7 (Лекции по математическому анализу)

III Матрицы (матричное исчисление)3.1 Определение матрицыПусть дана Oxyz и () M(x1 ; x2 ; x3 ), r⃗ – радиус–вектор, r⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗OM,тогда r⃗ = x1 ⃗⃗⃗⃗e1 + x2 ⃗⃗⃗⃗e2 + x3 ⃗⃗⃗⃗e3 . Поворот оси Ox′y′z′ и M1 (x ′1 ; x ′ 2 ; x ′ 3 )r⃗′ = x′1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗e′1 + x′2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗e′2 + x′3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗e′3Приравниваем r⃗ = r⃗ ′, в виде системы′e⃗⃗⃗⃗1 = a11 ⃗⃗⃗⃗e1 + a21 ⃗⃗⃗⃗e2 + a31 ⃗⃗⃗⃗e3′{ ⃗⃗⃗⃗e2 = a12 e⃗⃗⃗⃗1 + a22 e⃗⃗⃗⃗2 + a32 ⃗⃗⃗⃗e3′e3 = a13 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗e1 + a23 ⃗⃗⃗⃗e2 + a33 ⃗⃗⃗⃗e3Следовательноx1 ⃗⃗⃗⃗e1 + x2 ⃗⃗⃗⃗e2 + x3 ⃗⃗⃗⃗e3 = (a11 x ′1 + a12 x ′ 2 + a13 x ′ 3 )e⃗⃗⃗⃗1 +(a21 x ′1 + a22 x ′ 2 + a23 x ′ 3 )e⃗⃗⃗⃗2 + (a31 x ′1 + a32 x ′ 2 + a33 x ′ 3 )e⃗⃗⃗⃗3x1 = a11 x′1 + a12 x′2 + a13 x′3{x2 = a21 x′1 + a22 x′2 + a23 x′3x3 = a31 x′1 + a32 x′2 + a33 x′3(1)О1 Таблица, составленная из коэффициентов (1) записанная в видеa11 a12 a13A = (a21 a22 a23 ) называется матрицей.a31 a32 a33Обозначение A = (aij ), где i – строка, j – столбец.a11a12a21a22В общем виде матрица записывается: A = ( ……am1 am2…………Если m = n – матрица называется квадратной n-го порядка.Если m ≠ n – матрица называется прямоугольной.Если m = 1, n > 1 – вектор–строка (a11 a12 …a11a21Если n = 1, m > 1 – вектор–столбец ( … ).a1A = (aij ) и B = (bij ) равны, если aij = bij .a1n ).a1na2n… )amn3.2 Свойства матриц1° Сумма 2-х матриц A = (aij ) и B = (bij ) с одинаковым количеством m и nназывается и C = (cij ):aij + bij = cij , (i = 1, m , j = 1, n)A + B = C2° Произведение A = (aij ) на число λ:λA = λ(aij ) = (λaij ), (i = 1, m , j = 1, n)3° Произведение A = (aij )m∗k на B = (bij )k∗n называется матрицаC = (cij )m∗n :Cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ⋯ + aik bkj , (i = 1, m , j = 1, n)A ∗ B ≠ B ∗ A(A + B) ∗ C = A ∗ C + B ∗ CC ∗ (A + B) = C ∗ A + C ∗ BA ∗ (B ∗ C) = (A ∗ B) ∗ C(A + B) + C = A + (B + C)4° Единичная матрица для n ∗ n10 …001 …0E = ()… … … …00 …1A ∗ E = AE ∗ A = A3.3 Определителиa1 b1 c1Пусть (a2 b2 c2 )a 3 b3 c 3(2)О2 Определителем (детерминантом) 3-го порядка, соответствующимматрице (2), называется число, обозначенное символомa1 b1 c1 = | a 2 b2 c 2 |a 3 b3 c 3 = a1 b2 c3 + b1 c2 a3 + c1 a2 b3 − c1 b2 a3 − b1 a2 c3 − a1 c2 b3a1 , b2 , c3 – главная диагональ;a3 , b2 , c1 – побочная диагональ.Правило треугольников:  |  |  + |  -|3.3.1 Свойства определителей1°  не меняется, если поменять местами i и ja1|a 2a3b1b2b3a1c1c2 | = |a1c3a1b2b2b2c3c3 |c32° Перестановка двух j или двух i равносильна умножению на (− 1)a1|a 2a3b1b2b3c1c1c 2 | = − |c 2c3c3b1b2b3a1a2 |a33° Если  имеет две одинаковые i или j, то  = 01 2 3 = |1 2 3| = 04 5 64° Умножение  на λλa1|λa2λa3b1b2b3c1a1c 2 | = λ |a 2c3a3b1b2b3c1c2 |c35° Если все элементы некоторого j или i равны 0, то и  = 06° Сумма -ейa′1 + a′′1|a′2 + a′′2a′3 + a′′3b1b2b3c1a′1c2 | = |a′2c3a′3b1b2b3c1a′′1c2 | + |a′′2c3a′′3b1b2b3c1c2 |c3О3 Минором некоторого элемента определителя называется определитель,получаемый из данного  вычеркиванием i и j, на пересечении которыхрасположен этот элемент.a 2 c2b cНапример, для элемента a1 минор | 2 2 |, для элемента b1 минор |a c |b3 c 333О4 Алгебраическим дополнением некоторого элемента  называется минорэтого элемента, умноженный на (−1)p , где p – сумма номеров i и j, напересечении которых расположен этот элемент.2 46Пример: Вычислить  = |5 12 19|3 9 1712 195 195 12 = 2|| − 4|| + 6|| = 89 173 173 93.4 Исследование системы 3-х уравнений 1-й степени с 3-мя неизвестнымиa1 x + b1 y + c1 z = h1(3){ a 2 x + b2 y + c 2 z = h 2a 3 x + b3 y + c 3 z = h 3x0 , y0 , z0 называются решением системы (3), если в подстановке этих чиселв x, y, z все 3 уравнения обращаются в тождество.a1 = |a2a3b1b2b3Решения x =c1h1c2 | x = |h2c3h3b1b2b3c1a1c 2 |  y = |a 2c3a3h1h2h3c1a1c 2 |  z = |a 2c3a3xyz,y =,z =называются функциями Крамера.b1b2b3h1h2 |h3Однородной системой 3-х уравнений называется системаa1 x + b1 y + c1 z = 0{ a 2 x + b2 y + c 2 z = 0a 3 x + b3 y + c 3 z = 03.5 Матричная запись СЛАУ.

Понятие обратной матрицыa1 x + b1 y + c1 z = h1{ a 2 x + b2 y + c 2 z = h 2a 3 x + b3 y + c 3 z = h 3a1A = (a2a3b1b2b3c1c2 ) ;c3xX = (y) ;zh1H = (h2 )h3В матричном виде A ∗ X = HОбратной для матрицы A называется такая матрица (A−1 ), котораяудовлетворяет условию A−1 ∗ A = A ∗ A−1 = E.−1AA1 / A2 / A3 /= (B1 / B2 / B3 /)C1 / C2 / C3 /Ai , Bi , Ci – алгебраические дополнения i = 1, 2, 3.A ∗ X = H/ ∗ (A−1 )A−1 ∗ A ∗ X = A−1 ∗ HX = A−1 ∗ Hx + 2y + z = 1Пример: Решить систему {2x + y + z = −1x + 3y + z = 21 2A = (2 11 3A−1 − ?111) ; H = (−1)121 2A = |2 11 3+ 1(6 − 1) =a11 = |1 1| = −23 12a12 = − |1a13 = |11 12 12 1|–2|| + 1|| = 1 – 3 – 2(2 − 1) +1| = 1 |3 11 11 3111| = −112 1|= 51 3a21 = − |2 1|= 13 11a22 = |11|= 01a23 = − |1 2| = −11 3−1Ax−2(y) = (−1z5−2 1= (−1 05 −111)−3−2 − 1 + 2111−101 ) (−1) = (−1 + 0 + 2) = ( 1 )5+1−6−1 −302 = −1, = 1, = 0.a31 = |2 1|= 11 11 1a32 = − ||= 12 1a33 = |1 2| = −32 1.