Димитриенко Ю.И. - Тензорное исчисление, страница 6

.u-толькорассматриваемA.2),координатg'"^. .P'?mгДеба-фиксированногоA.286)объектГлава86Тензорная1.алгебраУпражненияУпражнение1.0.1.истинныхПоказать,h=векторовдоказательствеХС1.9.двойноечто(ахЬ)§кявляетсявекторноеистиннымпроизведениеA.285)формулыУпражнениеиаПоказать,относительноговa,R'=чтоТтензоразаписыватьследует=видеx\A\w^RH,(ср.св==xbлг'|ДГ«'а,К',относительногопроизвольноговпредставлениявек-базисахразличных1.1.8):упр.ТТИ1С=виде:ojR"дляформулыгдеилиa=A.289).и1.9.2.авекторааприпредставление:dитрехиспользуявектором,Т=®R>=х\А\"ГцК*®R*,ГЛАВАНАЛИНЕЙНЫХбылданТЕНЗОРЫВпервойглавеоснованныйаксиомахна"формальный",иной,несколькоподходадляспособтонагляденприболеепонятия2.1.А)сложенияОперацияиБ)суммойОперацияв1°.2°.3°.са+Ьнама--двезаданыкоторомпареЬ,ba,векторовСизСпринадлежащийтакжекаждомуаэлементукоторыйи?изставитпроизведениемназываетсякомплексныхмножествусложенияиЬ ++с-5действительноеумножениядляСназы-принадлежитлинейноелюбыха,вектороваксиомам:следующимудовлетворять=Стоточисел,еслипространством,чисел,должны(а + Ъ)Существуетs?,ЕлинейнымоперацииС+ачислодействительныхизвекторыкаквекторычисло.каждойзапринадлежиткомплексныммножествупространство.Введенныенеко-число.наназываетсяит.п.,нанаэлементsвек-называютвекторов.умножениясоответствиевектораЕслиЬ,называюттрехмерныеисэлементназываемыйещеобъявляютсяобычныеоднозначносоответствиевегоСумножениясложенияставит(илиа,опреде-векторов.пространствакоторогобуквамиоперации:длиныпространствоминекогдапространствоЛинейнымкак"формальный"аслучаях,(векторного)также,жирнымивиэлементыобозначаютсяпо-видимому,тензорами,n-мерноеаффинным)множество,некотороесдажелинейногоилисовершенноспособ,знакомствеЛинейноеОпределениевекторнымпространств.произведения2.1.используяпространствприменимымскалярноготеперьтензоров,геометрическийпервомОпределение2.1.1.малымивведениялинейныхвремяобщим,§Ь,жетензора,введенияРассмотримевклидовыхтрехмерныхвявляетсяиспособгеометрии.понятиеОбаопределеныПРОСТРАНСТВАХгеометрическийэлементарнойтеоретико-множественноеэквивалентны,более2а.=нулевойа+(Ь+с).0элемента?,Е+0=такой,а.чтодлякаждогоаЕС:ГлаваggСуществует?, такой,4°.Тензоры2.налинейныхпространствахэлемент(—а)противоположный(-а)s(a(sisi(s2a)5°.6°.7°.8°.b)5г)а+++5ia=s2a,РазностьюэлементадвухобозначаютаитрехмерноговсехполиномовНесложнопвсемв(т.е.1°что8°..ЛинейнаяСистемаСпеременной,^.емшире,Напри-степеньформальнокоторыхвсемудовлетворятьеслипространство,С)принятьвсехвпПтензоровтакжезаданногоудовлетворяетлинейноепростран-являютсябудутпространствсвойства.ак-качествеполиномысамиобразуетnfl.тензорыданыаниже,вида:Спока+..ai.

.нулюизеслиСизапна-snan,элементтривиальная,-равная+векторовs1 . .snкоэффициентамисобразуеткомбинациясуществует5xai=такжевекторовкомбинациейЛинейнойпространстваС.5*вселинейнаянетривиальнаянулю.равнызависимой,линейноназываетсякомбинацияес-этихт.е.$4гдепространствес обычнымиобъекта.которогообщие2.2.очевидно,векторов,однойследовательно,5fa,-еслиизависимостьсуммакоторая,чтопространствеэлементами)ихлинейногоназывается(—Ь),иаn-мерномправилам,множестволинейныхпримерынекоторыеОпределениеai. .anт.е.а,векторовпространствеи,(т.е.Линейная2.1.2.вжеевклидовом"векторами"рассмотримсуммупространстватрехмерномДругиеназываютлинейноеэлементоваксиомампространство,1 равночислогеометрическогоотпроверить,рангаа.будетп,образуети2.1.3).=какчисла1°.. 8°(см.упр.аналинейномввектора,заданного"векторов"Спространства.множествоаксиомамЕтемпо"вектора"понятиевышеачисла.-векторамисдействиятрехмерногоНапример,•bичтоследует,жетеобычного$2Ь.—аксиомОднаконеавекторовееэтихиsiгделюбогопроизводятсявекторами=0.Ei52)a.=1ИзЕакаждогодляsb.+sa=ПроизведениеиСЕчтосредиs%существует=хотя5%+бы..один+зпа„ненулевой=B.1)0,коэффициент.§2.1.^^___ЕслилюбаяжеСEanai.

.Линейноеn-мерноеравнатонулю,НекоторыеэтихсистемавекторовназываетсявекторовсвойствизлинейноБазис2.1*3.линейномвБазисомупорядоченнуюкаждыйэлементанезависимой;Е СестьаагКоэффициентыавекторакомпонентамиприведеныУпорядоченностьлинейнаякомбинацияСeiназы-которая. .en,этойсистемы:B.2)i=l. .n.комбинацииназываютсякаждыйчтоИзменяяномер.векторовкомпонента-е,-.означает,определенныйвпространствесистемуа'е,-,=линейнойбазисевлинейномвконечнуюлинейноявляется•векторовпространстве2.3.Определениеназывают•зависимых2.1.5.упр.2.1.3-векторовпространствеСбазисеввекторнумерациюимеетопреразлич-получаеме,,базисы.различныеЧасто,Сизве,-сазначокставятОчевидно,что(илиТожесамоевекторов,и2.1.ВсамомкогдаопределенияB.3)откудаследуетдоказательствоаналогично.Изэтойтеоремы,независимыкоординатныеai.

.amamбытьможетлинейнаяторавнаядлядляпереписанаВистолбцы.нихне-существуетпомощьюскотораянулю,зависимость.тогдазависимыкоординатныеихзависимы,-комбинация,ихвычи-складывать,линейно-зависимыai. .столбцовкоординатныхможнокомбинации.линейнолинейнаяB.5)длялинейныеВекторыеслиделе,Ь|>.'.+столбцынихравнывектороввекторов:справедливоизтогда,нетривиальная(а|"=координатныесоставлятьТеорематолькоЬ+разности)(илиэтихутверждениепоэтомувычитатьB.4)суммыкомпонентатог-строки,Т:(а1.. оп).=компонентыразности)этомвкоординатнойвидетранспонированияатсуммевек-вместотовекторовь-?)взаписьтакжеприменяютрядомфиксирован,столбцыкоординатныеиспользуют¦ (!)¦Иногдатогдабазискогдаba,векторовбазисе:линейнокомбинациятакаянезависимой.линейноЎggлинейнаянетривиальнаянепространствостолбцов,коордиантнхобратнуюдока-сторонуАстолбцы.ичтоследует,очевидно,тогдатолькотогда,когдавекторылинейноai.

.независимыamлинейихГлава90.<Ўтлинейно-Будемдалеебынестолбцыа}срединетз2былаз1-Пустьонатеперь2.2теоремаисправедливаB.1)Условие/2агК12•1л"»Iт)тслучаяиметьбудетизодин-/Г)A7)К-¦>mчтодокажем,п,)\быимеютхотьвид:последнююстолбцы^ипB.8).встрокуоднотакненулевое,Средикаквп(т>п+1>п),идлинуB.8)го>п+1.0,=хотячтобыn-flHrn>n-fl.прибудетРассмотримвыбратьесли(на\имеетсяусловиеобразом:длявернанайтитребуетсявыполнено,следующим?_11 координат-=выполнялосьбудетобразомпроизвольнымненулевым),быB.6)тонулевых,пичтобыстолб-доказана.Приа*.. ^,51.. 5т,sm..упр.2.1.4,быбылатеоремаиндукции.коэффициентыкоординат-нулевыхсогласночисламипростонулевыекоэффициентынихдлиной.amai.нетamai.

.случае,иявляютсякаксредиматематическойметодвсестолбцовпротивномзависимыB.1):ТакчтовкаклинейноПрименимкоординатныепространствахкоординатныхтполагать,такбылилинейныхназависимы.столбцов,координатныхстолбцыЛюбые2.2.ТеоремапТензоры2.aj+1.. (чиселпротивномвсеслучаепотеоремаиндукциидоказана.Пустьвыберемненулевымявляется,а?+1например,skкоэффициент(к?{1.. ш}),тогдаобразом:следующим1ап+1гдевсеПодставимкоординатыа|*+1,товsmэтотеперьs*",s1..одинаковыхB.9)з1..остальныерезультате-произвольные.skзначение$fc,. .sm.этихЕслиоперацийвB.8)иотброситьполучаемсоберемслагаемыеприкоордина-последниеследующиестолб-столбцы:„*-iB.10)Линейное§ 2.1.n-мерноепространство91гдеДлинастолбцовэтих1).+пПоизависимы,пшагуB.10)Теорема2.3.векторов,тоизтакжеп>е[иепmопределенностиПустьпротивное.ei. .базисимеетсяпространствеэтомвsm,..Атеорему.базисы>тлинейно.зк~1зкs1..доказывает(т.к.пвсегдаизсостоятпространствевекторов.ПредположимТбазисаилинейномвдругие1 >т—=столбцыкоординатычтоЕсливсеmiэтиненулевыенуль,вчислоихиндукциинайтиможнообращающиеап,равнапредыдущемуе^..Тогдап.вразнойСпространстверазмерности:можноимеетсяпримеме{векторыбазисупоразложитьба-дваопределен-дляei..еп:B.11)е\гдеВкоэффициенты-вкоторые,всилучторазложения.2.1,теоремыдоказываетэтуОпределениебазисчислоизЛинейноеполагаютвекторявляетсясистемабудем71+линейнообразоватьВп-мерном+влинейноСпоопреде-ai.

.векторов.пространства.Сэтаап.столбцовЕТогдаСвai.?,подлинойп.т.е.,являетсянеизсистемасуществует.апа,неза-базис,образуеткоторыйнеалинейнопимеетсясистемавекторвекторовупорядоченнаябазисом.являетсяпространственолюбогодлякоторомвсякаявектороввп,=(нулевойнезависимыхn-мерныенайдется1 координатныхdimбазисанетпространствеai. .an,независимыхпптолькопустькомбинациейнемвпространство,существуетнезависимыхвекторовопределению,1 линейноформулойсуще-которомпространствапосколькурассматривать2.4.линейнойлибонулевогоназываютпДействительно,независимыхсогласноназываютп-мерным,зависимым).числапС,обозначаютлинейноТеоремаопределение.вп,векторовСп.Размерностьнулю,равнойБесконечномернымнатуральногоДалееипротиворечиеследующеепространствочислаконечногопространстваопределению.е^,е^..векторыпространства.индексом:Ўввести-размерностьюпРазмерностьлибоможнотеорему,2.4.существуетиЭтобазис.m),<Тогда,Атеорему.Используя(nпзависимыми.зависимымиобразуютоникакдлинойлинейноявляютсялинейнобудуттакстолбцовкоординатных2.2,теоремысилуневозможно,атполучимрезультатекоторойНо,об-можновсилутеоремыГлава922.2,столбцы,этилинейно2.4а.независимаядополненадоДляВкакЛинейныедля2.5.любыхС1множествоако-включаютсебявлиней-изэлементовподпространст-любогоКаждоеС?&линейноеС.пространствоостальныеЭтивыбратьоболочкойсистемыСподпространствоС1-2.4а.кактакжепри-то?',^тоначинаяп,этомбазисенезависимыхлинейногопо=Длянену-аЕ?',векторавдоказательстветео-большебытьможетвекторовпод-попределениюдоказана.ненулевогоненекото-тприразмерностьли-дастп-мерногопричембудетлюбогообразуетпроизведениесноваamизложеннымвлинейноеготеоремасметодом,векторовсистема0,?'С1С.слинейнойилисумма^множес-тоam,множествоai.

.тдвасамоианазываютподпространствопространство,базисai. .любаякакмере,0,несобственными,Этоam.таквекторовnкрайнейэлементавекторовразмерностькактакЧисловсякая?,совпадаетпространствапостроитьтеоремыai. .имеетнулевоеинулю,извекторовэтихВсякое2.5.СС!можемsпосодержит,толькокомбинацийкомбинацию.Теореманенулевогопринад-такжечислосистемувпространстваравнаb+асумманазываютвекторовлинейнуюЕслипроизвольноекомбинацийподпространстволинейныхихнаихподпространствалинейныхвсехчислоС1состоящеесобственными.в Снекоторую-Еслилинейноеизпространствонулевое,СbиС.подпространства:такилинейнымэлементовпринадлежитнабазисомназываютС1;произведениенекоторуюпродолжатьвекторов,независимыхявляютсяНепустоеСпринадлежитмножествоможнолинейноиaw,векто-еслиподпространством,всеai. .независимыхподпространствапространства2°базисТогдаAam.ОпределениеЎ2.4,незави-базисом,векторов.черезпвыражается1 линейно+линейносуществуетиздоказательствотопполучимтеоремеai.