Чайнов Н.Д. - Конструирование двигателей внутреннего сгорания, страница 13

(2.121)TVe(2.123)Fe60действует, например 1–3. Такимобразом,пользованием соотношения r == N1r1 + N2r2 + N3r3 и последующиминтегрированием в Lкоординатах.Интегрирование члена, содержащего вектор объемных сил {P}T == [Pr Pz], показывает, что б\льшаячасть объемных усилий приходитсяна более удаленные от оси вращенияузлы. При расчете вращающихся сугловой скоростью w деталей Pr == rw2r. Интегрирование члена, содержащего вектор распределеннойнагрузки {pn} = [pr pz], действующей,например, по грани 1–3, также можно выполнить с помощью Lкоординат.

Окончательно выражение вектора нагрузки элемента в случае осесимметричной задачи имеет вид[k e ] = [B]T [D][B]tD e ; (2.124)[G e ] = -a T EtT[b1 c12(1 - m)b2 c 2b3 c 3 ]T -tD[ XY XY XY ]T 3tl1 - 3T[ px p y 00 px p y ] .2-(2.125)Для осесимметричной задачиприменяют цилиндрическую систему координат. Вектор деформации имеет дополнительную четвертую компоненту eq = u/r, поэтому[G e ] = -2 pa T ET rD T[ B] [1 1 1 0]T 1 - 2mpD[d1 Pr d1 Pz6pl- 13 [(d1 - d2 ) pr3-d2 Prd2 Pz(d1 - d2 ) pzd3 Pr0 0 (d3 - d2 ) pr[k e ] = [ B]T [D][ B] ò dV =Ve=[ B] [D][ B]2prD .(d3 - d2 ) pz ]T ,(2.127)где d1 = 2r1 + r2 + r3; d2 = r1 + 2r2 + r3;d3 = r1 + r2 + 2r3.Радиальные Rr и осевые Rz компоненты вектора сосредоточенныхсил, вводимые в расчет, являютсясуммарными, т.е.

отнесенными ковсей длине окружности 2pr.В случае трехмерной задачи прииспользовании тетраэдального симплексного элемента (рис. 2.9, в)компоненты матрицы [B] не изменяются внутри элемента, поэтомуинтегрирование при определениивсех величин, входящих в уравнение(2.123), выполняется в замкнутомвиде с помощью Lкоординат:матрица деформации [B] являетсяфункцией переменных координатr, z и не может быть вынесена зазнак интеграла. Для определенияматрицы жесткости применяютчисленное интегрирование. Приближенное значение [ke] определяется вычислением матрицы деформации [B] в центре тяжести элемен(r + r + r )та с координатами: r = 1 2 3 и3( z1 + z2 + z3 )z=.

Тогда3Td3 Pz ]T -[k e ] = [B]T [D][B]V e .(2.126)Обозначая вектор объемных силT{P} = [X Y Z] и вектор поверхноTстных сил {pn} = [px py pz], имеемСлагаемые выражения (2.121)могут быть определены точно с ис61[G e ] = -a T ET[b1 c16(1 - 2m)D 124[ px p y pz3b2 c 2px p y pzb3 c 3b4 c4 ]T -000 px p y pz ]T .Ve[ XYZ4XYZXYZXYZ ]T -(2.128)женнодеформированного состояния детали с помощью МКЭ можно отнести следующие.1.

Выбор расчетной схемы, включая определение класса задачи (объемная, осесимметричная, плоская,одномерная) и задание граничныхусловий.2. Выбор типа конечных элементов, которые предполагается использовать при решении, а также координатных функций (функций формы) элементов, однозначно описывающих распределение искомого параметра (температуры, перемещения) в пределах элемента.3. Дискретизация области, занимаемой деталью в пределах выбранной расчетной схемы, заключающаяся в представлении этой области набором конечных элементов(разбивка на элементы).4. Описание элементов, включающее рациональную нумерацию узлов и самих элементов;определение координат узлов иособенностей расположения отдельных элементов (граничные,внутренние), их физикотехнические и механические характеристики и др.5. Составление системы уравнений путем минимизации соответствующего данной задаче функционала при помощи приведенныхвыше соотношений.6.

Решение полученной системы уравнений относительно неизвестных в узлах параметров (температуры, компонентов перемещения).После того как путем решениясистемы уравнений (2.123) определены составляющие вектора {d}по формулам (2.110) и (2.114) определяют деформации и напряжения в элементах. При использовании симплексных элементов вслучае плоской (треугольный элемент) и трехмерной (тетраэдальный элемент) задачи деформациии напряжения постоянны в пределах элемента, что является недостатком этих элементов и требуетзначительного сгущения конечноэлементной сетки в местах концентрации деформаций и напряжений. Точность решения повышается при переходе к конечнымэлементам повышенной точности(рис.

2.10).Вопрос о том, какой формыконечные элементы лучше применять, остается открытым. Сетки из треугольных или тетраэдальных элементов могут бытьполучены с помощью автоматической разбивки, а для так называемых блочных сеток, содержащих четырехугольные или шестигранные элементы, алгоритмовавтоматической разбивки поканет. В то же время при одинаковом количестве элементов решение при использовании блочныхсеток точнее, чем при использовании триангуляционных.

Одновременно квадратичные элементы повышают точность по сравнению с линейными.К этапам решения задачи приопределении теплового и напря62чаемых численных решений к предельному по мере уточнения отдельных вычислительных параметров, вчастности количества или размеровконечных элементов. При расчетахтеплового и напряженнодеформированного состояния узлов и деталейдвигателя часто применяется итерационная процедура, когда результаты одного из этапов вычисленийстановятся исходной информациейпоследующих этапов, и здесь сходимость вычислительного процессаимеет решающее значение. В сходящемся вычислительном процессеточность растет по мере уточненияпараметров вычислительной процедуры.Помимо ошибок аппроксимациии округления, свойственных вычислениям вообще, методу конечныхэлементов присущи ошибки дискретизации и ошибки, вызванные применением базисных функций.

Первые связаны с геометрическими различиями рассчитываемой детали иее конечноэлементной модели. Этиошибки уменьшаются с уменьшением размеров конечных элементов иувеличением их числа. Ошибки, определяемые различием между точным решением и решением, представляемым базисными функциями,не обязательно уменьшаются по мере уменьшения элемента. Как отмечается, в некоторых случаях они могут приводить даже к расходимостивычислительного процесса.В МКЭ в качестве базисныхфункций используются степенныеполиномы. В этом случае точное решение обеспечивалось бы полнымполиномом бесконечно большойстепени. Сходимость вычислительной процедуры МКЭ обеспечивается, если искомая функция (например, температуры) представленавнутри элемента полиномом степени как минимум р, если р – высший7.

Вычисление всех предусмотренных при постановке задачи параметров для каждого элемента(температуры, деформаций, напряжений и др.) и визуализация полученных результатов в виде полейтемператур, перемещений, деформаций и напряжений.Вопросы программирования прирешении задач МКЭ представляютсамостоятельную важную и достаточно сложную задачу. В настоящеевремя существует достаточно многоуниверсальных конечноэлементных программных продуктов, средикоторых получившие распространение такие коммерческие пакеты какANSYS, NASTRAN, ABAQUS и др.Расчеты с использованием коммерческих пакетов стали сравнительнонесложным делом, не требующимглубоких теоретических знаний. Всвязи с этим часто эти расчеты производятся довольно формально бездолжной оценки достоверности получаемых при этом результатов.МКЭ является приближенным.Эффективные математические модели должны отвечать ряду требований, среди которых следует назватьполноту, точность, адекватность,экономичность, робастность (устойчивость), продуктивность и наглядность.

Применительно к конечноэлементной модели рассмотрим впервую очередь точность, устойчивость и сходимость численных решений. Точность определяется меройблизости численного решения к точному. Устойчивость определяетсяростом ошибок при выполнении вычислительных операций в процессерешения задачи. Последний связан саппроксимацией и округлением численных значений, что ведет к постепенному накоплению ошибок и потере истинности решения. Под сходимостью понимают постепенноеприближение последовательно полу63искомой функции.

На хорошо подготовленных сетках разрывы величин производных (например, теплового потока) на границах элементов невелики.Решение задач методом конечных элементов сводится к решениюсистем линейных алгебраическихуравнений (СЛАУ). Число уравнений в СЛАУ может быть при этомдостаточно большим, достигая сотентысяч. Поэтому большое значениеимеет выбор метода решения системы уравнений. Симметрия и положительная определенность глобальной ленточной матрицы системыпозволяют существенно сократитьобъем вычислений при решенииСЛАУ.

Методы решения СЛАУ делятся на прямые и итерационные.Первые позволяют получить решение после выполнения конечногочисла арифметических операций.Если при этом каждая операция выполняется точно, то метод называютточным. Итерационные методы предусматривают построение последовательных приближений к решениюзадачи.Применение того или иного метода решения СЛАУ зависит от размеров задачи (количества неизвестных), а также зависит от математического обеспечения при пользовании конкретной машинной программой. При небольших и умеренных размерах СЛАУ применяютпрямые методы, преимуществом которых является ограниченный объемарифметических операций и его априорная оценка.

Недостаток методасвязывают с необходимостью хранения в оперативной памяти ЭВМвсей матрицы системы. Итерационные процедуры не страдают этим недостатком. Они позволяют полностью использовать особые свойстваразреженных матриц, однако выполнение большого числа итерацийпорядок производной в функционале (в частном случае Ф(Т)). Еслистепень используемого полиномабольше р, то можно ожидать повышения точности, уменьшения ошибок пробной функции и увеличенияскорости сходимости. Сформулированное положение определяется каккритерий полноты.Кроме того, для обеспечения сходимости конечные элементы должны быть согласованными, инымисловами, при переходе через границусмежных элементов должны бытьнепрерывны сама искомая функцияи ее производные вплоть до (р - 1)порядка включительно.

Это положение определяется как критерий согласованности. Установлено, чтокритерий полноты представляет более сильное условие и его выполнение на практике является часто достаточным условием сходимости. Вобщем случае точность решения определить затруднительно. Тестирование конечноэлементной моделиприменительно к задаче, имеющейаналитическое решение, позволяетсудить лишь о работоспособностиалгоритма, программы и точностичисленного решения применительнок данному случаю.