Димитриенко Ю.И. - Тензорное исчисление, страница 12

.образом:h/(n-i)+*Такиепространствеможно1..которыеB.129)совпадают.Базис=произ-Т,1.. n,=теоремы2.25.пространможнокоторыхих1..=линейноесновавB.130).п.B.131)элементаминакоторыетензо-являютсякоторогоB.120)основанииможнопредставитьвиде:3TВводяTl"*e,-®hfe,=учетомB.130)е,-триадами.Выстраиваяпоследовательность,произведению=l. .m,т=п2.B.132)компонентытрехиндексныеT,-,i(n-i)+/?=®{-гB.133)lj#eeTlj=получаем:3TТензорыfcг=1.. п,TWсследую-получимпространство,ранга,такжекачествевОбозначимkСп<8>Сп®Ст=Сп®Сп®Сптензоры третьего=виде:линейномнаоснованиипространством,определениивh*ие,-ранганаJbг,базисыПоскольку,тензорноетензорыв<g> efc,второгоСтпространстваTikeiСтсовпадающими:получаемпредставить=Спиявляютсякоторогослучаетензорами=2.линейнымгопределенияможноданномвназываютСттензорных2.25элементамиТтакбазисе.последовательностьпространстваизB.120)основаниинакоэффициентыназватьдиадномэтомврекуррентнуюпространств.Сп,^31ранговтеперьлинейныхШагпространствахестественнотензоравысшихпроизведений=токомпонентамиТензоры2.5.5.базис,-линейных71-мерныхнаej®икаке/,вранееB.134)1,образомглавеаналогичнымдалеенаTyiei®ei®e|.=шагеглинейныхк=1 придем—базисныминазовемтриапосле-рекуррентнуюfc-кратномуктензорномупространств=Сп®Сп®..®Сп,т=п*-1.B.135)Глава132ЭлементамиСТп<g>..е,^этомв,<g>etAfТензорынаВыберемсопряженныекTtl"tftaB.136)e,-fc,компоненты-тензорапространствев2.25определении?*пространстваЭлементами®..полиады,сопряженномтеперьним®виде:базисе.полиадном2.5.6.Т1"*-^=тен-контравариантныевследующемпредставитьбазисные-пространствахявляютсяможнокоторыеранга,*Тгделинейныхнапространстваk-готензорыТензоры2.тензорноговС*тиСпег..

епкачествебазисамис?*произведения??,®Стисопряжен-h1..^.итензорыявляютсяви-вида:Т(а'Ь[,])гдеа'еСпонаборыДля2.29,B.111),вида[аканалогичнымB.137)типатензороввчастности,остаются]-классэквивавприведеннымопределе-разложениепринимаетдиадывид:имеют[е'У,.п*)],=произвольного2.27теоремысправедливымибазисныесопряженныее^®п*иB-137)ЬИ€С.2.24.определении-[а'Ьи].векторныеотношениям,-эквивалентности=B.138)B.137)тензорабазиснымподиадампри-вид:Т=Тце*®Ъ!,B.139)гдеТцкомпоненты-Ттензорав=Еслипостроитьпридемпричемbyjrzfyh'.B.141)тензорныхпоследовательностьпостроеннойлинейномубазисе,диадномрекуррентнуюаналогичнокB.140)сопряженнома'=а'У,произведений,а\Ьлп.2.5.5,впространствутонашагепрог=квида:B.142)С"п®.. ®С*п,кэлементамиявляютсякоторогок-тензорыfc-roранга,Тназываемые=З^.-лпв1'1®ковариантными•.•®eikB.143)тензорами.—1§2.5.ЕслиАлгебратензоровначинаяже,шагасвпоследовательностишагенатогнак=г(гдер=качествепространствахк)<ркследующему®.y®Cnj2;.l.

.>+l"'lV*=fc-roтензоры-ЯB.144)к-р,=0е1*®..®называемыеранга,®е,р+1®..смешаннымиB.145)е,-„илико-контравари-тензорами.антнымиНаосновании2.29теоремыТппространстваДлявсехтиповтрехОпределениеТП(Р9)линейногоэлементы(fc,0),ртензорытипатипа(р, q)2.5.7.ковариантныек,=q@, fc),сргдеqПустье,-ej<g>элементамиве^,е{типатензорыB.143)это-тен-тензорыэто-тензоровСпСп,GТпB.116),5^тонаосновеегоB.63)ие(, связанныйB.65)).базисныеобразоватьможнотакжеочевидно,базис(см.т.е.тензорами,являются•ejмеждувкоторой^e'fc=<g>(^5'ь)е,,efkиej®качествева,-=новыйвыбранпреобразованиясвязьbjgB.145)0.>пространствекоторые,изУстановимформулойqрчисла).базисаматрицейПосколькуДиады-это-смешанныеаэлемен-^ 0 (целыетензорык\=компонентзаменетеперьбазисомк=Изменениепри0,=qеди-вводятназываютB.136)контравариантныер0,>^ 0,ртензоры0;=(p,q)где,B.145)итипаТпобразом,гдеB.146)B.143)ТензорамипространстваТакимпростран-п*+«.=B.136),тензоров2.27.размерностьформуле:классификацию.единуючтозаключаем,поопределяетсяdimсСп,пространству:являютсякоторогокТрекуррентнойвыбиратьсноваярэлементами133даннойСтлинейномупространства1 придем—линейныхn-мерных=е'{Дляе^.этоговекторов=а,5',еьt, j,воспользуемсяиЫ^выберем:B.147о)*=1...п.B.1475)Глава134ТогдаB.118)излинейныхнапространствахнаходим:e'jОткудаТензоры2.е'к®=[еН^)]e'j<g>S'^e,=®B.147)ег.получаемОчевидно,®е,Произвольныйе^- <g>e'fc(S-1)^Т\Тпизe'je'fc.®согласноB.149)теоремебазису,диадномувсякомуB.148)<g> е,.соотношения:(S-'Y,=е,-тензорпоразложитьS'j&bei=обратныеместоимеютчтое'к2.28а,можнодлябазисовэтопроделаемe/<g>e,-:иТT'jke'j=Отсюдае'к®T'^S'jS^ei=е,Т'-7*компонентсвязьполучаемвГ7е,-=Т1'ивB.150)е,.базисах:разныхвlk.Выбереме1,втеперьсопряженномматрицейсвязанныенаОбразуемосновеявляющиесяB.137)е"e/t'=е7базисукоторыхие'-7спомощьюкачествее*®а1ковекторовЬедиE-1)t'jeJ',=e/fe,®•диадномуве*®иОб-B.152)получим[e/t'((j/e/fc)]=Врезультатебазиснымикприходиме*бЦБ^(S-1)^.=соотношениюмеждуве'.B.153)ба-сопряженнымидиадами:efjЕслиразложитьипое"Т=З^е*вe/fc=произвольныйвыбратьможнотакповB.98).е7диадые"базисадваформулампоТпe/fc®B.141),-at'ТогдабазисныепространстватензорформулвыбираемS'^базисовэлементамиРазложим?*пространствепреобразованияэтихB.151)0e/fc,®стогдаe/fc=учетомТT;,E-1)i,(S)*,какB.143)е'.втензорB.139)формулепо(S-1)',.^-1)*!^изB.154)Тппространствапобазисудиадному,е1тоего<g>получим:ef" «e'=^e1"ве'.B.155)efc,Алгебра§2.5.Втензоровразложенияединственностисилулинейныхn-мерныхнабазисупо135линейногоэлементовимеем:итогевпространства,пространствахT^T^S-'y^S-1)",ВообщежеизтензоровдляТппространствад^О)S'te/=базисазаменеприсо-различныхимеетместоследу-кнемуследующим.

.Sjkike?1<8>Компонентызаменебазисове7"^1®ИдеядоказательстваОперации2,=с^е?B.157)кТ(p,q)типаобразом:Ji!---^0,д(SI=®.. ®е*\J«рьip+i---^заме-ikxn-ipB.158)вышедоказательствадеталитакойприприведеннойаналогична=e/lСп:следующим-Pр:=2,д=:0ирупр.2.5.4.Сп:пространствепространстветензорапроизвольногопреобразуютсяi l. .tpихобразом:е7'"(8)..{р ^ 0,Тппространствевпорождающемвсопряженномипреобразуются2.5.8.полиадыБазисные2.30.ТеоремаслучаевдляоставляемкачествевтензорамиСложениеПосколькувведенныевсевышелинейногосоответствующегоможноскладывать*Тс+*В=®и®..(р ^ 0,gТпподобнымиГ1-1^элементамиявляютсятензорыпространствасебелБ)втеорема.следующаяА)Тпизтензорабазисах.диадныхсопряженныхе"компонентамимеждусоотношениеB.156)умножать+eik^'^ei,на®Bil"'ikeix®..®со-^напримерчисло,®..0),тоeik=B.159)e,-fclТранспонированиеДлятранспонированныепространствекТтензоракаждогоподобнотензоры(см.п.*т(т1..

тОfc-roввестиможнорангакактому,этобылотранспонировсделаноевклидовом1.8.2):=Til"-ikeim®..®е,-т,B.160)ихГлава136Тензоры2.rrik)(mi. .В)ТензорноеДля{l. .n},ife G*i. .подстановка.некоторая-пространствах{1.. А;},ет1.. ткгделинейныхнапроизведениеТпизтензоровможноопределитьтензорногооперациюпро-произведения.Определение2.28.тТтензоров(qт-горангаm,'p'=mTq'+к):i' +t-'"e1"*изрангаТппространствтен-qТпи=TiltaAp=двухпроизведениемТензорным*В к-гои®e*'®..®®e,-p+l®..B.161)e,m,e,- ,-fc,называется(ктензор•^ii-ip«m+p'+®et'-+1l—в'т+*е11«m+i.

.iTO+p#e1'"0..ранга'p+l-'mDrp=т)-го+О®etp+1®..e,-TO(О,чу-"c®... .®et'm+P'®etm+p4i®. .®elfc+m,являющийсяГуэлементомТппространствадляfcTтензоранижних)толькосоответствующая.этихаfc—r(всеготензоровОчевидно,техжечтогТакиеПримерыЕсликтензорыназываютжесамсамомутензоркТвназываютсимметричнымZ..втранспонированиякТ^неизменяетгруппесгизгруппеиндексов.1.8.3.всовпадаетизгруппе. .&),его:по(р, q)типа.jB.163)приведенытензоровг..суммированиемсимметрированнымисимметрированиялюбымизсвоихт.е.индексов,кгт\(<т)тензоромссоответству--J^TW.тензорукгт\его:Lоперацийприменениеиндексовоперацийтранспонированных=*Т^тензоровт*)A..(р, q)типатензор*TWТогдаменяются.неновыйполучим..тождественнойштук)транспони-г!Лт,-.(иливерхнихгпомощьюсполучитьг..изполученнаяг, I. .тор,можно(mi.

.—изгруппу^гиндексовЗдесьподстановка,которойпричемгруппеисходного.учетом(р, д) выбратьтипаиндексов,этойвтранспонированиятоТп®СимметрированиеЕсливB.162)qпогруппеиндексова.Алгебра§2.5.тензороводнойполинейноевсехтойи(иликТтензоров(исумма*В,иотносительнокаквсекТ^=Д)сложениялюбыхдлядвухиндексовгруппысг,симметричнойкВ^(р, д),от-кВ,+8кТ.=кТто,кТ=8*ТМтензорытипаSn<?€очевидно,являютсяSn*чтоитакжеТпСА.АльтернированиеОбозначим\а\черезобразуемвинверсийколичествоподстановкезнакипередкаждымкоторыйзнакизменяетBлб4)-r!~.тензор,меняянополучимрезультатеиндексовкаждойвB.163),аналогичнуюсумму,кТ^а\-иявляется+=симметричныетензорамипросто•тотожесим-образуета:(«*Т)<*>ТакТппереставимы,число)кВ)^+Сотносительногруппы(кТгтранспонированиятензоровна(p,q),типаиндексов,изSnaсимметричныхпроизведениетойже^37кТаоперациичисло)пространствахтензоровгруппепричемпосколькунаумноженияихжеSna,пространствоДействительно,Тлинейныхn-мерныхМножество2.31.Теоремасимметричныхналюбыхпривперестановкахгруппеа:РЧУЧ•I.РЧB.165)Такие*Т^тензорыиндексов2.5.9.Скалярноевпространствосамосопряженности(?пдлярнапример,Дляподнятия).операциюкг^[а)—Уин-группеаль-называюттензороввприведенытензоровпространствах(Спевклидово=ипосимметричнымикТпроизведениеq?*)линейныевсечтотаких,толькотензоровсокососимметричныхевклидовыхЕслидополнительнокоПримерыальтернированием.п.1.6.2.совпадаютназываютпреобразованияоперациюа«г,р +изэтогожонглирования,вто==к.Поэтому'=можноиндексами—самосопря-?псовпа-рассматривать,К?п?ппространстваегосилуТппространстваq?ппространства?п)=можно(опусканияввестидополниилиподня-Глава138Е)ОпусканиеВсякийтензориQijспособамиразличнымипредставитье1базисахос-вфундаментальнойпомощьюсматри-дх*:обратнойеепространствахиндексовможновзаимномие,матрицыкТлинейныхнаподнятиеилиосновномТензоры2.B.166)P+1kгдеrpii.

.ikКрометого,Ж)СкалярноетТтензоровСпространства7п&,fcTтензорР +=тензорназываюттензоровпроизвольныйТ?имеет5^которыйвизподпростран-некоторогобазисеполиадномнекоторомвид:ТОбразуем=изТ-столбцатакогообщееГоворят,независимых,Jl*"<7<*3Jl>t l-компонент(Т1..столбецобразованияэтоV®.. ®e'®eJi®. .®e«..координатныйобразомк'оСп?пи-компонентыРассмотримС?ппространствi-i(m+/—k)Независимыеподпространства-изпроизведениемk-кратнымСкалярным'Вииз2.5.10.перемножать.умножение2.29.*~лпроизведение,скалярноеопределеноскалярноОпределениеm4-l—k Г1?пвможноikjkip+tjp+i/xi»i. .«pпоскольку?пизтензоры=числочтосредиеслиfc-roтензоракомпонентсуществуетвдалееОдинп.4.2.1.матрицаD%jко=dimразмеромnp+q=Tn•имеетсятензора{способовизЧислокоранга,Jl'"jqT{iоб-каким-либотензора,Tfc°)T..Т1..приведенкомпонентэтоготолько(ко—к'о)х§2.5.fco,Алгебратензоровкоторойранг(коравенсоотношений:независимыхк'одлялинейныхn-мерныхAjq),—тензора139(коместоимеютB.167)feTтензора7^'изчис-называютненулевыхколичествомвозможныммаксимальноkf0)—t=l.