Диссертация (Разработка метода расчета сопротивления качению и теплообразования в массивных шинах при стационарных режимах движения), страница 10

Вычислялся модуль невязки = − , которыйдля любой точки контактной поверхности не должен превосходить наперед заданного малого значения , определяющего точность выполнения условий контакта|| 6 , на Ω .(1.101)Для точек, примыкающих к области контакта, проверялось условие непроникания контактирующих тел 6 − , на Ω ∖ Ω ,(1.102)где Ω – вся поверхность обрезиненного ролика. Точки свободной поверхности,в которых не соблюдалось неравенство (1.102), включались в область контакта. Если не выполнялось неравенство (1.101), то пересматривались контактныесилы давления :⎞⎛⎜+1 = ⎝1 +⃒⃒2 ⃒(1.103)⎟⎠,=0где – номер итерации.

После чего заново проводилось решение контактнойзадачи. В таком подходе число итераций сильно зависело от выбора начальногозакона распределения контактных сил.Описанный итерационный процесс встраивался в общее решение связанной термовязкоупругой задачи, проводимой методом последовательных приближений.Развитие работы [42] для случая нелинейного деформирования резинового слоя изложено в серии статей [40, 44, 45]. В этих работах вязкоупругоеповедение резины при больших деформациях описывалось законом, подробнорассмотренным в работе [54]:⎛ () = 0 −1 () + (0) 1 + (1) ⎝() −∫︁ −(−˜)/e⎞(˜)˜⎠ ,(1.104)−∞где – тензор деформаций Грина-Лагранжа; (0) , (1) – параметры материала.Приведем основные результаты решения задачи качения, полученные в60работах [39, 40].

Для демонстрации влияния вязкости резины задача решалась(0)(1)в двух постановках: как вязкоупругая с постоянными , и как упругая, в которой материал описывался неогуковым законом деформирования [76],(0)(0)(1)содержащим постоянную = + . Отсутствие вязкости приводилок увеличению длины пятна контакта и силы прижатия контактирующих тел.Наличие вязкости резины вызывало смещение центра пятна контакта противскорости движения точек, принадлежащих поверхности ролика, т.е.

влево наРисунке 1.20.Оценка влияния геометрических и физических параметров на величинужесткости обрезиненного цилиндра контактирующих тел приведена на Рисунке 1.22, где через обозначена сила прижатия. Из приведенных графиков видно, что с ростом радиуса обжимающего цилиндра (кривая «C») и угловой скорости вращения (кривая «D») влияние этих параметров на жесткость резинового слоя становится незначительным. Наибольшее влияние оказывают упругиехарактеристики материала (кривая «B») и толщина резинового слоя (кривая«A»).12.0BA11.010.0P/(G(0)+G(1))u09.08.07.0DC6.05.04.0 3.03.54.0(R 0 -R i )/u 04.55.0AB0.00.20.40.6(0)(0)(1)G /(G +G )0.81.0C0.330.660.99Rd/R01.321.65010203040DwРисунок 1.22. Влияние различных параметров на величину жесткости обрезиненного цилиндра при фиксированном значении (0) + (1) [40]61В работах [35, 46, 151] для случая изотермического деформирования материала авторы использовали определяющие соотношения вязкоупругости вдифференциальной форме [95, 97, 113, 143].

Для интегрирования эволюционного уравнения, описывающего изменение тензора внутренней переменной, былопредложено аппроксимировать кусочно-заданную функцию напряжения гладкой функцией вдоль окружного направления. В работе [151] в качестве аппроксимации использовалось разложение в ряд Фурье. Такой подход приводил кплохой сходимости решения нелинейной задачи.В работе [35] был представлен модифицированный подход.

В случае описания модели материала системой уравнений (??) функция напряжений ∞заменялась суммой∑︁∞ ˜ () =* ∞ ( ) ,(1.105)=1где функция ядра * имела вид⎧˜−−1⎪⎪, −1 6 ˜ 6 ⎪⎨ −−1+1* = ˜−, 6 ˜ 6 +1 . −+1⎪⎪⎪⎩0,˜ ∈/ [−1 , +1 ](1.106)Ядра раскладывались в ряды Фурье и для отрезка времени [−1 , +1 ] получались аналитические решения эволюционного уравнения, затем определялась история деформирования для всего интервала времени, равного одному периодуоборота колеса. Такой способ интегрирования позволял провести линеаризациюрешаемой задачи и проводил к хорошей сходимости.Вопрос интегрирования нелинейных вязкоупругих соотношений, применимых в случае термодинамически неравновесного процесса деформированияматериала, подробно рассматривался в работах [108, 109].III.

Учет сил сухого трения при решении контактной задачи качения, в которой контактная площадка и давление на ней могут быть определены независимо от касательных напряжений, выполнен в работах коллектива авторов [17,18] и в более поздних статьях [145, 146]. В этих работах контактирующие тела аппроксимировались полупространствами с одинаковыми упругими постоянными.

При этом относительную скорость проскальзывания контактирующихточек удалось выразить через касательные напряжения в области контакта62f . Распределение давлений и форма пятна контакта заимствовались из решения Герца [11]. Задача определения зон скольжения/сцепления и вычислениякасательных напряжений сводилась к вариационной задаче поиска минимумафункционала [27]:⎧⎫∫︁⎨⎬min (f , ) =(|(f )| − f · ) Ω ,⎭|f |6 ⎩(1.107)Ωгде – коэффициент трения в законе сухого трения Кулона; Ω – часть поверхности контактирующих тел, занимаемая зоной контакта. Эта задача решаласьприближенно как задача математического программирования [29].Более общее решение контактной задачи качения с учетом сил трения вобласти контакта получено в работах [130, 172, 173]. Авторы указанных работ рассматривали стационарное качение обрезиненного катка по неподвижнойтвердой опорной поверхности. Задача решалась в нелинейной постановке посхеме плоской деформации методом конечных элементов.

Учет контактных силвыполнялся методом неопределенных множителей Лагранжа [33, 89].В работе [129] контактное взаимодействие ролика с опорой учитывалосьпутем введения в зазор между телами фиктивных конечных элементов, предложенных Штадтером и Вайсом [147]. Особенность элементов зазора состоитв том, что их жесткость сильно возрастает, когда в предполагаемой областиконтакта линейные деформации в направлении нормали к контактирующимповерхностям становятся равными или меньше -1. При этом, если напряжениясдвига в этих элементах превышают некоторый предел, то модуль сдвига подбирается так, чтобы в области контакта выполнялся закон Кулона. При отсутствии контакта жесткость элементов зазора пренебрежимо мала по сравнению сжесткостями контактирующих тел. Для выполнения этих условий решение задачи проводилось итерационно с использованием метода переменных модулейупругости.В работе [131] предложено использовать пантографические элементы зазора, которые учитывают недостатки метода Лагранжа и элементов зазораШтадтера-Вайса.

В то время как элементы Штадтера-Вайса сильно искажаютсвою форму (Рисунок 1.23, а) при сближении контактирующих тел, что затрудняет анализ контактных сил, пантографические элементы перестраиваются так,63как показано на Рисунке 1.23, б. Перед возникновением непосредственного контакта тел их конфигурация фиксируется и относительно нее вычисляются напряжения и деформации во время контакта.В работе [126] контактная задача с трением решалась при помощи задания определяющих соотношений, связывающих силы, возникающие в областиконтакта, со сближением и относительным проскальзыванием контактных поверхностей. Эти соотношения были установлены в работе [127] из анализа экспериментальных данных по обжатию и качению шин.

Для нормального давления было предложено определяющее соотношение вида(1.108) = ,где – величина сближения контактирующих тел; , – постоянные, зависящие от материала и шероховатости контактных поверхностей.Траектория узлов принадлежащихповерхности телаИскаженныйзазорпантографированныйзазорНачальныйзазор(а) Стандартный элементНачальныйзазор(б) Пантографический элементРисунок 1.23. Контакт деформируемого тела с абсолютно жесткой плоскостьюЗависимость (1.108) использовалась в работах [41, 126] для решения задачи нормального контакта методом штрафных функций.

При этом коэффициент полагался равным 1, а постоянная играла роль штрафного параметра.Такой подход является искусственным, поскольку получаемый из экспериментапараметр обычно лежит в пределах 2 6 6 3, 33 [168].Постулируемое определяющее соотношение (1.108) использовалось так жедля вычисления сил трения в области контакта. При численном счете закон64сухого трения Кулона заменялся регуляризованным соотношением вида(1.109)f = − (||) /|| ,где () – непрерывная, монотонная, положительно определенная функцияположительного аргумента > 0, зависящая от параметра > 0, такая что(1.110)0 6 () 6 1 ,lim () = 1 ,∀ > 0 ,(1.111)lim () = 1 ,∀ > 0 .(1.112)→0→∞В качестве примера в работе [126] приведены следующие выражения для функции (): () =⎧⎨1,>(1.113),⎩/, 6 (1.114) () = tanh (/) .В работе [126] исследовано влияние степени в законе (1.108) при постоянномзначении коэффициента на картину распределения давлений и скоростей вобласти контакта.

На Рисунке 1.24 показаны результаты вычислений, полученные для обрезиненного ролика, катящегося по плоскости.3.5mn=18mn=13.0mn=2mn=2mn=3s, дюйм/сp/(C1+C2)2.562.0mn=31.5421.000.50.0(а)-0.4-0.20.00.2y,рад0.4Давление в пятнеконтакта-2-0.4(б)-0.20.00.2y, рад0.4Относительнаяскорость в контактеРисунок 1.24.

Качение обрезиненного ролика по плоскости65Расчет был выполнен для случая плоского деформированного состояния ролика. Для описания закона поведения материала использовался двухконстантныйупругий потенциал Муни-Ривлина с постоянными 1 , 2 .В работе [121] был применен метод штрафных функций для решения задачи сцепления при качении упругого тела по твердой опорной поверхности.Для этого в области контакта Ω было сформулировано условие отсутствияпроскальзывания контактирующих точек в тангенциальном направлении(1.115) = 0.При формулировке принципа виртуальных работ это условие было записано вслабой форме∫︁∫︁1 2 Ω = 0 ,(1.116) Ω → min ⇒ С =С =2ΩΩгде – штрафной параметр. Слагаемое С вводилось в качестве штрафного вуравнение принципа виртуальных работ − + С = 0 ,(1.117)где , – виртуальная работа внутренних и внешних сил соответственно.