Диссертация (Разработка высокоточных алгоритмов коррекции навигационных систем летательных аппаратов), страница 8

Судить о степенинаблюдаемости можно по двум характеристикам: точности оценивания и времени сходимости.Критерий степени наблюдаемости имеет вид [70,102]2E  xi   R0Doi  ,2*iiE y  R(2.15)2где E  x i   ‒ дисперсия произвольной i -ой компоненты вектора состояния;2E  y i   ‒ дисперсия непосредственно измеряемого вектора состояния.Данный критерий применялся для выбора наилучшей структуры навигационного комплекса ЛА [41], в задаче синтеза адаптивного регулятора инерциальной навигационной системы [42].Численный критерий степени идентифицируемости. Ставится задачаоценивания неизвестных постоянных параметров матрицы объекта Φ , котораявходит в уравнение объекта (2.7).

Уравнение измерений имеет вид (2.8).Вектор состояния x n1 можно выразить через его значение в первый мо-49мент времени следующим образом:xn1 = Φn x1 + Φn1Γw1  Γw n .(2.16)Подставив выражение для x n1 в уравнение измерений z n1 , получимz n1 = HΦn x1 + HΦn1Γw1  HΓw n  vn1.(2.17)Подставим в это уравнение выражение x1 , тогда11v1 H   z1  H   z  HΓw1n  HΦ   2 n  HΦ  z n1 = HΦ HΦ   n2n 1  n 1   HΦ   z n  HΦ   HΦ Γw1  HΦ n1Γw1  HΦ n2 Γw 2   HΓw n  v n1. (2.18) vn Используем скалярный подход [52]: не теряя общности постановки задачи, предположим, что измеряется одна компонента вектора состояния, т.е.H  1 00 .Введем обозначения11 H  HΦ n2n   HΦ  HΦ  ,n 1 HΦ 2v10   1w1   2 w 2   n w n  1v1  2 v 2 (2.19) n v n  v n11v1 H   HΦ  Hw1 n2 HΦ  HΦ   HΦw1  Hw 2  v 3    HΦ n-1   HΦ n-2 w1   v n  HΦ n1Γw1  HΦ n2 Γw 2   HΓw n  v n1.(2.20)Таким образом, постановка задачи сводится к определению неизвестныхэлементов вектора-столбца 1 2рениям.n  по вновь сформированным измеT50Для n  1, n  2,,2n моментов времени по аналогии можно записатьуравнения для вновь сформированных измерений: zn1   z1z  z n2    2   z2 n   znzn   1  v10  zn1   2  v20   .      z2 n1  n  vn0 z2z3zn1(2.21)Откуда может быть выражен вектор-столбец, состоящий из неизвестныхпараметров 1 , 2 ,, n : 1   z1   z 2   2    n   znzn zn1 z2 n1 z2z3zn11  zn1  v10    0   zn2  v2  .0  z2 n  vn  (2.22)Уравнение для вектора неизвестных параметров в скалярной форме будетиметь следующий вид1  f1  z1 , , z2 n   v100 ,2  f 2  z1 , , z2 n   v200 ,(2.23)n  f n  z1 , , z2 n   vn00 ,где f1  z1 , , z2 n    z1  f 2  z1 , , z2 n     z2   f n  z1 , , z2 n    znzn1 v100   z1 00   z v2    2   00   vn   z nzn zn1 z2 n1 z2z3zn1zn zn1 z2 n1 z2z311 zn1 z  n2  , z2 n  v10  0 v2  .  0 vn Точность определения параметров зависит от интенсивности приведенно-51го измерительного шума.

Значения приведенного измерительного шума можетдостигать значительных величин, что приводит к недостоверному определениюпараметров 1 , 2 ,, n . Поэтому для определения неизвестных параметров це-лесообразно использовать алгоритмы сглаживания измерительных шумов и алгоритмы оценивания.В качестве алгоритмов оценивания можно использовать адаптивные модификации фильтра Калмана [52,72].

В этом адаптивном алгоритме проводитсяоценка дисперсии измерительного шума с помощью выражения видаrˆki 12222221p0i k  E  vki    4 E  vki   p0i (k  1)  p0i k  E  vki   . (2.24)2В практических приложениях часто необходимо знать степень идентифицируемости параметров, т.е. качественные характеристики идентифицируемыхпараметров: возможную точность идентификации параметров и время, за которое можно осуществить идентификацию параметра с заданной точностью.Судить о мере идентифицируемости можно по двум характеристикам:точности идентификации и времени сходимости.

Критерий, по которому определяется степень идентифицируемости, имеет вид [31,68]:2E  i   R0 ,Di i  2E  zi   Rˆ i(2.25)где2E  i   ‒ дисперсия произвольной i -ой компоненты вектора параметров  ;2E  zi   ‒ дисперсия непосредственно измеряемого вектора состояния;R0  E v 2  – дисперсия исходного измерительного шума;Rˆ i  rˆki ‒ дисперсия приведенного измерительного шума.В критерии степени идентифицируемости (2.25) мерой качества идентификации является скаляр. Эта особенность позволяет проводить сравнение сте-52пеней идентифицируемости компонент векторов параметров матриц различныхобъектов. Качество идентификации или эффективности идентификации определяется максимально достижимой точностью идентификации и необходимымвременем достижения заданной точности идентификации.2.2.

Разработка критерия степени наблюдаемости переменных состояниянестационарных системПонятие наблюдаемости играет важную роль при исследовании свойствдинамических объектов. В практических приложениях необходимо определятькачество наблюдения, т.е. насколько эффективно можно осуществлять наблюдение за объектом [68,70].Для определения наиболее достоверной информации объекта часто используют различные диаграммы, полученные на основе опыта при эксплуатации объекта.

Например, диаграмма оценок летчиком характеристик управляемости летательного аппарата [1], апостериорные оценки качества наблюденияпараметров инерциальных навигационных системы, полученные при анализерезультатов летных экспериментов.Получение диаграмм и опыта сопряжено с проведением дорогостоящихэкспериментов, требуют длительного времени и участия высокопрофессиональных специалистов, а также использования уже созданных систем и объектов, которые подвергаются исследованию.

Для определения свойств новыхобъектов, проектируемых систем и снижения себестоимости анализа существующих объектов используются критерии степени наблюдаемости.Критерии степени наблюдаемости разработаны для стационарных объектов [30,70], но, после некоторой модификации, возможно определение степенинаблюдаемости переменных состояния для нестационарных объектов.53Критерий степени наблюдаемости линейных нестационарных систем.Рассмотрим линейную нестационарную систему, вектор состояния в этомслучае для которой удовлетворяет уравнению вида [23,69]x(t )  A(t )x(t )  G(t )w(t ),(2.26)а уравнение измерений имеет видz(t )  H(t )x(t )  v(t ),(2.27)где A  t  , G(t ) , H(t ) являются линейными нестационарными матрицами.Система (2.26) и (2.27) называется вполне наблюдаемой в момент t , еслиможно определить состояние системы x(t0 ) из наблюдения выходной функцииz(t ) на интервале времени [t0 , t ] .В большинстве практических случаев размер вектора z(t ) меньше чемразмер вектора x(t ) , т.е.

m  n и уравнение (2.27) представляет собой системуm уравнений с n неизвестными. Поэтому значение вектор z(t ) в момент t недает достаточной информации для восстановления вектора x(t ) . Нужно учестьинформацию о векторе z(t ) на отрезке [t0 , t ] .Рассмотрим нестационарную систему (2.26) и (2.27).Вектор z( ) в момент   [t0 , t ] можно представить в видеz( )  H( )Φ( , t )x(t ),(2.28)где Φ( , t ) ‒ переходная матрица нестационарной системы (2.26).Введем матрицу грамиана наблюдаемости N  t , t0  [23,85]N  t , t0    ΦT ( , t )HT ( )H( )Φ( , t )d .tt0(2.29)Для наблюдаемости системы (2.26) и (2.27) необходимо и достаточно существование момента t0  t , для которого матрица N  t , t0  положительноопределена, т.е. det N  0 .На практике часто встречаются случаи, когда уравнения объекта имеютявно выраженный нестационарный характер.

Для определения степеней54наблюдаемости компонент вектора состояния нестационарных объектов критерии необходимо модифицировать критерию (2.15) для случая определения степени наблюдаемости переменных состояния нестационарного объекта.При исследовании степень наблюдаемости переменных состояния нестационарного объекта, уравнение объекта описывается в следующем дискретномвидеxk  Φk ,k 1xk 1  Γk 1w k 1,(2.30)где x k – вектор состояния; w k 1 – вектор входного возмущения; Φk ,k1 – матрицаобъекта; Γk 1 – матрица входа.И уравнение измерений имеет видz k  H k xk  v k ,(2.31)где z k – вектор измерений; v k – вектор ошибок измерения; H k – матрица измерений.Разобьем каждый шаг измерений на n (порядок системы) подтактовtk , tk n1  и выразим эти измерения через вектор состояния в начальном подтактеtk измерений этого шага.z k  H k xk  v k ,z k 1  H k 1Φ k 1,k x k  H k 1Γ k w k  v k 1 ,(2.32)z k  n1  H k n1Φk n1,k n2Φk 1,k xk  H k n1Φk n1,k n2Φk  2,k 1Γk w k H k n1Γ k n2 w k n2  v k n1.Перепишем выражение (2.32) в матричной формеz*k  O Lk xk  v*k ,где zk z *z k   k 1  , ...