Чайнов Н.Д. - Конструирование двигателей внутреннего сгорания (1037884), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Вместо глобальныхкоординат x, y, z соответственновводятся естественные координатыx, h, z, начало которых находится вцентре тяжести конечного элемента. В пределах элемента каждая изкоординат изменяется в пределахот -1 до 1, что весьма удобно припроведении численного интегрирования, используемого при вычислениях, связанных с применениемМКЭ. Применение естественныхкоординат позволяет деформировать границы конечных элементов.В этом случае в исходной глобальной системе координат x, y, z конечные элементы могут быть криволинейными, что повышает точность представления тел сложнойгеометрической формы. Теперьфункции формы будут представüïï0ý (2.73)Da! b!c !ïa b cò L1 L2 L3dF = (a + b + c +2)!2 D .ï0þla! b!ò L1 L2dS = (a + b +1)!l ;a48bДля произвольной точки Р внутритетраэдального элемента (рис.
2.9, в)естественными координатами L1, L2,L3, L4 является отношение расстояний от этой точки до грани, противоположной соответствующей вершине 1, 2, 3, 4 тетраэдра к высоте отэтой вершины до указанной грани,2.1. Функции формы различных конечных элементов в естественной системе координатНазвание конечного элементаЧислоузловыхточекФункции формы Ni конечного элементав естественных координатахОдномерный линейный элементN 1 = 0,5(1 - x); N 2 = 0,5(1 + x)2(2.67)Одномерный квадратичныйэлемент3N 1 = -0,5x(1 - x);üïN 2 = (1 - x 2 );ýN 3 = 0,5x(1 + x) ïþ(2.68)1N i = (1 + xx i )(1 + hhi ),4(2.69)Двухмерный прямоугольныйбилинейный элемент4i = 1, 2, 3, 4Двухмерный прямоугольныйквадратичный элементДля угловых точек:81üN i = (1 + xx i )(1 + hhi )( xx i + hhi - 1),ï4ïi = 1, 3, 5, 7;ïïý (2.70)12N i = (1 - x )(1 + hhi ),ï2ï1ïN i = (1 - h2 )(1 + xx i ),ïþ2Трехмерный прямоугольныйбилинейный элемент (8точечный параллелепипед)1N i = (1 + xx i )(1 + hhi )(1 + zz i ),88i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 849(2.71)Окончание табл.
2.1Название конечного элементаЧислоузловыхточекФункции формы Ni конечного элементав естественных координатахТрехмерный прямоугольныйквадратичный элемент (20точечный параллелепипед)Для угловых точек1N i = (1 + xx i )(1 + hhi )(1 + zz i ) ´8´ ( xx i + hhi + zz i - 2 ),(2.72)i = 1, 3, 5, 7, 13, 15, 17, 19Для точек на середине реберТочки 4, 8, 16, 20 ( x i = 0)1N i = (1 - x 2 )(1 + hhi )(1 + zz i ).420Точки 2, 6, 14, 18 ( h i = 0)1N i = (1 - h2 )(1 + xx i )(1 + zz i ).4Точки 9, 10, 11, 12 ( z i = 0)1N i = (1 - z 2 )(1 + xx i )(1 + hhi )4N 1 = L1 (2 L1 -1); N 2 = 4L1 L 2 ; üïN 3 = L 2 (2 L 2 -1); N 4 = 4L 2 L 3 ;ý (2.75)N 5 = L 3 (2 L 3 -1); N 6 = 4L1 L4 .ïþчто равно также соотношению объемов соответствующего внутреннеготетраэдра с вершиной в точке Р кобъему всего тетраэдра 1234.
Потомув трехмерном случае Lкоординатыиногда называют объемными координатами.Для тетраэдра с четырьмя узламиLкоординаты совпадают с функциями формы: L1 = N1; L2 = N2; L3 = N3;L4 = N4. При этом во всех случаяхсумма Li равна 1.Интегрирование по объему V тетраэдра производится по формулеВ случае объемного квадратичноготетраэдальногоэлемента(рис. 2.10, в) функции формы имеют вид:в вершинах тетраэдра (точки i == 1, 3, 5, 10)Ni = Li(2Li - 1);(2.76)для остальных точек:Vò L1 L2 L3 L4 dVabcdN 2 = 4L1 L 2 ; N 4 = 4L 2 L 3 ;üïN 6 = 4L1 L 3 ; N 7 = 4L1 L4 ; ý (2.77)N 8 = 4L 2 L4 ; N 9 = 4L 3 L4 .ïþ=0=a! b!c !d !6V .(a + b + c + d + 3)!(2.74)В связи с использованием естественных координат требуется выполнять преобразование как функций формы, так и их производныхпри переходе от глобальных декартовых координат, в которых запиВыше были приведены функцииформы для треугольного симплексного элемента.
В случае двухмерного квадратичного треугольного элемента (рис. 2.10, б) функции формыимеют вид50саны исходные дифференциальныеуравнения и функционалы, к естественным координатам.При преобразовании координат можно использовать комбинации функций формы Ni, которые используются для аппроксимации искомой функции в пределах конечного элемента. В этомслучае конечный элемент называется изопараметрическим. В качестве узловых параметров припреобразовании координат используются декартовы координаты узловых точек.
Например, вслучае одномерного квадратичного элемента (рис. 2.10, а):x = N 1 x1 + N 2 x 2 + N 3 x 3 .Элементарная площадь dF == dxdy = det[J]dxdh.Вектор искомых производныхì ¶N iïï ¶xíï ¶N iîï ¶yì ¶N iï ¶xïï ¶N iíï ¶hï ¶N iïî ¶z(2.78)(2.79)[J] =dN idN i= [J]-1.dxdx(2.80)ì ¶N iïï ¶xï ¶N iíï ¶yï ¶N iïî ¶zВ двухмерном случае имеемì ¶N iïï ¶xíï ¶N iïî ¶hé¶xê¶xгде [J] = êê¶xêë¶hüì ¶N iïïïï ¶xý = [J]í ¶Nïï iïî ¶yïþüïïý,ïïþüì ¶N iïïïï ¶xïï ¶N iý = [J]íïï ¶yïï ¶N iïïî ¶zþüïïïý,ïïïþ(2.83)é¶x ¶y ¶z ùê¶x ¶x ¶x úúê¶x ¶y ¶z úгде [J] = ê.ê¶h ¶h ¶h úê¶x ¶y ¶z úúêë ¶z ¶z ¶z ûЭлементарный объем dV == dxdydz = det[J]dxdhdz.Вектор искомых производныхdN 1dN 2dN 3x1 +x2 +x3dxdxdxназывается матрицей преобразования Якоби. Элемент длины dx == det[J]dx.Искомая производная:гдеüïïý .
(2.82)ïïþВ трехмерном случае имеемДля вычисления производнойфункций формы Ni, которые теперьзаписаны в естественных координатах, используются соотношенияdN idN=[J] i ,dxdxì ¶N iüïïï-1 ï ¶x[J]=ýíï ¶N iïïþïî ¶h(2.81)ì ¶N iüï ¶xïïïï-1 ï ¶N iý = [J] íïï ¶hïï ¶N iïïþî ¶züïïïý . (2.84)ïïïþПриведенные соотношения используются при вычислении характеристик конечных элементов прирешении различных задач с помощью МКЭ.¶x ù¶x úú.¶y ú¶h úû51лов n достаточно велико. Так какфункции Ni определяются на отдельных элементах, а аппроксимирующие полиномы должны удовлетворять условиям полноты и согласованности на границах соседнихэлементов, то общий функционал,относящийся ко всей области, занимаемой телом, заменяется суммой функционалов отдельных элементов в соответствии с формулой(2.56, а).Математическиминимизацияфункционала Ф(Т) выражается следующим образом:2.4.1.
Расчет теплового состояниядеталей двигателяПри решении задачи стационарной теплопроводности с помощьюМКЭ неизвестными являются температуры в узлах конечноэлементной сетки, покрывающей область,занимаемую рассчитываемой деталью. Температуру в узлах определяют с помощью минимизации соответствующего функционала по искомым температурам узлов.Выражения функционалов дляплоской и осесимметричной задачпри постоянных теплофизическиххарактеристиках материала получаются из формулы (2.9) и соответственно имеют вид¶Ф(T ) m ¶Ф e (T )=å= 0.
(2.87)¶{T }e =1 ¶{T }Дифференцируя в соответствиис (2.9) выражение функционалаеФ (Т) одного элемента с объемомeV по температуре Ti iго узла, получаемìï l éæ ¶T ö 2Ф(T ) = ò í êç÷ +2 êëè ¶x øVïîüùïú - QT ýdV +úûïþa+ ò tq 0TdS + ò t (T -T cp ) 2 dS ; (2.85)2S2S3æ ¶T+ççè ¶yö÷÷ø2ì é¶T ¶ æ ¶T ö¶Ф e (T )= ò íl ê÷+ç¶T i¶x ¶T i è ¶x øVeî ëö ¶T ¶ æ ¶T öù÷÷ +ç÷ú ø ¶z ¶T i è ¶z øû¶T ü¶T-QdF +ýdV + ò q 0¶T i þ¶T iF2e+ìï l éæ ¶T öФ(T ) = ò í êç÷ +2 êëè ¶r øVïî2üïæ ¶T ö ù+ç÷ ú - QT ýdV +è ¶z ø úûïþ+ ò 2 prq 0TdS + ò pra (T -T cp ) 2 dS .2S2¶T ¶ æ ¶Tç¶y ¶T i çè ¶y+ ò a(T -T cp )F3eS3¶TdF .¶T i(2.88)При этом два последних интеграла по площади появляются только у элементов на границе области,занимаемой телом, где заданы граничные условия теплообмена 2гоили 3го рода.
При вычислениипроизводных в выражении (2.88) иему подобных следует иметь в виду,¶T é¶N 1 ¶N 2 ù eчто=,, ...ú {T } . Здесь¶x êë ¶x¶xû(2.86)Для плоской задачи элементарный объем dV = tdF, где dF = dxdy, адля осесимметричной dV = 2prdF,где dF = drdz.Минимизацияфункционаловдолжна производиться на выбранном множестве узловых значенийтемператур [Т1, …, Тn], где число уз52éb[h e ] = ê 1ëc1{T}e – вектор узловых температурэлемента.
Аналогично определяют¶T¶T¶Tсяи. Кроме того,= Ni .¶y¶z¶T iВ результате для одного элемента сучетом всех его узловых точек в соответствии с (2.88) получим¶Ф e (T )= [H e ]{T e } + { f e },¶{T e }Из формулы (2.91) следует, чтопри наличии в элементе тепловогоисточника генерируемая теплотараспределяется поровну между узлами элемента.
Из выражения матрицы [he], называемой матрицейградиентов, видно, что в случаеплоской задачи градиент температуры в пределах линейного треугольного элемента не меняется.Это обусловливает необходимостьболее мелкой разбивки детали наконечные элементы в тех местах,где ожидается значительное изменение градиента температуры.Для осесимметричной задачи:eprl e T e[h ] [h ] +2Dé3r1 + r3 0 r1 + r3 ùpal ê+000 ú;êú6êë r1 + r3 0 r1 + 3r3 úû[H e ] =éb[h e ] = ê 1ëc1b2c2æ pQD{ f } = -çè 6etl e T e[h ] [h ] +4Dé 1 0 0,5ùatl ê+0 0 0 ú;ú3 êêë0,5 0 1 úûb3 ù,c 3 úûæ QtD ö{ f e } = -ç÷´è 3 øì1üì1 üï ï t (q 0 - aT cp )l ï ï´ í1ý +í0ý . (2.91)2ï1ïï1 ïîþî þ(2.89)где [H ] – матрица теплопроводноeсти элемента; {f } – вектор тепловой нагрузки элемента.Используя правило перемножения матриц и соотношения(2.73), (2.74), вычисляют интегралы в выражениях матрицы теплопроводности и вектора тепловой нагрузки элемента.
В случае треугольных и тетраэдальныхэлементов интегрирование осуществляют с помощью Lкоординат. Для выражений, содержащих параметры теплообмена a,q0,интегрированиепроводяттолько по граням элементов, расположенных на границе тела, покоторой осуществляется теплообмен. Параметры a, q0 часто заменяются в пределах границ элемента осредненными значениями a , q 0 .В случае симплексного треугольного элемента (рис.
2.9, б),принимая за наружную грань 1 3длиной l, вдоль которой осуществляется интегрирование и N2 == L2 = 0, получим для плоскойзадачи:b2c2e[H ] =b3 ù;c 3 úûì2 r1 + r2 + r3 üïöï÷ í r1 + 2 r2 + r3 ý +øïïî r1 + r2 + 2 r3 þì2 r1 + r3 üpl(q 0 - aT cp ) ïï+í 0 ý.3ï r1 + 2 r3 ïîþ(2.90)53(2.92)(2.93)При этом вектор тепловой нагрузки {f e} примет видВ случае трехмерной задачидлятетраэдальногоэлемента(рис. 2.9, в), принимая за наружную грань 1 2 4, по которой происходит теплообмен и где N3 == L3 = 0, получимé2ì1üêï1ïQV ï ï D ê1+{f e} = íý4 ï1ï 12 ê0ê1ïî1ïþëqT()aì 01ср 1 üï q - (aT ) ïср 2 ïï 02´íý.0ïïïîq 04 - (aT ср )4 ïþl[h e ]T [h e ] +36Vé 1 0,5 0 0,5ùúêaD ê0,5 1 0 0,5ú; (2.94)+6 ê00 0 0úê0,5 0,5 0 1 úûë[H e ] =éb1[h ] = êc1êêëd1eb2c2d2b3c3d3b4 ùc4 ú ;úd4 úû[H]{T } = { f },me =1e =1Рассмотримнестационарнуюзадачу теплопроводности, имеющую важное значение при оценкетеплового состояния деталей в условиях неустановившихся режимовработы двигателя.
При быстром изменении скоростного и нагрузочного режимов работы возможныслучаи, когда уровень тепловых нагрузок оказывается более высоким,чем при работе на номинальномрежиме. Существенные изменениярежима работы двигателя приводятк макротеплосменам, т.е. к значительным изменениям теплового состояния всего объема деталей вовремени.Изменение теплового состояниядеталей связано также и с циклическим характером протекания рабочего процесса двигателя, вызывающим так называемые микротепло(2.95)q 0 - aT cp =L2m(2.98)где [H] = å[H e ]; { f } = -å[ f e ].Формулы (2.90)–(2.95) могутбыть уточнены при замене осредненных наружных значений a, q0 иТср на наружных гранях элементов,где происходит теплообмен, например, линейными соотношениямитипа= [L1(2.97)Подставив в уравнение (2.87)выражение (2.89), получают систему линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестныхузловых температур.
В матричнойформе система имеет видì1üïïQV ï1ï{f e} = í ý+4 ï1ïïî1ïþì1 üD(q 0 - aT cp ) ïï1 ïï+í ý.3ï 0ïïî1 ïþ1 0 1ù2 0 1úú´0 0 0ú1 0 2 úûì q 01 - (aT cp )1 üï q - (aT ) ïcp 2 ïï 020 L4 ]íý.0ïïïîq 04 - (aT cp )4 ïþ(2.96)54смены, которые распространяютсяна сравнительно небольшой объемметалла поверхностных слоев стенок камеры сгорания. Амплитудыколебаний температуры этих слоевнезначительны и уменьшаются сповышением скоростного режимаработы двигателя, а также расстояния от поверхности.
В случае использования в качестве материаловэлементов ЦПГ керамики, композитов и других материалов с низкой теплопроводностью амплитудыколебаний температуры поверхности могут достигать 100–150 °С ивыше.Решение задачи о нестационарном температурном поле связано срассмотрением дифференциального уравнения теплопроводности(2.1) (в общем случае) или уравнения (2.2) (при постоянных теплофизических характеристиках материала).Аналитические решения нестационарной задачи возможны лишьдля простейших одномерных случаев. Поэтому применительно кдеталям ЦПГ двигателя используются численные методы, в частности МКЭ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
