5 (Лекции по математическому анализу)
Описание файла
PDF-файл из архива "Лекции по математическому анализу", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве РУТ (МИИТ). Не смотря на прямую связь этого архива с РУТ (МИИТ), его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
П 2.8 Логарифмическая производная1Пусть у = ln | |, = (х) – дифференцируемая, тогда y’ = (ln | |)’ = ∙ ’ =’(х)(х)=> ’(х) = (ln |(х)|)’ ∙ (х)(ln |(х)|)’ – логарифмическая производная. Обычно используют длястепенных, показательных функций.Пример: у = П 2.9 Понятие производной -ого порядка’(х) – производная 1-ого порядка’’(х) – производная 2-ого порядка () (х) - − ая производная () (х) = ( (−1) (х))’Пример:а) у = sin(), у() − ? (метод математической индукции)у’= cos() = sin( + )2у’’ = −sin() = sin( + )у’’’ = −cos() = sin( +32)у() = sin( + )2б) у = cos() , у() − ?у() = cos( + )2П 2.10 Формула Лейбница для -ой производной двух функцийу = ∙ , и – дифференцируемыеу’= ’ + ’у’’ = ’’ + ’’+ ’’+ ’’’= ’’’+ 2’’+ ’’у’’’ = (у’’) ’у() = ( ∙ )() = () + (−1) ′ ++( − 1) (−2)’’ + ⋯ +2!( − 1)( − 2) … ( − + 1) (−) () + ⋯ + ()!Пример: у = 2 ∙ cos()() = cos( + )2 () = 02( − 1)у() = cos( + ) 2 + 2 cos( + ( − 1) ) +cos( + ( − 2) )222!2П 2.11 Дифференциалы высших порядков = ’(х) – дифференциал 1-ого порядка() = (’(х) ) = (’(х) )’ = ’’(х) () = ’’(х) 2 2 = ’’(х) 2 – дифференциал 2-ого порядка = () (х) – дифференциал -ого порядкаПример: 3 − ?, у = 4 + 3 + 4 3 = ’’’(х) 3 = 24 3П 2.12 Параметрическое задание функцииПусть заданы две функции: = (t) и y = ψ(t), где t – параметр, а (t) и ψ(t) определены инепрерывны.Тогда:у’(х) =t =ψ’(t)’(t)1’(t)Пример: у’(х)xx = R cos , y = R sin , t = , 0 ≤ t ≤ , R - constу’(х) =y’(t)’(t)=R cos =-R sin у’’(х) = (у’(х))’x =cos - sin =xx- sin( )ψ’’(t)’(t) − ψ’(t)’’(t)(’(t))3П 2.13 Основные теоремы дифференциального исчисленияТеорема 1 (Теорема Ферма)Пусть () определена на интервале (a; b) и в некоторой (.)x0 этого интервалаимеет наибольшее (наименьшее) значение.Тогда в (.)0 ∃ ’(0 ) и ’(0 ) = 0Доказательство:Пусть для (х) в (.)x0 имеется наибольшее значение () ≤ (0 ).∀ ∈ (a; b), ∆у = (0 + ∆) - (0 ), ∀ (0 + ∆) ∈ (a; b).Поэтому если ∆ > 0 ( > 0 ), то’+ (0 ) = lim∆→0+’ΔΔΔΔ≤ 0.≤ 0.
Если же ∆ < 0 ( < 0 ), тоследовательно - (0 )= lim∆→0−ΔΔ≥ 0.’По условию ∃ ’(0 ), + (0 ) =’ - (0 ) = ’(0 ), это возможно’’при + (0 ) = - (0 )= 0 => ’(0 ) = 0Теорема 2 (Теорема Ролля)Пусть на отрезке [a; b] определена (), причём:1. () непрерывна на [a; b]2.
() дифференцируема на (a; b)ΔΔ≥0и3. () = ()Тогда ∃ (.)c ∈ (a; b), в которой ’() = 0.Доказательство:Так как () непрерывна на [a; b], значит имеет наибольшее значение инаименьшее значение , то есть∃ 1 , 2 ∈ [a; b], (1 ) = ,(2 ) = => ≤ () ≤ 1) = () = = = , ’() = 02) < ∃ c ∈ (a; b), в которой ()принимает наибольшее илинаименьшее значение => ’() = 0.Теорема 3 (Теорема Лагранжа)Пусть на отрезке [a; b] определена (), причём:1. () непрерывна на [a; b]2. () дифференцируема на (a; b)Тогда ∃ (.)c ∈ (a; b) такая, чтосправедлива формула()−()−= ′()Доказательство:() = () − ()() − ()( − )−−() удовлетворяет теореме Ролля:1. () непрерывна на [a; b]2. () дифференцируема на (a;b)′() = ′() −()−()−3.
() = 0, () = 0, () = ()Следовательно, ∃ c ∈ (a; b), ′ ( )= 0 => ′ ( ) =( )−()−=0Теорема 4 (Теорема Коши)Пусть функции () и () непрерывны на [a; b] и дифференцируемы на(a; b), ′() ≠ 0. Тогда ∃ (.)c ∈ (a; b) такая, что справедлива формула: () − () ′()=() − () ′().