Чайнов Н.Д. - Конструирование двигателей внутреннего сгорания, страница 7

Однозначное решение задачи теории упругости предусматривает удовлетворение условий равновесия на границетела – статических граничных условий (рис. 2.5)X n = s x l + t yx m + t zx n;üïY n = t xy l + s y m + t zy n; ý (2.25)Z n = t xz l + t yz m + s z n ,ïþ1 æ ¶u ¶u je ij = ç i +2 çè ¶x j ¶x i31ö÷;÷ø(2.21¢)¶u1 ¶u 2 ¶u 3– объемная++¶x 1 ¶x 2 ¶x 3деформация.При решении системы (2.26)граничные условия (2.25¢) выражают через составляющие вектора {d}перемещений. Интегрирование системы (2.26) при заданных кинематических или преобразованныхстатических граничных условияхдает решение задачи теории упругости в перемещениях.Можно за неизвестные задачипринять компоненты тензора напряжений.

Так как число неизвестных компонентов тензора напряжений в случае изотропного теларавно шести, то трех уравненийравновесия (2.23¢) недостаточнодля их определения. Недостающиеуравнения можно получить, выразив деформации eij через напряжения (2.24¢), и подставить eij в условия совместности деформаций(2.22¢). Полученная система шестидифференциальных уравнений относительно компонентов тензоранапряжений sij известна под названием уравнений БельтрамиМитчела. При отсутствии объемных силсистема в тензорной записи имеетвид¶ 2 e jl¶ 2 e ik+=¶x j ¶x l ¶x i ¶x k=¶ 2 e jk¶ 2 e il+;¶x j ¶x k ¶x i ¶x l¶s ij¶x i+ X j = 0;где q =(2.22¢)(2.23¢)1[(1 + m)s ij - 3md ij s 0 ] +E(2.24¢)+ d ij (a T T );eij =X u j = s ij n i .(2.25¢)Здесь индексы i, j последовательнопринимают значения 1, 2, 3 с суммированием по повторяющемусяиндексу в одном слагаемом; dij = 1при i = j и dij = 0 при i ¹ j (символ1Кронекера); s 0 = (s x + s y + s z ) –3среднее нормальное напряжение.Уравнениятеорииупругости.Уравнения (2.21¢–2.24¢) можно привести к системе трех уравнений относительно неизвестных компонентов вектора перемещений {d}.

С этойцелью, выразив с помощью соотношений (2.21¢) в уравнениях (2.24¢)компоненты деформаций через составляющие перемещений и решивсистему (2.24¢) относительно компонентов тензора напряжений, полученный результат следует подставить в уравнения равновесия (2.23¢).В итоге получим систему уравненийЛяме, которая в случае изотропноготела имеет видÑ 2 s ij +3s 0 , ij = 0.1+m(2.27)Знак запятой означает дифференцирование величины s0 по переменным, соответствующим i и j.Как отмечалось ранее, задача,связанная с решением системыдифференциальных уравнений, например, (2.26) может быть заменена задачей определения функций,обеспечивающих стационарность(иногда экстремальное значение)некоторого функционала.

В случаеæ1¶q öG çç Ñ 2 u i +÷+(1 - 2m) ¶x i ÷øèE ¶(a T T )+ Xi = 0, (2.26)1 - 2m ¶ x i32можно появление зон пластическойдеформации. Определение напряженнодеформированного состояния в этом случае связано с применением методов теории пластичности, а при повышенных температурах для теплонапряженных деталейдвигателя – теории ползучести.Высокие тепловые нагрузки характерны для поршней, крышек(головок) цилиндров, втулок (гильз)цилиндров, клапанов, элементовтурбокомпрессоров двигателей.В отличие от упругого поведения материала в этих случаях послеснятия нагрузки в элементах конструкции имеют место остаточныедеформации и напряжения, определение которых требует при расчетах введения иных связей междудеформациями и напряжениями,отличных от закона Гука.В общем случае появление пластических деформаций происходиткак вследствие достижения действующими напряжениями предельных значений (предела текучестиматериала sт), так и вследствиеползучести в условиях повышенных температур.

Обычно принимают, что общая деформация e равнасумме деформаций упругости eе,пластичности e р и деформацииползучести eс: e = ee + e p + ec.Определение напряженнодеформированного состояния вэлементах двигателя, находящихся в условиях высоких механических нагрузок при умеренныхтемпературах, производится методами теории пластичности, устанавливающей связи между пластическими деформациями и напряжениями. При этом, как ипри упругом деформировании,эта связь не зависит от времени,но зависит от истории нагружения. Решение задачи теории плазадачи теории упругости под функционалом П понимается полнаяпотенциальная энергия системы(например, детали или узла двигателя)1П = ò (s x e x + s y e y + s z e z +2V+ t xy g xy + t yz g yz + t zx g zx )dV - ò ( Xu +Yv + Zw)dV V- ò ( X n u +Y n v + Z n w)dF .(2.28)FВ уравнении (2.28) первый ивторой интегралы по объему V выражают потенциальные энергиисоответственно деформации тела иобъемных сил, а третий интегралпо поверхности F – потенциальнуюэнергию поверхностных сил.При заданных статических и кинематических граничных условиях(внешних силах и условиях закрепления) действительные составляющие u, v, w вектора перемещениятаковы, что в состоянии равновесия тела его полная потенциальнаяэнергия стационарна, т.е.

dП = 0,где d – знак вариации.Доказано, что стационарностьфункционала в положении равновесия соответствует минимальномузначению. Это свойство стационарности и используется для определения значений функций перемещений, т.е. решения исходнойзадачи по определению напряженнодеформированного состояниятела (детали).2.3.1. Неупругое деформированиеВ условиях постоянного повышения мощности и жестких ограничений по массе и габаритам двигателей при работе ряда деталей воз33стичности в общем случае связано с огромными трудностями и,по мнению ряда крупных ученых,вряд ли вообще возможно. Поsi =ei =12e ij - d ij e 0 =3 ei(s ij - d ij s 0 ), (2.30)2siгде(s x - s y ) 2 + (s y - s z ) 2 + (s z - s x ) 2 + 6(t 2xy + t 2yz + t 2zx );23(e x - e y ) 2 + (e y - e z ) 2 + (e z - e x ) 2 + (g 2xy + g 2yz + g 2zx ).32Зависимость интенсивности напряжений от интенсивности деформаций, называемая диаграммой деформирования, определяется экспериментально при испытаниях на растяжение.При одноосном растяжении si =1 - 2m= s, e i = e s .

Таким образом,3Eпо диаграмме растяжения материала можно получить диаграмму деформирования.Теория малых упругопластических деформаций справедлива вусловиях так называемого простогонагружения, при котором компоненты девиатора напряжений возрастают пропорционально некоторому параметру. Уравнения теориималых упругопластических деформаций характеризуют поведениенелинейноупругого тела.Процесс пластического деформирования необратим и напряжения в конечном состоянии зависятот пути деформирования.

Связимежду компонентами напряженийи деформаций в общем случае нагружения должны быть дифференциальными. Теория пластическоготечения устанавливает связи междубесконечно малыми приращениями деформаций, напряжений, самими напряжениями и параметрами пластического состояния.этому предложен ряд теорий, каждая из которых основана на соответствующих гипотезах. Выделяют группу деформационных теорий, устанавливающих зависимости между компонентами тензоров напряжений и деформаций, игруппу теорий течения, рассматривающих связи между приращениями или скоростями деформаций и напряжениями.К первой группе относится наиболее простая и достаточно распространенная теория малых упругопластических деформаций.

В основу этой теории положены следующие гипотезы.1. Объемная деформация q пропорциональна среднему нормальному напряжениюs 0 = Kq ,(2.31)(2.29)E.3(1 - 2m)Как следует из (2.29), связь q иs0 такая же, как в теории упругости. Таким образом, в результатепластического деформирования изменения объема тела не происходит, а меняется форма.2. Компоненты девиатора деформаций eij = eij - dij e0 пропорциональны компонентам девиатора напряжений Sij = sij - dijs0где K =34При деформировании за пределами упругости предел текучестиупрочняющегося материала увеличивается. Разграничение областиупругого и пластического деформирования описывается уравнением гиперповерхности пластичностив пространстве компонентов тензора напряженийf (s ij ) = 0.Компоненты приращений пластической деформации, являющиеся функциями компонент напряжения, должны удовлетворять условию пластичности (2.32), что прииспользовании множителей Лагранжа dl приводит к соотношениюde ijp = dl(2.32)Вид зависимости (2.32) определяет особенности той или инойтеории пластического течения.Так, теории течения с изотропнымупрочнением соответствует равномерное (изотропное) расширениеповерхности пластичности.

В этомслучае принимается ряд гипотез.1. Пропорциональность объемной деформации среднему нормальному напряжению в соответствии с уравнением (2.29).2. Пропорциональность компонентов девиатора приращений пластических деформаций de ijp компо(2.34)Соотношение (2.34) выражаеттак называемый ассоциированныйзакон течения. Согласно второй гипотезеde ijp = dlS ij ,(2.35)1 dei.2 siПриращения полных деформаций складываются из упругой ипластической составляющих.

Первая представляется в соответствиис формулой (2.24¢) в видеpгде dl =нентам девиатора напряжений Sij.3. Интенсивность напряженийявляется функцией интеграла отинтенсивности приращения пластических деформаций de ip , не зависящей от типа напряженного состоянияs i = Ф(òd e ip ),¶f.¶s ijde eij =1[(1 + m)ds ij - d ij 3mds 0 ].EПриращения пластических деформаций с использованием соотношения (2.35) и выражения, аналогичного (2.31), для определенияd e ip представляется в виде(2.33)где d e ip – интенсивность приращений пластических деформаций, которая определяется по формуле,аналогичной (2.31) с заменой в последней компонентов деформацийна приращения компонентов деформаций.В случае одноосного растяженияsi = s, òd e ip = e p и функция Ф определяется по диаграмме растяжения.3 dei(s ij - d ij s 0 ).

(2.36)2 sipde ijp =Если приращения пластическихдеформаций значительно превосходят приращения упругих деформаций, последними пренебрегают.Используя понятие скорости деформации xij, можно записать35x ij =3 xi(s ij - d ij s 0 ), (2.37)2siрий Треска–СенВенана s1 - s3 == sт, которое также называют условием начала пластичности наибольшего касательного напряжения.

Как показали эксперименты,условие МаксвеллаХубера лучшесогласуется с опытными данными,чем условие Треска–СенВенана,но различия невелики.Для расчета полей перемещений, деформаций и напряжений вусловиях пластичности широко используются вариационные методы,а также методы, сводящие решениеупругопластической задачи к решению ряда упругих задач с помощью последовательных приближений. Одним из распространенныхи хорошо зарекомендовавших себяв расчетной практике является метод переменных параметров упругости.