Чайнов Н.Д. - Конструирование двигателей внутреннего сгорания, страница 10

2.9, б) вокруг оси симметрии.В качестве неизвестных при решении задачи методом конечныхэлементов принимаются узловыезначения искомой функции, например, температура детали. Общее число неизвестных задачи оп43Рис. 2.9. Простейшие конечные элементы:а, б и в соответственно одно, двух и трехмерныего элемента. На рис. 2.10 представлены конечные элементы повышенной точности, так называемые квадратичные, в отличие отлинейных и билинейных элементов (рис. 2.9). Возможно и дальнейшее увеличение числа узлов(кубичные элементы и т.д.).

В настоящее время имеются библиотеки элементов, содержащие стержределяется количеством узловыхточек конечноэлементной модели.Метод конечных элементов является приближенным. Повышение точности решения задач с помощью МКЭ может быть достигнуто как увеличением числа конечных элементов, на которыеразбивается область, так и увеличением числа узловых точек самоРис. 2.10. Конечные квадратичные элементы повышенной точности:а, б и в соответственно одно, двух и трехмерные44число коэффициентов равно нулю.При рациональной нумерации элементов и узлов ненулевые коэффициенты группируются по обе стороны главной диагонали.

Матрицакоэффициентов имеет при этомленточную структуру. Чем меньшеширина ленты, тем быстрее решается система уравнений на ЭВМ итем точнее решение.МКЭ предусматривает аппроксимацию в пределах элемента непрерывной функции U, например,температуры Т, перемещения d интерполирующим полиномом.Интерполирующие полиномыдля каждого конечного элементадолжны обеспечить непрерывностьискомой функции U и ее производные до (р-1)го порядка включительно во всей области W, если приэтом 2р – порядок исходного дифференциального уравнения. В случае задач теплопроводности и теории упругости р = 1. Производныерго порядка могут иметь разрывыпервого рода по граням стыковкисмежных элементов.Соблюдение этих условий необходимо для сходимости процедурывычислений МКЭ, а также представления функционала [например, Ф(Т) (2.9) или П (2.28) длявсей области W] суммой функционалов по отдельным элементамРис.

2.11. Конечноэлементная модель клапананевые, балочные, мембранные,оболочные, твердотельные и другие виды конечных элементов.После выбора в соответствии склассом задачи типа элементов производится разбиение тела на элементы, нумерация элементов и ихузлов. В качестве примера нарис. 2.11 приведена осесимметричная конечноэлементная модель.При разбиении тело сначала делится на зоны с какимлибо характерным признаком (особенность геометрии, нагружения, свойств материала и т.д.). Возможность менятьмелкость разбивки (размеры элементов) при переходе от одной части детали к другой является важнымдостоинством метода.Более мелкая разбивка применяется в местах больших градиентов температуры, в районах концентрации напряжений. Важноезначение имеет порядок нумерацииузлов. Порядок систем линейныхалгебраических уравнений, получающихся при расчетах полей температур и перемещений основныхдеталей двигателя достаточно велик.

Однако важной особенностьюуказанных систем уравнений является то, что матрицы коэффициентов при неизвестных оказываютсяредкозаполненными, т.е. большоеmФ(T ) = åФ e (T ); (2.56, а)e =1mП = åП e ,(2.56, б)e =1где m – число конечных элементов.Вид интерполирующего полинома определяется мерностью W(одномерная, двухмерная, трехмер45ная области) и типом выбранногодля расчетов конечного элемента.Для конкретной геометрии конечного элемента в целях обеспечения условий сходимости интерполирующий полином должениметь определенное число параметров ai, называемых элементными.

Полиномы с минимальнымчислом ai используются в симплексных элементах. Соответственно, для одно, двух и трехмерного случаев в декартовой системеинтерполирующий полином имеетвидU = a 1 +a 2 x;хода узлов 123 (против часовойстрелки).Для трехмерного тетраэдногоэлемента N1 = (a1 + b1x + c1y ++ d1z)/6V,½x 2 y 2 z2½где a1 = det½x 4 y 4 z4½;½½½x 3 y 3 z3½½1 y 2 z2½b1 = -det½1 y 4 z4½;½½½1 y 3 z3½½x 2 1 z2½c1 = -det½x 4 1 z4½;½½½z3 1 z3½½x 2 y 2 1½d1 = -det½x 4 y 4 1½;½½½x 3 y 3 1½½1 x 1 y 1 z1½1 ½1 x 2 y 2 z2½V = det½½ – объем6 ½1 x 3 y 3 z3½½1 x 4 y 4 z4½тетраэдра 1234 (см. рис. 2.9, в).В матричном виде зависимости(2.58) имеют вид(2.57, а)U = a 1 + a 2 x + a 3 y ; (2.57, б)U = a 1 + a 2 x + a 3 y + a 4 z. (2.57, в)Если коэффициенты ai выразить через координаты узлов элемента и узловые значения функцииUj, то зависимости (2.57, а, б, в) соответственно будут иметь видU = N 1U 1 + N 2U 2 ; (2.58, а)U = N 1U 1 + N 2U 2 + N 3U 3 ; (2.58, б)U = N 1U 1 + N 2U 2 ++ N 3U 3 + N 4 U 4 .(2.58, в)Дляодномерного(рис.

2.9, а)U =[N ]{U e },(2.59)где соответственно для одно, двухи трехмерных элементов матрицастрока [N]: [N] = [N1N2]; [N] =e= [N1N2N3]; [N] = [N1N2N3N4]; {U } –векторстолбец узловых значенийфункции Uj .Компоненты Ni называются базисными функциями, или функциями формы элемента.Если искомая функция U является вектором (например, перемещение точек тела d) и имеет составляющие по осям координат {d}Т == [u, v] в двухмерном случае (плоская и осесимметричная задачи),элементаN 1 = ( x 2 - x) l ; N 2 = ( x - x1 ) l .Для двухмерного треугольногоэлементаN 1 = (a1 + b1 x + c1 y ) 2 D ,где a1 = x2 y3 - x3 y2; b1 = y2 - y3; c1 == x3 - x2; D – площадь треугольника123 (см. рис. 2.9, б). Выражения N2и N3 получаются из N1 круговой перестановкой индексов в соответствии с принятым направлением об46ловых точек функции формы Ni будут, естественно, иными. Для получения функций формы в общемслучае применяют два подхода: использование обобщенных координат ai элемента и использованиеинтерполяционных формул.По мере увеличения числа узловых точек более предпочтителенвторой подход.

Функция U представляетсяинтерполирующиммногочленом. В одномерном случае многочлен порядка р имеет видили {d}Т = [u, v, w] в трехмерномслучае (трехмерная задача), то вматричной форме соотношения,соответствующиевыражениям(2.58), примут вид:{d} = [N ]{d e },(2.60)eгде {d } – векторстолбец узловыхперемещений.В двухмерном случае[ N]=[EN1 EN 2 EN 3 ],é1 0ùe TE =êú ; {d } = [u1 v 1 u 2 v 2 u 3 v 3 ].01ëû(2.61)p +1U( x ) = ål i ( x )U i ,(2.63)i =1p +1xi - x, П – знакi =1; i ¹ j x j - x iпроизведения.В случае функций двух переменных U(x, y) интерполирование проводится последовательно по каждой переменной в отдельности.Фиксируется y = yk, находят Uk(x) == U(x, yk).

Затем полученное значение U(x, yk) рассматривают какзначение функции U с единственной переменной y. Результатом будет сумма с числом слагаемых, равным числу фиксированных yk. Так,для прямоугольного четырехузловогобилинейного элемента (рис. 2.9, б) врезультате получитсяВ трехмерном случаегде l i ( x ) =[ N]=[EN1 EN 2 EN 3 EN 4 ],é1 0 0ùE = ê0 1 0ú ;êúêë0 0 1úû{d e }T == [u1 v 1 w1 u 2 v 2 w 2 u 3 v 3 w 3 u4 v 4 w4 ].(2.62)С помощью функций формыстроятся необходимые математические зависимости при минимизации функционалов Ф(Т) и П и последующего получения систем алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых значений искомых функций, в частности, температуры и перемещения.Функция формы Ni равняется единице в iм узле конечного элементаи обращается в нуль во всех остальных его узлах.При применении конечных элементов повышенной точности(квадратичных или кубичных) сувеличенным по сравнению с симплексными элементами числом узÕU = a 1 + a 2 x + a 3 y + a 4 xy == l1 (y )l1 ( x )U 1 + l1 (y )l 2 ( x )U 2 ++l 2 (y )l 2 ( x )U 3 + l 2 (y )l1 ( x )U 4 .

(2.64)Функции l(х) и l(y) имеют видx2 - xx - x1 ü; l 2 ( x) =;2b2 b ï (2.65)y -yy - y1 ýïl1 (y ) = 4; l 2 (y ) =2a2a þl1 ( x ) =где 2а = y4 - y1; 2b = х2 - х1.47ляться в естественных координатах. Например, для одномерногосимплексного элемента (рис.

2.9, а)функции формы в зависимости(2.58, а) примут видОбъединяясоответствующимобразом функции l1,2(x) и l1,2(y), получаем функции формы в виде1ü( x 2 - x )(y 4 - y ); ï4abï1( x - x 1 )(y 4 - y );ïN2 =ïï4abý (2.66)1( x - x 1 )(y - y 1 ); ïN3 =ï4abï1( x 2 - x )(y - y 1 ).ïN4 =ïþ4abN1 =N 1 = 0,5(1 - x); N 2 = 0,5(1 + x).В табл. 2.1 приведены функцииформы различных конечных элементов в естественной системе координат.В случае треугольных (двухмерная область) или тетраэдальных(трехмерная область) конечныхэлементов используются так называемые безразмерные Lкоординаты. Для произвольной точки Рвнутритреугольногоэлемента(рис. 2.9, б) каждая из трех координат L1, L2, L3 есть отношение расстояния от этой точки до стороны,противоположной соответствующей вершине 1, 2, 3 к высоте отэтой вершины до указанной стороны, что равно также отношениюплощади соответствующего внутреннего треугольника с вершиной вточке Р к площади всего треугольника 123.

Поэтому в двухмерномслучае Lкоординаты иногда называют координатами площади. Длятреугольного симплексного элемента функции формы совпадают сLкоординатами: L1 = N1; L2 = N2;L3 = N3. С помощью Lкоординатудобно проведение интегрирования вдоль одной из сторон элемента длиной l (на ней L3 = 0), а такжепо площади D треугольного элементаВсе представленные выше соотношения получены в глобальнойсистеме декартовых координат x, y,z, общей для области, занимаемойтелом. Вычисления, связанные сопределением различных характеристик конечных элементов, например матриц теплопроводности,жесткости (о чем будет сказано ниже), рационально производить влокальных безразмерных координатах, которые иногда называютестественными.