражениеB.230)(ртензоромявляетсяB.174):определениепространствахпроизведения:тензорногоможемлинейныхнаВнешнимРТтензоровричныхихТензоры2.вfc)-ro+ранга,мытомо-определе-используякомпонентах,B.231).