6 (Лекции по математическому анализу)
Описание файла
PDF-файл из архива "Лекции по математическому анализу", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве РУТ (МИИТ). Не смотря на прямую связь этого архива с РУТ (МИИТ), его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
2.15 Формула ТейлораТеорема 1(Тейлора)() имеет в точке a и некоторой окрестности производные (n+1) порядка.] x – любое значение аргумента из указанной окрестности, x≠a. Тогда междуточками x и a найдется (.) ξ такая, что справедлива формула() = () +`()1!( − ) +``()+1 ()(+1)!2!( − )2 + ⋯ + ()!( − ) +( − )+11)Формула Тейлора+1 ( ) = +1 ()((+1)!− 1)+1 - остаточный член в форме ЛагранжаТ.к. ξ ∈ (a, x), то найдется 0 <θ <1 (θ – тетта)Что ξ = + ( − ) и остаточный член принимающий вид+1 +1 ( + ( − ))=( − )+1( + 1)!+1 ()=→ (−) +1 (+(−))(−)+1Если limlim→(+)!(−)= lim→ +1 (+(−))(+1)!( − ) = 0,Т.к +1 () ограничена, ( − ) → 0, при → Тогда [+1 ( ) = O[( − ) ] при ( → ) - остаточный член в формеПеано2.16 Формула Мак ЛоренаФормулой Мак Лорена называется формула Тейлора при a = 0() = (0) +`(0)1!+``(0)2!2 + ⋯ + (0)! + +1 ()Остаточный член имеет вид:1)В форме Лагранжа+1 () = +1 () +1,0 < θ < 1( + 1)!2)В форме Пеано+1 () = ( )Примерыa) По Мак Лорену () = `() = … = (0) = `(0) = ⋯ (0) = 1 2 3 = 1 + + + + ⋯ + ( ),1! 2! 3!!−∞ < < ∞б)() = sin 3 5 7sin = − + − + ⋯ + (−1)−1+ ( 2 )(2 − 1)!3! 5! 7!в) () = cos 2 4 6 = 1 − + − + ⋯ (−1)+ ( 2+1 )(2)!2! 4! 6!г) () = (1 + )(1 + ) = 1 +n(n − 1) 2n(n − 1) … (n − k − 1) + + ⋯+ + +1 ()1!2!!Вычисление пределов с помощью формулы Мак Лоренаа) limsin −→03= lim3+( 4 )−3!3−→0= lim (−→0141+ ( 3)) = −3!62б) lim→0− 2 −cos 3 sin =1122.17 Исследование поведения функций и построение графиков1)Признак монотонности функцииТ-ма1Если функция f(x) дифференцируема на (a; b) и f `(x) ≥ 0(f `(x) ≤ 0) на (a; b), то функция не убывает (не возрастает).2)Точки локального экстремумаО1 Точка 0 называется точкой строгого локального max(min) f(x), если длявсех из некоторой окрестности δ точки 0 выполняется неравенство() < (0 ) (() > (0 ) ) при ≠ 0Локальный max и локальный min называют (.) локального экстремумаТ-ма2Если f(x) имеет в (.) 0 локальный экстремум и диф-ма в этой (.), то f ` (0 )= 0Иногда 0 называют стационарными точками (точками возможногоэкстремума)Т-ма3 (Достаточное условие локального экстремума)Пусть ()диф-ма в некоторой δ-окрестности (.) 0 тогда, если f ` (x)> 0(f `(x)<0) для всех из ( − , 0 ), а f `(x) <0 (f `(x)>0) для всех (0 , − ), то в (.) 0 f(x) имеет локальный max(min), если же f ` (x) во всейδ-окрестности имеет один и тот же знак, то локального экстремума нет.Т-ма43)Наличие выпуклости и (.) перегиба функцииЕсли y = () имеет на (a; b) вторую производную и () ≥ 0 (() ≤ 0) вовсех точках (a; b), то график функции y = () имеет на (a; b) выпуклость,направленную вниз(вверх)О2 Точка M(0 , (0 )) наз.
точкой перегиба графика функции y = () если(.) M имеет касательную и ∃ окрестность (.) 0 , в пределах которой ()слева и справа от (.) 0 имеет разные выпуклости4)Асимптоты графика функцииПри исследовании поведения функции на → − ∞(+∞) или вблизи точекразрыва 2-го рода. Такие прямые называют асимптотами.3 вида асимптот:• Вертикальные• Горизонтальные• НаклонныеО3 Прямая = 0 называется вертикальной асимптотой y = (), если хотябы одно из предельных значений lim () или lim () равно + ∞(−∞)→0 +→0 −О4 Прямая называется горизонтальной асимптотой y = () при →+∞(−∞) если lim () = →±∞О5 Прямая = + , ≠ 0 наз. наклонной асимптотой y = () при → +∞(−∞) если () можно представить в виде () = + + ()где () → 0() + + ()= lim=→+∞ →+∞lim()→±∞ = limlim (() − ) = lim ( + ()) = →±∞→±∞ = lim (() − )→±∞Схема исследования графика функцииНайти область определения функцииТочки пересечения с осями координатАсимптотыТочки возможного экстремумаНайти критические точкиОпределить промежутки возрастания(убывания) (.) экстремумов, точкиперегиба7) Построить график1)2)3)4)5)6).