Димитриенко Ю.И. - Тензорное исчисление, страница 10

.em,ообразуетТВа=самомделе,]Ct=ia'^i>линейнойА(а)комбинациейС.вкомбинациейлинейнойявляетсяобразеготогдаявляетсяавекторпустьА(а*е{)=векторовтакжеоСподпространствоинвариантноега)^век-оо^базисавекторовба-выбрать(ксистемыо'e1.,.ek,торовоболочкалинейнаятоei. .em,подпространствеЛинейномввида:Aa*et-=и,е^.-вд.Ла=такжеследовательно,оС\принадлежитАИзоморфные2.3.8.Междуопределенныепространствалинейнымиразнымивозможныпространствамиопределен-соответствия.ОпределениеДва2.16.изоморфными,взаимнооднозначное отображениелинейныхеслиназываютА:СледующаяСназыва-С'.—>даеттеоремаСС ивзаимнооднознач-пространствалинейноесуществуетусловиеизоморфныхсуществованияпро-пространств.ТеоремаПустьЎвВыберемССпоставимвноным,таквлинейнойaiтого,найти=что,а2.авекторизоморфностьВсуществует?.изД:Ссторону.взаимнооднозначноеСПустьbичто?'.пространствоотображениеGСаг2)е\аг2,зна-ввидуразмерностьимеетА:О,—аможновсегда2.16определениюС=взаимноодно-построенопоото-сюръективноа*е\=образом,С,—>Д(а)=-а\следуетbТаким(а\=Этоинъектив-иЛ(аг)неминуемовекторувсякомупространствобратнуюA(a.i)—отображениепоотображениевзаимнооднозначноеЛ(а2),е{онкактакС1.излинейнымявляетсято?',?по-координатыжевекторовахе\=е(-а*е,-всегдаСиз=теbД:отображениеа'е,-аимеющийкомбинациютого,=a*ej,=чтонезависимостиКроменаоборот,элементуОчевидно,=Выбе-размерность.ВсякомуА(а*е{)А{ъ\)еслиразмерности.Построимлинейную=иходинаковуюbе{.(а)Л=каксилузначитимеютизо-пространствасовпадаютсоответственно.элементбазисесобойbС!иобразом.впредставляетиСе(-ие,-соответствиетолькоотображениекогдатогда,следующим-линейныхконечномерныхтолькоипространствабазисыних—>а1,Два2.19.тогдаизоморфныС—>С.означаетпВыберемиГлаваСвбазисп)1..(ге,-?',извекторлинейностиЛчтое,-базис-ПосколькуобразомД(а*е,-).=е(-Л?',е(a'ej,пej.АbbтогдановсегдаС!?яв-Л(в)==впредставленобразом,ви-базиспостроенСледовательно,векторов.силунезависимы.?,ТакимвпротиворечитэлементЕбыть?,СразмерностиС1иАсовпадают.УпражненияУпражнение2.3.1.собственныхсистема§систе-чтособственнымразличнымзна-Сопряженное2.4.пространствофункционалыРассмотримлинейныхдвасовпадаетсСппространства?',иСп/:отображениеизодноЕ,чиселвещественныхпространствомлинейноезаданочтопредположим,доказать,индукциипопарнонезависимой.Линейные2.4.1.2.3.математическойпринадлежащихлинейноявляется§кМетодомвекторов,значениям,(С)а'е,-=можетвекторовизчтовсякийаон0,линейно-нулевой-изотображение=сюръективно,т.е.комбинациисостоящийs'e,-есливектора=0ПосколькуСледовательно,некоторогоа'Д(е,)линейнойвС.вотображениеявляетсявидетолько0'каквектораЛ@).=ненулевыетактогда,нулевого=возможноНо(гЛ(е,)=существуют0'.Д(з'е,)этотому,противное:=образомполучаем:е(системачто5'Д(е,)=пространствахпокажем,Пустьs%ef{являющийсяинъективно,-инезависима.з1:коэффициентылинейныхна1..

п)=линейноТензоры2.Е,—>которыхипредполообозначаемоекакЬиназываемое,=согласноСогласно/(а),ае?„,п.2.3.1,линейным2.13,определениюЬеШB.87)функционаломлинейныйСо-Сп.нафункционалдвумудовлетворяетаксиомам:1°2°/(ai/(sai)а2)+Выберем/(ах)а)можно/,функционаломФормула=элементаотB.88)еп=а'е,-./(е,-)составляет/(а'е.)=образы-ааьилюбогов?пихкомпонентамисодержаниеСп,«ЕЕ.иТогдапоразложимпро-нему/функционалазначениеобразом:а'/(е.-)=векторова'/*,е,-.B.88)ЭтибазисомтолькоопределяютсяGа2следующим=а,назовемпоэтомуапредставить/,-обозначенызависятСп?ei. .Сп:/(а)гдеабазисизлюбыхдлялюбогоаэлементобраз/(а2),+длянекоторыйпроизвольный(т.е.=s/(a),=/,-числае,-функционаласледующейf.теоремы.Gфункцио-иЕнеСопряженное2.4.Любой2.20.Теоремавидевпредставитьп.2.3.2,соответствуетэта?п,этот.е.значенийизfTСогласноумноженная?п.,извзаписатьможноа1B.88)образуетС*fаТеоремаСпиЎСогласно?*извсякогоакоординатныхпроизведение?Спдвухсуммастрокд=sft1g(a),афункционалчисло=¦так=которыйнасложенияпространство.f+длинойстрокследует,gsf3",вся-длясуммесоответствуеттакПрип.чтокакстрокеедениемsf(a).операциями2.17hнаgста-отображе-определенияфункционаловсоответствуетg(a)взаимнооднозначноеиgT,вд,линейноеп-мерноеизиСпфункционалов2.17координатных+f?апролинейныхвсехсуществуетB.90)представления+определениюмножествово/(а)=?*2.21,теоремемножестванап.всякомуназываютобразуетчислонафункционаловфункционаловсоответствиепонемнадлинойоперации.h, которыйGlбудеттеорема.линейныхМножество2.22.умноженияэтомвставитвведеннымисотображениеаСп?sбазисежеB.89)строк/i(a)числонатомиодномлинейныхследующиечислосоответствиефункционалавфункционалвсехСуммойфункционал2.17.каждомумож-B.90)следующаяС*линейныйввекторакоторый/ia',координатныхмножественазываютставитсо-стро-произвольногоатакойдоказанаМножествоОпределениеСпСпнакаждаястороны,берутсячтомножествуна/функционалуфункционал,=аЕ?побразомизоморфноВведемB.89)линейномуf3*.

С другойустановить,2.21.ТеоремаСпиз(/(ei). ./(en)).строкавсехдляНесложноТакимлинейным.этавекторахвидекомпонентыei. .en.Сщ—>линейно-представляетбазисныхна/(a)=fT.aгдеСп:определению,столбецкоординатныйнаформулесогласноСп.Дляп.т.е.Согласноп.=каждомукоординатнаяfT,строкаа2.20,теоремесоответствует1хп,размеры•••/»)(Л=Лхгафункционалафункционала:компонентстрокабазисенекоторомразмеромдлинойстрокусостоитстрокаимеетматрицакоординатнуюсобойфункциона-отображениюАотображенияпред-можнокомпоненты-налинейномукаждомуматрицафункционалалинейногофункционалаСпнагдеB.88),значениями___119функционал/,-линейныйразложенияфункционала, являющиесяСогласнопространствокакГлава120Посколькумножестволинейнымвсе?*,виС*поОпределениеполинейныхплинейныхвсехпространст-СппространствеСпизавекторанаборС*пространствопространствавтеперьвсякогосилуАп.сопряженнымсопряженногоВыберемВСп.кБазис2.4.2.дляЛинейноеоперацийдлякоординатныхразмерностьназываютотношениюипространством.пространствуимеетвыпол-негодлявыполненылинейнымС*2.18.Спнабудутонитоили-являетсяпупр.2.1.13)n-мерному2.19теоремедлинойстрокявляетсяизоморфноонофункционаловпространством.8°,1°..аксиомы2.21,пространствах(см.пространствомследовательно,теоремыстрок,линейныхнакоординатныхn-мернымвыполненыТензоры2.некоторыйместоимеетфункционаловбазисразложениеСпнатогда.еп,ei.аВведема'е,.=типаспециальногое'(а)=а\г-ыйкаждыйт.е.г-yip(число).компонентуОчевидно,Еслилинейности.базисатое,-,(а)сопоставляетB.91)функционалычтосвойствами1ехфункционалB.91)акаккомпонентыПовекторованалогииB.89)сзначенийизпроизвольныйпредставитькоординатнымТакимпространствеобразом,координатныхЗаметим,ei,.

.enчтовСп.том(а)наг.емукоординатныйе1:?*,изпоB.88)согласнофункционаламB.91),ие1..еп:e'7,=fT-e,=столбцамстолбцов,построенныйсостоящиефиксированномприеуB.93)разложения.еп6lj.равныстолбцы,векторах/видее1,.базисеже(е'(е1),. .е'(еп))Т.=функционалвсоответствующийповекторыB.92)координатныее*/авобразуеме'можновыбирать^,=е;-функционаловТогдаегосвой-обладаютB.91)вСпизчтополучим,е'(е,-)такдействительнокачествевавсякомуfстолбецдействительноабазисобразуютфункционалые1,. .епзависит-вразложениявидебазисе1,..епв-отбазисвыборапространвС*.базиса§ 2.4.Сопряженное(илие(-Базисы2.19.Определениевзаимнымибиортогональными),eft"(ej)Очевидно,чтоввзаимнымипостроенныесилуfилириантнымиобщимиправиламиЗамена2.4.3.ПустьвСпB.63).функционалые1е"aа*е,-=B.67)а"е(-=связие'Ча)Еслие"(а)наB.96)изполучимКомпонентыиз/(а)получаемB.96)(a).состоящийиззначенийфунк-=B.97)E-%.е*,е>Sj{=/функционалаB.88):е"междусоотношения/,=/(е,),Тогдаформулу(e"(ei).

.e"(en))T,=произвольногоформулампо(S-^y=следующиее"'вводимИспользуяполучаем:е;-:e"тосо-B.95)?п.изстолбец,векторахсвязанныхсоответствующиеа",=E~)lJa'7,координатныйввестифункционалове"(а)а',(S-^y=е(,ие,нихизвектор=свверху).стоятB.91):=а"е1базисадвакаждогодляпроизвольный-компоненткова-соответствиивбазисаимеетсяе'(а)также(поэтомуформулепосоответствую-пространствеПостроимивзаим-являютсяе,-называютковариантногосопряженномпространствесоотношениямиистолбцов,?п,кубазисаве1базисыковекторамииндексысоотно-B.94)сопряженномувекторамивзаим-называютS'j.=координатных?*,?*вудовлетворяютB.92).пространствапространствусоответствующегое1хионивышесоотношенияЭлементыСпвеслисоотношениюгдепространствоЛ==а«Яие':e'1'.изB.98)С*вбазисахе1иB-99)/(е|.).соотношений=/Ке,)=a4i=/(а"е{)=а*^1?;/*,B.100)е"Глава122связьобразом,/B.98),С*изejбазисамке"иие1е".сопряжен-?„,пространствае,произволь-координатые1ие*формуламисвязаныевклидовымссопряженноеиабазисахэтихве"базисовсоотношениямиПространство,2.4.4.базисахразличныхвзаимныхсобойфункционалаB.101).впространствахстолбцы?*,междупроизвольного/координатныепространствасвязанылинейныхнафункционалакомпонентТакимсопряженногоТензоры2.пространствомМеждуСпэлементамиОднакоизоморфизмСпеслиможносамомнезависимо?пнекоторыйзафиксировавбазиса,оттоизоморпозволяетчто?*.и?пвпосколькуделе,?„,пространствомустановленбазиса.выбораотзависетьевклидовымпространстваВвзаимнооднозначноеустановитьбудеткотороеявляетсябытьможетотождествитьтоС*и(изоморфизм),соответствиепроизведение,линейныйскалярноеопределеноbэлемент?п,Gполучимфунк-функционал/(а)=Ь-а,Ь,МеняяСледовательно,можноb G ?n,будем/?*.Gотображеневиделинейныйа'е,-==функционалпроизвольный-С/.6'ei,функционалаbэтихпомощьюЬ1•а,этое,в/можно?п,всегдаматрицаЭтоти?П1bДля•адоказательствапредположимтакие,/(а)что/(а)—bi/(а)=•(biобразовать(gij)фкака{д^к}кобеспечивающим=—/(а)Ьг)•а=•0.а.B.102)предпо-bi,b2вектораТогдаПоскольку(см./(Ь).различныхЬг=?пGaвсякогодляа*/,-=упр.2.2.8)).(см.0?п,изпредставленияифундамен-кB.103)дваавекторобратнаятаксуществуют=гдефункцио-можноединственностичтопротивное,B.88),6\.=B.102),=2.20,теоремевидекомпоненты-элементомgijaW=/,-aматрица,-искомымупр.2.1.9):элементввсегдапредставлениянекоторый-согласноTaKKaKdetбудетпредставитьпредставитьд1*существует,bвекторЬтогда,компонентгдефункционаллинейныйгдеизgt;i fj,=B.14):возможностьразностьb=чтооднозначноможно9ij9jk?п,V(b)=установить,Всякий?пвекторвыбираяфундаментальной(Эта/гдепозволяетB.102),базиснекоторыйвсякийапроизведенияскалярногоВыберемТРисса).пространстве?п.из?*,—>теорема(теорема2.23евклидовомнавСледующая?пвзаимнооднозначно.Теоремаfф:отображениеСледователь-/.функционалыразличныеполучатьввестиB.102)Va??n.образоватьможноэтосоотношение?Сопряженное§ 2.4.выполненодляравенствоСогласноbiаб5п,то,любогоЬг,=чтостолбцом?пf ужегдеВвB.104),ТогдаB.90)соотношениемежду/икоординатможнопред-B.104)?п.изB.92),формулаформеразличияделатьфункционал/.запишетсясвязывающаябазисоввекторые7ие,-После?пбазисупоB.105),?п,изисходнымэто-е,•?*изэлемент=евклидовомможноПодставляяе|<7еу.etkgkjразло-формулуэту8х=^е1-7фундаментальной:=базиссопряженныйпространствеТа-дх*.связанссоотношений:помощьюB.106)Соотношениеэлементаи=обратнаяе'произвольногоetkekej=матрица,всвзаимномвсякийе1получаемetkобразом,Таким?*инапример:е*т.е.B.105)ортогональны.отождествленияразложитьввзаимноа<7'4-,=e,-=ffye»\позволяет??пв=а*е,-B.106)отпереходитьбазисеосновномпроиз-разложенияке,-воразложениювза-наоборот:аКовариантныеа,-иax'gikek==а1контравариантныеакек.B.107)связаныкомпонентысоот-соотношениями:а%'=д1как,Формулые*ие,-образом:следующимei(ej)=ei-ej=Sij,т.е.вотождествить:/(a)=f.a,элементчастности,неможноопределяющимB.102):видебазисаотможно"самосопряженным".?*изависитнеихиназывают?пфункционалавизоморфны,-отображениевведенноеи?*и=координатным2.23,теоремеАдопущению.взаимнооднозначным?п?п.представитьивыполнятьсядолжносделанному2.12определению—У?„ являетсяСледовательно,смысле?*?п, в этомотождествленияВвидуЬ, однозначновектором__123следовательно,противоречит?пф:пространствоB.106),эквивалентнысоответствующимевклидовапространства.B.107)B.107а)ak=gkia\иB.107а)соотношениямприпиз3=§1.1экви-полностьюдлятрехмерногоГлава124Тензоры2.§наДалеепотребуются2.20.МипонятиестепеньМ,множестваиШПЖ.ГТАТТАТТи»I*1\?11Сх1Ъ.Вмножествечтомеждуего6,а,а^ЬиОтношениенамножествеТО*ЖVАа3°еслиа~ЬиЪ~с,найтиМЬ,~b(симметричность);а~любым[а].а[а].[а],класспредставителем;гдеа~b[Ь].пустьа2.21~Ь,?атогдаследует,опре-дляговоря,ихпроизвольныйс~а,нолюбыхсовпадениюравносильновыберемчтооднозначноМ[а].какпредс-называютиначеэквивалентностьопределенияего[а]экви-классомназываютобозначаютиМ}изМ?эквивалентностиЛюбойсвоимсторону:Изаксиомамэлементоввсехасодержащимкласса2.24.[а]обозначают(транзитивность).элементукласса="~",знакомследующимПодмножествоизихобозначаютуста? Мba,эквивалентности,тоа~спредставителемМправило,элементовудовлетворяеттоэлементклассов:эквивалентнос-некотороеМ:2.21.Всякийоднунекото-вотношениезаданоопределеноотношениемэквивалентности,Вдекартовуn-уюэквивалентныеэквивалентностификсированному?как(неразличимость)?с(рефлексивность);аэквивалентныхЎко-чи-эквивалентными.Определениесэлементывещественных.еслисвязанныеЬ,а,еслиТеоремаопределяется?a, bЕп,наборыэквивалентности1°2°~образом:(п штук).рассматривать..декартовуn-t/юследующимМнеобходимоназываютлюбыхачастоАОтношениесобой.элементыдляМVЛЛ?множествптакжеаупорядоченныеэквивалентностьмеждукакЛМп,пространствоэлементами,устанавливающееаГО>*Ж.VхЬиэлементы.Говорят,эквивалентностих..можнокотороеГО>*Ж.—смысленекоторомхсобой.жп),N.воз-всехМ?апроизведения..арифметическоепредставляютхобозначаютМ=является(х1..хкоторуюМпПримеромMiегоизгдеfab),декартоваобозначаютиМкаквводят.