Чайнов Н.Д. - Конструирование двигателей внутреннего сгорания, страница 6

Задачаинтегрирования уравнения стационарной теплопроводности в математическом отношении эквивалентна задаче определения функции температуры Т, обеспечивающей стационарность соответствующего функционала, имеющегоприменительно к уравнению (2.4) сграничными условиями (2.5–2.7)видчто порядок производных подынтегрального выражения функционала (2.9) вдвое ниже порядка исходного дифференциального уравнения теплопроводности, что расширяет класс допустимых функций, с помощью которых строится решение.При расчетах температурныхполей теплонапряженных деталейдвигателя, пространственная задача теплопроводности в ряде случаев может быть сведена к двумернойи даже одномерной задаче.

Так, некоторые конструкции поршней,втулок цилиндров могут рассматриваться как оболочки вращения.Огневое днище крышек цилиндров, днища поршней многих двигателей с принудительным воспламенением можно рассматривать какпластину в общем случае произвольной формы. Если в криволинейной системе координат q1, q2, q3принять q3 = z, где z – длина в направлении нормали к поверхностиоболочки, то уравнение теплопроводности при l = const и Q = 0имеет видé ¶ æ H 2 ¶Tççêë¶q1 è H 1 ¶q1¶ æ H 1 ¶T ö+ç÷+¶q 2 çè H 2 ¶q 2 ÷ø1H1 H 2ìï l éæ ¶T ö 2 æ ¶T ö 2Ф(T ) = ò í êç÷÷ +÷ + ççï 2 êëè ¶x ø è ¶y øVîüïæ ¶T ö ù+ç÷ ú -TQ ýdV + ò q 0TdF +è ¶z ø úûïþF2a+ ò (T -T cp ) 2 dF .(2.9)2F32+¶æ¶Tç H1 H 2¶z è¶z=1 ¶T.a ¶tö÷÷ +øöù÷ú =øû(2.10)Коэффициенты Ламе Н1, Н2 связаны с коэффициентами первойквадратичной формы А1 и А2 базовой поверхности зависимостямиОдно из преимуществ решенийзадач, основанных на вариационных принципах, связано с тем,H 1 = A1 (1 + K 1 z); üýH 2 = A2 (1 + K 2 z),þ26(2.11)Рис.

2.1. Схема для расчетатеплового состояния пластины произвольной формыгде K1 = 1/R1; K2 = 1/R2 – главныекривизны поверхности.Понижение мерности задачиосуществляется с помощью аппроксимации распределения температуры по толщине оболочки(или пластины) полиномом относительно координаты z. Для перечисленных выше деталей двигателямногочисленные расчеты и эксперименты показали, что достаточную для практики точность обеспечивает квадратичный закон распределенияT = T 0 +T1 z +T 2 z 2 ,стины); Т1, Т2 – подлежащие определению функции.Используя выражение (2.12) играничные условия теплообмена(2.6), (2.7) на внутренней и внешней поверхностях оболочки (пластины), приходим к дифференциальному уравнению второго порядка в частных производных относительно температуры срединной поверхности оболочки (пластины) Т0.Для случая пластины толщиной t(рис.

2.1) dq1 = dx; dq2 = dy; А1 = А2 == 1; К1 = К2 = 0 уравнение (2.10)имеет вид(2.12)Ñ 2T 0 +где Т0 – температура базовой (срединной) поверхности оболочки (плаf2f1 ¶TT0 + 1 =,ll a ¶t(2.13)гдеüïïïïC = a 1 - a 2 ; D = q 01 + q 02 ; E = a 1 + a 2 ;ïï4l + ta 1Y 1 = W a 2 - a 1 ; Y 2 = wa 2 + a 1 ; W =;ý4l + ta 2ïï2l + t a 1w=; U 1 = a 1T cp1 - W a 2T cp2 - q 01 + W q 02 ;ï2l + t a 2ïïU 2 = wa 2T cp2 + a 1T cp1 - q 01 - wq 02 ;ïV1 = l(1 + W) + 0,5t (W a 2 + a 1 ); V 2 = t[l(1 + w) + 0,25t(a 1 + wa 2 )].þU 2 A 3B 3U 1 C 3D3E 3Y 1 C Y 2 A++; f2 =+;8V 2 2t4V12t2t4V1 8V 2A = 3t (a 1 + a 2 ) + 40l ; B = a 1T cp1 + a 2T cp2 ;f1 =27(2.14)Функции Т1 и Т2 выражения(2.12) имеют видU 1 +Y 1T 0 ü;ïïV1U 2 -Y 2T 0 ýT2 =.ïïþV2T1 =(2.15)Для решения уравнения (2.13)задаются начальное и граничныеусловия теплообмена на внутренних (Lj - Lm) и наружном Lm+1 контурах (рис.

2.1).¶TНапример, -l 0 = a j (T 0 -T cpj ),¶n jгде nj – нормаль к поверхности Lj.В случае цилиндрической оболочки радиуса r0 (рис. 2.2) dq1 = dx;dq2 = dj; А1 = 1; А2 = r0; R1 = ¥; R2 == r0; 2К = 1/r0. В условиях осевойсимметрии ¶/¶j = 0 разрешающееуравнение относительно температуры Т0 срединной поверхностиоболочки имеет видРис. 2.2. Схема для расчета теплового состояния цилиндрической оболочкиp æ ¢ 0,5tU 1 p¢ 0,25t 2U 2 h¢ ö üçk ÷÷; ï+F çèV1V2ø ïý2¢ 0,25t Y 2 h¢ ö ïæ0,5tYpp1÷÷,f 2¢ = çç h¢ V1V2Fèø ïþ(2.17)Температура по толщине оболочки распределяется согласно выражению (2.12) с заменой z наr = r - r0 .Для решения уравнения (2.16)задаются начальные и граничныеусловия теплообмена на обоихторцах (см. рис. 2.2). Например,q03 при x = 0; -l(¶Т0/¶х) = a4(Т0 –– Тср4) при х = L, где L – длинаоболочки.В случае сферической оболочки радиуса r0 (рис. 2.3) dq1 = dq;dq2 = dj; А1 = r0, А2 = r0sinq.

В условиях осевой симметрии ¶/¶j == 0 разрешающее уравнение относительно температуры Т0 срединной поверхности оболочкиимеет видгде k¢ = dв(a2Тср2 – q02) + dн(a1Тср1 –– q01); р¢ = a1dн – a2dв; h¢ = -a1dн –– a2dв; F = pd0t; dв, dн – внутреннийи наружный диаметры оболочкисоответственно.1 ¶ 2T 0 ctg q ¶T 0+ 2+r02 ¶q 2r0 ¶qf ¢¢Tf ¢¢ 1 ¶T+ 2 0+ 1 =,ll a ¶tf ¢ 1 ¶T¶ 2T 0 f 2¢+ T0 + 1 =,2ll a ¶t¶x(2.16)lU 1 ¢lY; f2 = f2 + 1 .r0V1r0V1Для расчета величины f1¢ и f 2¢можно также использовать выражениягде f1¢ = f1 +f1¢ =28(2.18)мого -QT, то его следует заменить соответственно на -f 1 T 0,- f1¢T 0 , - f1¢¢T 0 .

Так, в случае пластины (см. рис. 2.1) для стационарной задачи теплопроводностифункционал, соответствующийуравнению (2.13), примет видél é ¶T 2 æ ¶T ö 2 ùöæФ(T ) = ò ê êç÷ ú÷ + çç¶y ÷ø ú2¶xøèêèF êûë ëf 2T 02 ùdxdy +2 úûРис. 2.3. Схема для расчета теплового состояния сферической оболочки- f1T 0 -где+ ò q 0 LjT 0 dS +S2U (8l + 3r0 C ) U 2 A 3B 3Df1¢¢ = 1++ ;4V1 r08V 2 2t 2tf 2¢¢ =+òS3Y 1 (8l + 3r0 C ) Y 2 A 3E.+4V1 r08V 2 2ta Lj2(T -T cp j ) 2 dS .(2.19)В случае цилиндрической оболочкиél æ ¶T ö 2Ф(T ) = ò ê ç 0 ÷ V êë 2 è ¶x øf ¢T 2 ù- f1¢T 0 - 2 0 ú dV +2 ûДля решения уравнения (2.18)задаются начальное и граничныеусловия теплообмена на торце q == p/2 (рис. 2.3); -l(¶Т0/¶n) == a3(Т0 – Тср3), где n – нормальплоскости торца.Так как приведенные уравнения (2.13), (2.16); (2.18) в отличие от уравнения теплопроводности (2.2) имеют дополнительный член соответственно f 2T 0/l;f 2¢T 0 l; f 2¢¢T 0 l, то выражениефункционалов, соответствующихуказанным уравнениям, будутотличаться от (2.9) наличием впервом подынтегральном выражении слагаемого -0,5 f 2T 02 в случае пластины, -0,5 f 2¢T 02 в случаецилиндрическойоболочкии-0,5 f 2¢¢T 02 в случае сферическойоболочки.

Что касается слагае+ ò q 03 T 0 dF +F3a4(T -T cp4 ) 2 dF , (2.20)2F4+òгде F – область интегрирования;S – граница области интегрирования.2.3. Математические моделианализа напряженнодеформированного состояниядеталей двигателяНапряженное и деформированное состояния в произвольнойточке изотропного тела описы29üï¶xï22ï2¶e¶g¶ exyxyï;+=¶ x¶ y¶y 2¶x 2ïï222¶ e y ¶ e z ¶ g yzï+=;ï¶y ¶z¶z 2¶y 2ï2¶ 2 e xï=ï¶y ¶zï¶ æ -¶g yz ¶g zx ¶g xy ö ï÷;ý (2.22)= çç++¶x è ¶x¶y¶z ÷ø ïï2¶ 2 e yï=¶ z¶ xïï¶ æ ¶g yz ¶g zx ¶g xy ö ï÷÷;= çç+¶y è ¶x¶y¶z ø ïï22¶ e zï=ï¶ x¶ yï¶ æ ¶g yz ¶g zx ¶g xy ö ï÷.= çç+¶z è ¶x¶y¶z ÷ø ïþ¶ 2e z2Рис. 2.4.

Компоненты напряженного состоянияваются в общем случае шестьюразличными компонентами напряжений sx, sy, sz, txy, tyz, tzx идеформаций ex, ey, ez, gxy, gyz, gzx. Позакону парности txy = tyx, gxy = gyx(рис. 2.4). Если в рассматриваемой точке составляющие вектора{d} перемещения по осям x, y, zобозначить соответственно u, v, w,то для случая малых деформацийкомпоненты вектора перемещения связаны с компонентами деформации следующими зависимостями:g zx¶ 2 e x ¶ 2 g zx=;¶ x¶ z¶z 2Неизвестными в задаче теорииупругости являются указанные 15величин, а именно 6 компонентнапряжения, 3 составляющих перемещения и 6 компонент деформации. Для их определения имеетсясоответствующее количество уравнений. Помимо уравнений (2.21) и(2.22) в систему уравнений теорииупругости входят:уравнения равновесия¶u¶v¶w ü; e y = ; ez =;¶x¶y¶z ïï¶u ¶v¶v ¶w ï=+ ; g yz = + ;ý (2.21)¶y ¶x¶z ¶y ïï¶w ¶u=+ .ï¶x ¶zþex =g xy+ü¶s x ¶t yx ¶t zx+++ X = 0;ï¶x¶y¶zïï¶t xy ¶s y ¶t zy+++Y = 0; ý (2.23)¶x¶y¶zïï¶t xz ¶t yz ¶s z+++ Z = 0,ï¶x¶y¶zþТак как шесть компонентов деформации определяются тремякомпонентами перемещения, томежду ними существуют определенные зависимости, представляющие 6 условий совместности деформаций30где X, Y, Z – объемные силы, отнесенные к единице объема тела (кним относятся центробежные силы, возникающие при вращениивала двигателя или дисков роторатурбокомпрессора);уравнения связи между деформациями и напряжениями, выражающие обобщенный закон Гука1ü[s x - m(s y + s z )] + ïEï+ a TT ;ïï1e y = [s y - m(s x + s z )] +ïEï+ a TT ;ïï1ý (2.24)e z = [s z - m(s x + s y )] + ïEï+ a TT ;ïït xyt yzg xy =; g yz =;ïGGït zxïg zx =,ïþGex =Рис.

2.5. Напряжения в гранях элементарноготетраэдрагде X n, Yn, Zn – составляющие поверхностной силы, отнесенной кединице площади границы тела; l,m, n – направляющие косинусывнешней нормали к граничной поверхности тела.Иногда исходными даннымимогут служить не статические, акинематические граничные условия. В этом случае заданными являются смещения граничной поверхности тела. Например, в случаеосесимметричной задачи равенствонулю радиального перемещения наоси вращения.В настоящее время в теории упругости и других разделах механики твердого деформированного тела часто используют тензорныеобозначения, что делает записи более компактными. Координаты x,y, z обозначаются соответственноx1, x2, x3 или просто xi.

Уравнения(2.21), (2.22), (2.23), (2.24), (2.25)записываются при этом следующим образом:где E, G – модули упругости материала соответственно первого ивторого родов; m, aТ – соответственно коэффициент Пуассона икоэффициент линейного расширения материала; Т – изменение температуры при работе в рассматриваемой точке детали по сравнениюс исходным (нерабочим) состоянием.Граничные условия.